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2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟测试卷 03
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）在中，，的平分线交于D，若，则点D到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】解：作相应图形，如图
由题意可得：CD=DE
所以DE=CD=6
即D到AB的距离为6cm
故答案为D
【分析】DE垂直AB，DC垂直BC，BD为角ABC的角平分线，所以DC=DE。
2．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
∵AC=16，CD=10，
∴CO=8，
∴，
∵CE=CD=10，
∴OE=CE-OC=10-8=2，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，即可求得CO=8，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OD=6，，即可得出结论.
3．（3分）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA
∵点E，F分别是AB，CD的中点
∴AE=AB，CF=DC
∴AE=CF
∴四边形AEFD是平行四边形
∴AD=EF
∵AM=CN
∴
∴∠EMA=∠FNC，EM=FN
∵∠EMA+∠EMN=180°，∠FNC+∠FNM=180°
∴∠EMN=∠FNM
∴EM∥FN
∴四边形MENF是平行四边形
A、当∠EMF=90°，四边形MENF是矩形，A错误；
B、当MN=EF，四边形MENF是矩形，B错误；
C、当MN=EF，四边形MENF是矩形，C错误；
D、∵AD=EF，∴当MN=AD，四边形MENF是矩形，D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据平行四边形的判定定理判定四边形AEFD和四边形MENF是平行四边形，再根据矩形的判定定理可以得到答案。
4．（3分）如图，在中，是三个内角平分线的交点，若面积为，且到边的距离为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】解：由题意可得：
点O到AB，BC，AC的距离相等
O到边AB，BC的距离都为4
故答案为：C
【分析】根据三角形角平分线性质及面积即可求出答案。
5．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．23
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】解：由题意可得：
故答案为：23
【分析】在三角形中，根据勾股定理即可求出答案.
6．（3分）已知是的边上的高，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】解：如图①，当AD在△ABC内部时，
∵是的边上的高 ∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵，，，
∴BD==，CD==，
∴BC=BD+CD=；
如图②，当AD在△ABC外部时，
由勾股定理得BD=，CD=，
∴BC=CD-BD=，
∴BD的长为或；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当AD在△ABC内部时，②当AD在△ABC外部时，利用勾股定理进行计算即可.
7．（3分）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】解：由作图过程可知：AP平分∠BAC，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴CD=AD，AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，
S△DAC=AC CD=AC AD，
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，
故答案为：D．
【分析】先求出∠1=∠2=∠B=30°，可得CD=AD，AD=BD，再求出S△DAC=AC CD=AC AD，S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD，可得S△DAC：S△ABC=1：3。
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理进行计算.
9．（3分）在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】 解：
延长EM 交BD于点F，延长DM交AB于点N
由此可得点A，C，D，B四点共圆
，故选项C正确
M是BC的中点，则
N是线段AB的中点
M是BC的中点，则CM=BM
，故选项D正确
，故选项B正确
故答案为A
【分析】由直角三角形ACB和直角三角形ADB有公共的斜边AB可得A，C，D，B四点共圆。由圆的性质得出等角分析易得，利用三角形性质，判断各选项正误。
10．（3分）如图，在中，，，为的中点，于点N，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】解：如图，连接，
∵，点M为中点，
∴（三线合一），，
∵，，
∴，
在中，，，
∴根据勾股定理得：
又，
∴，
故答案为：D．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AM=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】解：由勾股定理得，
∴，
∴在数轴上点A表示的实数是，
故答案为：
【分析】根据勾股定理结合数轴即可求解。
12．（3分）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则 .
【答案】70
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：根据折叠的性质可得，∠GEF=∠FED，
∵∠1=55°，
∴∠EFC=180°-∠1=180°-55°=125°
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FED=180°-∠EFC=180°-125°=55°，
∴∠2=180°-∠GED=180°-55°×2=70°；
故答案为：70
【分析】根据题意，由矩形的性质以及折叠的性质，求出∠2的度数即可。
13．（3分）如图，在平行四边形中，E是边上的中点，连接，并延长交延长线于点F，则与平行四边形的面积之比是 ．
【答案】1：4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】∵平行四边形中，E是边上的中点，
∴AD//BC，ED=AD=BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴，
∵AD//BC，
∴∠ABE=∠F，
在△ABE和△DFE中
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴S△ABE=S△DFE，
∴S△FBC=平行四边形ABCD的面积，
∴与平行四边形的面积之比是1：4
故答案为：1：4
【分析】先证出△FDE∽△FCB，可得，再求出S△FBC=平行四边形ABCD的面积，可得与平行四边形的面积之比是1：4。
14．（3分）如图，在数轴上，以1个单位长度为边长作正方形OABC，以数轴的原点O为圆心，
正方形的对角线OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；正方形的性质
【解析】解：∵以1个单位长度为边长作正方形OABC，
∴OC=BC=1，
∴，
∵以数轴的原点O为圆心，正方形的对角线OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，
∴OD=OB=，
∴点D所表示的数为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质求出OC=BC=1，再利用勾股定理求出OB的长，最后计算求解即可。
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】由作图痕迹可判断点P在第二象限的角平分线上，
点P到x轴和到y轴的距离相等，
P（m-1，2n），
2n=-（m-1），
化简得m+2n=1，.
