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2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟测试卷 02
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行的四边形 D．对角线相等的四边形
2．（3分）以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
3．（3分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（3分）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，中，，，于点D，点E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，CG=4，AB＝8，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
8．（3分）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正十二边形
9．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.
10．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.延长AE交CG于点F，连接DE.下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分） 点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
13．（3分）如图，在中，，，，则 ．
14．（3分）如图，在中，，，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为 ．
15．（3分）如图，，，，连接，若，，则的面积是 ．
16．（3分）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．
17．（3分）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，连接，若，，则的长是 ．
18．（3分） 如图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过P点作EF∥BC ，EF分别交AB、AC于点E、F， PD⊥BC于点D．下列结论：①；②C△AEF＝AB+AC；③若AE+AF＝m，PD=n，则三角形AEF的面积＝．其中正确的是 ．
三、解答题(共3题；共21分)
19．（6分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
（1）（2分）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）（4分）当时，
直接写出的度数为 ▲ ；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
20．（6分）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
（1）（2分）求证：四边形OCED是矩形；
（2）（4分）求证：四边形BCEO是平行四边形.
21．（9分）在菱形中，对角线交于点，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接．
（1）（2分）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．）
（2）（3分）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段的数量关系，不需要证明；
（3）（4分）在（1）、（2）的条件下，若，则 ．
四、实践探究题(共2题；共18分)
22．（9分）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）（4分）当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是 ▲ ．
（2）（5分）若射线的位置保持不变，且．
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由．
②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值．
23．（9分）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）（2分）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）（3分）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）（4分）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
五、综合题(共3题；共27分)
24．（9分）如图，在正方形中，E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G．
（1）（4分）证明： ；
（2）（5分）点E位于什么位置时，，说明理由．
25．（8分）如图，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，交DC于E.
（1）（3分）求证：四边形AFED是菱形；
（2）（5分）如果∠A＝60°，AD＝5，求菱形AFED的面积.
26．（10分）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4．
（1）（6分）写出图中点B的坐标： ；在图中描出点C ，并写出C的坐标： ；
（2）（4分）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于 ．
答案解析部分
1．B
2．B
3．D
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
9．B
10．A
11．（3，﹣2）
12．80
13．8
14．10
15．3
16．38°
17．
18．①②③
19．（1）解：，
证明：如图，是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：；
，理由如下：
延长到，使，连接，，如上图：
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，即，
，
又，，
，
，
，，
为正三角形，
，
．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠COD=90°
又∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∴ OCED是矩形．
（2）证明：∵四边形OCED是矩形
∴CE=OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD．
∴OB=CE．
又∵CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
21．（1）解：连接，如图所示，
四边形是菱形
是等边三角形
线段绕点顺时针旋转到
是等边三角形
（2）解：图②图③
（3）3或9
22．（1）∠BOC=∠BOE
（2）①存在；理由如下：
当平分时，，即，解得，
当平分时，，即，解得，
当平分时，，即．解得，
综上所述，的值为或或；
②因为，，
所以，
所以的值为．
23．（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
24．（1）证明：∵四边形是正方形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）解：当点E位于线段中点时，．
理由如下：若当点E位于线段中点时，则，
由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
25．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
∴∠EDF=∠AFD，
，DE∥AF，
四边形AFED是平行四边形.
是平行四边形ABCD中的平分线，
∴∠ADF=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
四边形AFED是菱形；
（2）解：=60°，AD=5，
又由(1)知AD=AF，
为等边三角形，
；
连接AE与DF相交于O.
由(1)知四边形AFED是菱形，
AE=2OA，
26．（1）；；
（2）如图所示， ． 故答案为：26．
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2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟测试卷 02
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】解：A：一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意；
B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合题意；
C： 一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，不符合题意；
D：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意。
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案。
2．（3分）以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】解：A、∵22+32=13≠42，不能组成直角三角形；
B、∵32+42=52，能组成直角三角形；
C、∵42+52=41≠62，不能组成直角三角形；
D、∵52+62=61≠72，不能组成直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理计算即可求解．
3．（3分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．
故选D．
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
4．（3分）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】解：过D点作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得。
5．（3分）如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质
【解析】∵，，，
∴，
∵，
∴PO=QO=，CO=AO=AC，
当PQ最小时，PO最小，
因此当PO⊥BC时，PO最小（如图），
∵∠ACB=∠P'CO，∠CP'O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP'O，
∴，
∴，
求出OP'=，
则PQ的最小值=2OP'=，
故答案为：C.