【分析】根据作图痕迹可判断点P在第二象限的角平分线上，由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得2n=-（m-1），化简即可求解.
16．（3分）如图，在平行四边形中，，，AE平分交边于点E，平分交边于点F，且、交于平行四边形内部点G，则线段 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=DA，又∵AD=BC=5，∴DE=5，同理可得，CF=BC=5，∴DE+CF=10，又DC=AB=8，∴EF=10-8=2.
故第1空答案为：2.
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，找出图中的两个等腰三角形，根据等腰三角形的性质及线段和差关系，求得EF的值。
17．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是 .
【答案】 a+ a.
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】如图所示，取AB的中点D，连接OD、CD，
则OD=AB=a，
CD=，
在△OCD中，∵OD+CD＞OC，
∴当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，
最大值为a+=.
故答案为：.
【分析】 此题难度较大，首先取AB的中点D，连接OD及CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OD的长度，再由等边三角形的性质（三线合一）求出CD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，然后计算即可得到答案．
18．（3分）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则以下结论：；；；其中正确的结论序号为 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】解：延长EF，CD交于点G，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=AB，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DFC=∠BCF，∠A=∠GDF，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=AD=AB，
∵AD=2AB，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD，故①正确；
在△AEF和△DGF中
∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴EF=FG，
∴S△AEF=S△DGF，S△EFC=S△CFG=S△AEF+S△CDF，
∴2S△CEF=S平行四边形ABCD-S△BCE，
∵S△ABC=S平行四边形ABCD=S△BCE，S△BCE＜S△ABC，
∴2S△CEF＞S△ABC，故②错误；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠ECG=90°，
∵CF=FG，
∴EF=CF，故③正确；
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∠AEF=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠DFE=90°-x+180°-2x=270°-3x=3（90°-x）=3∠AEF，故④正确.
∴正确结论的序号为①③④
故答案为：①③④
【分析】 延长EF，CD交于点G，利用平行四边形的性质可证得∠DFC=∠BCF，∠A=∠GDF，同时可证得∠DFC=∠BCF，∠A=∠GDF，利用线段中点的定义，去证明DF=DC，利用等边对等角可推出∠DFC=∠DCF，据此可对①作出判断；利用ASA可证得△AEF≌△DGF，利用全等三角形的性质可得到EF=FG，可推出S△AEF=S△DGF，S△EFC=S△CFG=S△AEF+S△CDF，2S△CEF＞S△ABC，可对②作出判断；利用已知可证得∠ECG=90°，由CF=FG可推出CF=FG，可对③作出判断；利用垂直的定义可知 ∠AEC=90°，设∠FEC=x，则∠FCE=x，可表示出∠DCF，∠AEF=90°-x，∠EFC，然后表示出∠DFE=3（90°-x），可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题(共3题；共22分)
19．（6分）如图，嘉嘉在荡秋千时发现，秋千在静止位置时，下端离地面米，荡秋千到位置时，下端距静止位置的水平距离等于米，距地面米，求秋千的长．
【答案】解：如图所示，
根据题意可知：，
设为米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴秋千的长为米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先找出对应线段的关系，设AB为x，AC为x，AE=x-0.8，再根据勾股定理即可求解。
20．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴．
∴△AOB是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】先根据矩形的性质得到，，，进而得到，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解。
21．（10分）如图，已知正方形的边长为，，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为．
（1）（2分）如图，当时， ；
（2）（2分）如图，当点在边上运动时， ；
（3）（3分）当时，求的值；
（4）（3分）若点是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）32
（2）128
（3）解：由已知得只有当点在边或边上运动时，，
当点在边上运动时，
，
，
解得，
即；
当点在边上运动时，
，
，
解得：，
；
综上所述，当时，或；
（4）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图，当点在上时，≌，
，
，
．
如图，当点在上时，≌，
，
．
综上所述，或时，使得与全等．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】解：（1）∵
∴
∴
故答案为：32.