【分析】先证出当PO⊥BC时，PO最小，再证出△CAB∽△CP'O，求出OP'=，即可得到PQ的最小值=2OP'=。
6．（3分）如图，中，，，于点D，点E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∵点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=。
故答案为：B.
【分析】首先根据等腰三角形的性质，可得出点D是BC的中点，从而得出DE是△ABC的中位线，故而得出DE的长度。
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，CG=4，AB＝8，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】解：过G点作GPAB于点P.
根据可知，AG是△ABC中∠CAB的平分线.
又∵∠C=90°，GPAB.
∴GC=GP=4
∴S△ABG=AB×GP
=×8×4
=4×4
=16
故答案为：B.
【分析】本题涉及的知识点有：尺规作图、角平分线的性质、三角形面积公式，首先通过角平分线的性质求出GC=GP=4，然后根据三角形面积公式计算即可.
8．（3分）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正十二边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解： ∵正多边形的每个内角都等于，
∴正多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∴正多边形的边数为360°÷45°=8；
故答案为：C.
【分析】先求出正多边形的每个外角的度数，再利用360°除以外角的度数，即得正多边形的边数.
9．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案为：B
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
10．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.延长AE交CG于点F，连接DE.下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：如图，设AF交BC于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90°，
∴∠KAB+∠AKB=90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90°，
∴∠KFC=90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.
∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，
又∠BEF=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于点H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AE=2AH，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH=BE，
∴AE=2AH=2BE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.
∴AE=CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴AE=2FG，即CG=2FG，
∴CF=FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故答案为：A.
【分析】设AF交BC于点K，由正方形的性质及直角三角形两锐角互余得∠KAB+∠AKB=90°，由旋转的性质得∠KAB=∠BCG，结合对顶角相等可得∠BCG+∠CKF=90°，根据三角形的内角和定理得∠KFC=90°，据此可判断①；根据旋转的性质得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，从而可判断出四边形BEFG是矩形，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形BEFG是正方形，据此可判断②；过点D作DH⊥AE于点H，由等腰三角形的三线合一得AE=2AH，根据同角的余角相等得∠ADH=∠EAB，从而可用AAS判断出△ADH≌△BAE，得AH=BE，则AE=2AH=2BE，由旋转的性质得AE=CG，结合正方形的性质可得CG=2FG，从而得CF=FG，据此可判断③.
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分） 点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】（3，﹣2）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】 点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2） ，
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解.
12．（3分）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
【答案】80
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，
∴∠EBC=35°，
由旋转得FB=EB，∠FBE=90°，
∴∠FEB=45°，
∴∠CGE=45°+35°=80°，
故答案为：80
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠CBA=90°，进而得到∠EBC=35°，再根据旋转的性质得到FB=EB，∠FBE=90°，进而即可得到∠FEB=45°，再结合题意即可求解。
13．（3分）如图，在中，，，，则 ．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】解：∵∠ABC=90°，AD=CD，
∴点D为AC的中点，
∴BD为斜边AC的中线，
∴BD=AC=4，
∴AC=8.
故答案为：8.
【分析】由题意可得BD为直角三角形斜边AC的中线，则BD=AC=4，据此求解.
14．（3分）如图，在中，，，，直线l是边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】解：连接，如下图：
∵直线l是边的垂直平分线，
∴，
则，当三点共线时，等号成立，
在中，，，，
∴
即AP+CP的最小值为10，
故答案为：10.
【分析】连接BP，根据垂直平分线的性质可得，再结合，当三点共线时，等号成立，利用含30°角的直角三角形的性质可得，可得得到AP+CP的最小值为10。
15．（3分）如图，，，，连接，若，，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】解：如图所示：过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC交BC于点G，
∵AD//BC，DG⊥BC，
∴∠FDG=∠DGB=90°，
∵∠EDC=90°，
∴∠GDC+∠CDF=∠CDF+∠EDF，
∴∠GDC=∠EDF，
∵EF⊥AD，
∴∠CGD=∠F=90°，
∵DE=DC，
∴△DGC≌△DFE，
∴EF=CG，
∵∠DAB=∠B=∠BGD=90°，
∴四边形ABGD是正方形，
∴BG=AD=3，
∵BC=5，
∴CG=BC-BG=2，
∴EF=2，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据平行线的性质求出∠FDG=∠DGB=90°，再利用全等三角形的性质求出EF=CG，最后根据正方形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
16．（3分）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．
【答案】38°
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；邻补角
【解析】解：延长OA交CD于点F，延长D′C交AB于点G，
∵CD∥OE，OA⊥OE，D′G⊥AB，
∴OA⊥CD，
∴∠AGC=∠CFA=90°，
∴∠GCF+∠GAF=180°，
∵∠DCD′+∠GCF=180°，
∴∠GAF=∠DCD′，
∴∠BAO=180°-∠BAF=180°-∠DCD′，
∵∠BAO是∠CBA的两倍，
∴2∠CBA=180°-∠DCD′，
∴∠CBA=90°-∠DCD′，
∵∠BCD-∠DCD′=123°，
∴∠BCD=∠DCD′+123°，
在四边形ABCF中，
∠GAF+∠CBA+∠BCD+∠AFC=360°，
∴∠DCD′+90°-∠DCD′+∠DCD′+123°+90°=360°，
解之：∠DCD′=38°.
故答案为：38°
【分析】延长OA交CD于点F，延长D′C交AB于点G，利用垂直的定义和平行线的性质可证得∠AGC=∠CFA=90°，利用四边形的内角和为360°，可得到∠DCD′+∠GCF=180°，利用补角的性质可推出∠GAF=∠DCD′，利用邻补角的定义可知∠BAO=180°-∠DCD′，结合已知可推出∠CBA=90°-∠DCD′，同时可推出∠BCD=∠DCD′+123°，在四边形ABCF中，利用四边形的内角和定理可得到关于∠DCD′的方程，解方程求出∠DCD′的度数.
17．（3分）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，连接，若，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：由折叠可得：AB=A'B=6cm，AE=BE=AB=3cm，∠BEA'=90°，∠ABM=∠A'BM，
∴BE=A'B，
∴∠BA'E=30°，
∴∠ABM=∠A'BM=30°，
在Rt△ABM中，AB=6，
∴AM=AB=2cm，
∵，
∴∠DMF=90°-∠AMB=30°，
∵DF=AE=3cm，
∴DM=DF=3cm，
∴AD=AM+DM=cm.
故答案为：.
【分析】由折叠可得：AB=A'B=6cm，AE=BE=AB=3cm，∠BEA'=90°，∠ABM=∠A'BM，由BE=A'B可得∠BA'E=30°，从而得出∠ABM=∠A'BM=30°，利用直角三角形的性质知AM=AB=2cm，DM=DF=3cm，利用AD=AM+DM即可求解.
18．（3分） 如图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过P点作EF∥BC ，EF分别交AB、AC于点E、F， PD⊥BC于点D．下列结论：①；②C△AEF＝AB+AC；③若AE+AF＝m，PD=n，则三角形AEF的面积＝．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】解：∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，，
∴，
∴，故正确；
∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故正确；
过点作于，作于，连接，
∵在中，和的平分线相交于点，
∴，
∴，故正确；
综上正确，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和变形得到与的和与的关系，再根据角平分线定义即可得到正确；由平行线性质和角平分线定义可以得到，，则有，故正确；过点作于，作于，连接，根据角平分线性质得到，求出和的面积和，即可求出的面积即可得到正确．
三、解答题(共3题；共21分)
19．（6分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
（1）（2分）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）（4分）当时，
直接写出的度数为 ▲ ；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：，
证明：如图，是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：；
，理由如下：
延长到，使，连接，，如上图：
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，即，
，
又，，
，
，
，，
为正三角形，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】解：当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据旋转性质得，，则，再根据全等三角形的判定定理即性质即可求出答案.
（2）①由三角形内角和定理知，根据全等三角形性质，利用角度之间的转化对进行转化，，即可求出答案.