（2）∵点P在边BC上运动，
∴，
∴
故答案为：128.
【分析】（1）由已知条件得AP=4，然后由，即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）根据已知条件得：只有当点在边或边上运动时，，即分两种情况①当点在边上运动时；②当点在边上运动时，分别列式计算即可；
（4）根据已知条件得：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．即分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别列出关于x的方程求解即可.
四、实践探究题(共2题；共17分)
22．（8分） 如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且，、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．
（1）（2分）求证：平分；
（2）（3分）求证：；
（3）（3分）试试探索、 、三条线段间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，由旋转可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴平分；
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴，，，
∴，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：、 、三条线段间的数量关系为．
如图，在正方形中，，，
∴．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，连结GM，
∴，
∴，，，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在和中，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，根据旋转的性质可得△BAQ≌△DAE，则可得出结论；
（2）先判断出点Q、B、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AQF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=QF，再根据QF=BQ+BF等量代换即可得证；
（3）把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，连结GM，用SAS证明△AHG≌△AMG，由全等三角形的性质得出MG=HG，求出△GDM=90°，由勾股定理就可以得出结论HG2=GD2+BH2.
23．（9分）【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点G．
【问题探究】
（1）（2分）的度数为 ；
（2）（3分）过G作交的延长线于点F，交于点H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）（4分）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）135
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：（1）∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用角平分线性质和是三角形的内角和即可求解；
（2）同角的余角相等，根据已知条件可利用AAS的判定方法证明△ABG≌△FBG，从而得出AB=BF；
（3）根据△ABG≌△FBG，可知AG=FG，从而可得出DG=4，根据AAS可知△AGH≌△FGD，可知DG=GH=4.
五、综合题(共3题；共27分)
24．（9分）已知：四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、.
（1）（4分）求证：；
（2）（5分）证明：.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DAE=∠BAF，然后根据∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=∠DAB进行计算.
25．（9分）如图，在四边形中，已知，，，，.
（1）（4分）求证：是直角三角形
（2）（5分）求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形.
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴.
∴四边形为.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=6，然后利用勾股定理逆定理进行证明；
（2）由勾股定理可得BC的值，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
26．（9分） 如图，在□中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）（4分）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）（5分）若AD＝10，△AED的周长为36，则菱形ADEF的面积是 ．
【答案】（1）证明 ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，∠AED=∠BAE．
∵，
∴．
∴四边形ADEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．
∴∠AED=∠DAE．
∴ AD=DE．
∴平行四边形是菱形．
（2）96
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】解：（2）连接DF交AE于点O，
∵ 四边形是菱形 ，AD=10，
∴DE=AD=10，DF⊥AE，AO=OE，DO=OF，
∵ △AED的周长为36 ，
∴AE=36-10-10=16，
∴AO=8，
∴DO==6，
∴DF=2DO=12，
∴ 菱形ADEF的面积为；
故答案为：96.
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，， 结合已知可得，可证四边形ADEF是平行四边形，由作图知AE平分∠BAD ，利用角平分线的定义及平行线的性质可推出 ∠AED=∠DAE，可得AD=DE，根据菱形的判定定理即证结论；
（2）根据菱形的性质及△AED的周长 ，可得DE=AD=10，DF⊥AE，AO=OE=8，DO=OF，利用勾股定理求出DO，即得DF，根据菱形ADEF的面积为进行计算即可.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 33.0(27.5%)
主观题（占比） 87.0(72.5%)
题量分布 客观题（占比） 11(42.3%)
主观题（占比） 15(57.7%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(30.8%) 24.0(20.0%)
解答题 3(11.5%) 22.0(18.3%)
实践探究题 2(7.7%) 17.0(14.2%)
综合题 3(11.5%) 27.0(22.5%)
单选题 10(38.5%) 30.0(25.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (73.1%)
2 容易 (11.5%)
3 困难 (15.4%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 含30°角的直角三角形 9.0(7.5%) 25
2 菱形的性质 3.0(2.5%) 2
3 菱形的判定与性质 9.0(7.5%) 26
4 矩形的性质 9.0(7.5%) 12,20
5 三角形内角和定理 12.0(10.0%) 18,23
6 等腰三角形的性质 12.0(10.0%) 8,18,20
7 直角三角形的性质 3.0(2.5%) 9
8 角平分线的性质 24.0(20.0%) 1,4,7,9,15,23
9 作图-角的平分线 3.0(2.5%) 15
10 翻折变换（折叠问题） 3.0(2.5%) 12
11 平行四边形的性质 9.0(7.5%) 13,16,18
12 等边三角形的性质 3.0(2.5%) 17
13 矩形的判定 3.0(2.5%) 3
14 无理数在数轴上表示 6.0(5.0%) 11,14
15 勾股定理 38.0(31.7%) 2,5,6,8,10,11,14,22,26
16 旋转的性质 8.0(6.7%) 22
17 三角形全等的判定（AAS） 9.0(7.5%) 23
18 正方形的性质 30.0(25.0%) 14,21,22,24
19 三角形全等的判定（SAS） 17.0(14.2%) 22,24
20 三角形的面积 31.0(25.8%) 4,7,10,18,21,25
21 直角三角形斜边上的中线 3.0(2.5%) 17
22 平行四边形的判定与性质 12.0(10.0%) 3,26
23 等腰三角形的判定 3.0(2.5%) 16
24 三角形全等的判定（ASA） 12.0(10.0%) 18,23
25 三角形三边关系 3.0(2.5%) 17
26 勾股定理的应用 6.0(5.0%) 19
27 三角形全等及其性质 13.0(10.8%) 1,21
28 勾股定理的逆定理 9.0(7.5%) 25
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2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟测试卷 03
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）在中，，的平分线交于D，若，则点D到的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
4．（3分）如图，在中，是三个内角平分线的交点，若面积为，且到边的距离为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．23
6．（3分）已知是的边上的高，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在中，，，为的中点，于点N，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
12．（3分）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则 .
13．（3分）如图，在平行四边形中，E是边上的中点，连接，并延长交延长线于点F，则与平行四边形的面积之比是 ．
14．（3分）如图，在数轴上，以1个单位长度为边长作正方形OABC，以数轴的原点O为圆心，
正方形的对角线OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D所表示的数为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形中，，，AE平分交边于点E，平分交边于点F，且、交于平行四边形内部点G，则线段 ．
17．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是 .
18．（3分）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则以下结论：；；；其中正确的结论序号为 ．
三、解答题(共3题；共22分)
19．（6分）如图，嘉嘉在荡秋千时发现，秋千在静止位置时，下端离地面米，荡秋千到位置时，下端距静止位置的水平距离等于米，距地面米，求秋千的长．
20．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数．
21．（10分）如图，已知正方形的边长为，，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为．
（1）（2分）如图，当时， ；
（2）（2分）如图，当点在边上运动时， ；
（3）（3分）当时，求的值；
（4）（3分）若点是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
四、实践探究题(共2题；共17分)
22．（8分） 如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且，、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．
（1）（2分）求证：平分；
（2）（3分）求证：；
（3）（3分）试试探索、 、三条线段间的数量关系，并加以证明．
23．（9分）【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点G．
【问题探究】
（1）（2分）的度数为 ；
（2）（3分）过G作交的延长线于点F，交于点H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）（4分）在（2）的条件下，若，求的长．
五、综合题(共3题；共27分)
24．（9分）已知：四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、.
（1）（4分）求证：；
（2）（5分）证明：.
25．（9分）如图，在四边形中，已知，，，，.
（1）（4分）求证：是直角三角形
（2）（5分）求四边形的面积.
26．（9分） 如图，在□中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）（4分）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）（5分）若AD＝10，△AED的周长为36，则菱形ADEF的面积是 ．
答案解析部分
1．D
2．A
3．D
4．C
5．D
6．D
7．D
8．C
9．A
10．D
11．
12．70
13．1：4
14．
15．
16．2
17． a+ a.
18．①③④
19．解：如图所示，
根据题意可知：，
设为米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴秋千的长为米．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴．
∴△AOB是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（1）32
（2）128
（3）解：由已知得只有当点在边或边上运动时，，
当点在边上运动时，
，
，
解得，
即；
当点在边上运动时，
，
，
解得：，
；
综上所述，当时，或；
（4）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图，当点在上时，≌，
，
，
．
如图，当点在上时，≌，
，
．
综上所述，或时，使得与全等．
22．（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，由旋转可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴平分；
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴，，，
∴，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：、 、三条线段间的数量关系为．
如图，在正方形中，，，
∴．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，连结GM，
∴，
∴，，，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在和中，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）135
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
24．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵
∴，
∴.
25．（1）证明：∵，，，
∴，
在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形.
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴.
∴四边形为.
26．（1）证明 ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，∠AED=∠BAE．
∵，
∴．
∴四边形ADEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．
∴∠AED=∠DAE．
∴ AD=DE．
∴平行四边形是菱形．
（2）96
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