②延长到，使，连接，，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，再根据其性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．（6分）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
（1）（2分）求证：四边形OCED是矩形；
（2）（4分）求证：四边形BCEO是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠COD=90°
又∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∴ OCED是矩形．
（2）证明：∵四边形OCED是矩形
∴CE=OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD．
∴OB=CE．
又∵CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得∠COD=90° ，根据两组对边分别平行可证四边形OCED是平行四边形，根据矩形的判定即证结论；
（2）由矩形的性质可得CE=OD，结合菱形的性质可得OB=OD=CE， 再结合CE∥BD可证四边形BCEO是平行四边形．
21．（9分）在菱形中，对角线交于点，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接．
（1）（2分）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．）
（2）（3分）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段的数量关系，不需要证明；
（3）（4分）在（1）、（2）的条件下，若，则 ．
【答案】（1）解：连接，如图所示，
四边形是菱形
是等边三角形
线段绕点顺时针旋转到
是等边三角形
（2）解：图②图③
（3）3或9
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】解：（2）连接AF，如图所示，
四边形是菱形，
∴是等边三角形
线段绕点顺时针旋转到
是等边三角形
连接AF，如图所示，
四边形是菱形，
∴是等边三角形
线段绕点顺时针旋转到
是等边三角形
（3）∵四边形ABCD为菱形，
∴，
由（1）和（2）得，△ABC为等边三角形，△AEF为等边三角形，
∵，
∴，
∴.
∵CF=3，
∴EM=6+3=9或EM=6-3=3.
【分析】（1）根据菱形的性质和已知条件∠ABC的度数求出三角形ABC是等边三角形，求得AB=AC和∠BAC度数，利用旋转的性质求出AE=AF和∠AEF度数，从而通过等量转化求出∠BAE=∠FAC，根据SAS证明三角形ABE和三角形ACF全等，得BE=CF，通过等量转化即可求出CF+EM=DM；
（2）运用第（1）问中的方法分别求证图②图③；
（3）根据菱形的性质和AB的长度，运用勾股定理分别求出AM和BM的长度，结合第（1）和第（2）的结果即可求出EM的两种情况的长度.
四、实践探究题(共2题；共18分)
22．（9分）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）（4分）当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是 ▲ ．
（2）（5分）若射线的位置保持不变，且．
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由．
②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值．
【答案】（1）∠BOC=∠BOE
（2）①存在；理由如下：
当平分时，，即，解得，
当平分时，，即，解得，
当平分时，，即．解得，
综上所述，的值为或或；
②因为，，
所以，
所以的值为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】解：（1），理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，所以，
∴，
故答案为∶；
【分析】（1）先根据直角得到，，进而根据角平分线的性质得到；
（2）①根据题意分类讨论：当平分时，当平分时，当平分时，进而根据角平分线的性质即可列出一元一次方程，进而即可求解；
②根据题意即可得到。
23．（9分）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）（2分）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）（3分）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）（4分）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
五、综合题(共3题；共27分)
24．（9分）如图，在正方形中，E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G．
（1）（4分）证明： ；
（2）（5分）点E位于什么位置时，，说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）解：当点E位于线段中点时，．
理由如下：若当点E位于线段中点时，则，
由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△GAB≌△EBC，可得BE=AG；
（2）当点E位于线段中点时，可根据SAS证明△AGF≌△AEF，从而得出∠AEF=∠AGF，
又由（1）知：△GAB≌△EBC，可得出∠AGF=∠CEB，从而得出∠AEF=∠CEB。
25．（8分）如图，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，交DC于E.
（1）（3分）求证：四边形AFED是菱形；
（2）（5分）如果∠A＝60°，AD＝5，求菱形AFED的面积.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
∴∠EDF=∠AFD，
，DE∥AF，
四边形AFED是平行四边形.
是平行四边形ABCD中的平分线，
∴∠ADF=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
四边形AFED是菱形；
（2）解：=60°，AD=5，
又由(1)知AD=AF，
为等边三角形，
；
连接AE与DF相交于O.
由(1)知四边形AFED是菱形，
AE=2OA，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证四边形AFED是平行四边形，再利用平行线的性质及角平分线的定义得∠AFD=∠ADF，根据等角对等边得AD=AF，进而根据菱形的判定定理即证结论；
（2）易证△AFD为等边三角形，得DF=5，连接AE与DF相交于O，由菱形的性质得OF=，DF⊥AF，AE=2AO，利用勾股定理求出OA的长，即得AE的长，然后根据计算即可.
26．（10分）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4．
（1）（6分）写出图中点B的坐标： ；在图中描出点C ，并写出C的坐标： ；
（2）（4分）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于 ．
【答案】（1）；；
（2）如图所示， ． 故答案为：26．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】解：如图，点B的坐标为（-3，-2），点C在第一象限，∴C(丨4丨，丨3丨），即C（4，3），在平面直角坐标系中描出即可；
故第一空答案为：（-3，-2）；第2空答案为：如图所示点C；第三空答案为：（4，3）；
【分析】（1）根据点B的位置，直接写出坐标即可；根据点C所满足的条件，找出点C的位置，即可描出点C，根据C的位置，写出C的坐标即可；
（2）把四边形A'BB'C分成两个三角形的面积和，即三角形A'BB'和三角形CA'B'，三角形A'BB'的面积可以用面积计算公式直接计算，三角形CA'B'的面积可以转化成矩形的面积减去三个直角三角形的面积，再求和即可求得答案。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 33.0(27.5%)
主观题（占比） 87.0(72.5%)
题量分布 客观题（占比） 11(42.3%)
主观题（占比） 15(57.7%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(30.8%) 24.0(20.0%)
解答题 3(11.5%) 21.0(17.5%)
实践探究题 2(7.7%) 18.0(15.0%)
综合题 3(11.5%) 27.0(22.5%)
单选题 10(38.5%) 30.0(25.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (73.1%)
2 容易 (11.5%)
3 困难 (15.4%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角形全等的判定 6.0(5.0%) 19
2 角平分线的定义 9.0(7.5%) 23
3 含30°角的直角三角形 9.0(7.5%) 9,14,17
4 三角形的中位线定理 3.0(2.5%) 6
5 菱形的性质 9.0(7.5%) 21
6 轴对称的应用-最短距离问题 3.0(2.5%) 14
7 菱形的判定与性质 8.0(6.7%) 25
8 坐标与图形性质 10.0(8.3%) 26
9 矩形的性质 3.0(2.5%) 17
10 三角形内角和定理 18.0(15.0%) 18,19,23
11 角的运算 9.0(7.5%) 22
12 等腰三角形的性质 3.0(2.5%) 6
13 一元一次方程的其他应用 9.0(7.5%) 22
14 直角三角形的性质 9.0(7.5%) 22
15 多边形内角与外角 9.0(7.5%) 3,8,16
16 定义新运算 9.0(7.5%) 23
17 矩形的判定与性质 6.0(5.0%) 20
18 关于原点对称的点的坐标特征 3.0(2.5%) 11
19 角平分线的性质 18.0(15.0%) 4,7,18,22
20 坐标与图形变化﹣对称 10.0(8.3%) 26
21 平行四边形的性质 11.0(9.2%) 5,25
22 翻折变换（折叠问题） 3.0(2.5%) 17
23 等边三角形的判定与性质 23.0(19.2%) 19,21,25
24 垂线段最短 3.0(2.5%) 5
25 平行线的性质 6.0(5.0%) 15,16
26 等腰三角形的判定与性质 3.0(2.5%) 18
27 菱形的判定 6.0(5.0%) 20
28 勾股定理 26.0(21.7%) 21,23,25
29 点的坐标 10.0(8.3%) 26
30 旋转的性质 21.0(17.5%) 10,12,19,21
31 作图﹣轴对称 10.0(8.3%) 26
32 三角形全等的判定（AAS） 12.0(10.0%) 10,23
33 平行四边形的判定 9.0(7.5%) 1,20
34 正方形的性质 12.0(10.0%) 12,24
35 三角形全等的判定（SAS） 18.0(15.0%) 21,24
36 三角形的面积 6.0(5.0%) 4,15
37 直角三角形斜边上的中线 3.0(2.5%) 13
38 平行四边形的判定与性质 6.0(5.0%) 19
39 邻补角 3.0(2.5%) 16
40 角平分线的判定 3.0(2.5%) 7
41 正方形的判定与性质 6.0(5.0%) 10,15
42 三角形全等及其性质 18.0(15.0%) 15,19,24
43 勾股定理的逆定理 3.0(2.5%) 2
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