空间直线、平面的平行
【题型1】线面平行的判定
【典题1】 (多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有
A. B.
C. D.
【巩固练习】
1.(★★) 在三棱锥中，分别是的重心，以下与直线平行的是( )
A. 直线 B.平面 C.平面 D.平面
2.(★★★)如图甲，在梯形中，分别为的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内(如图乙)，那么在以下 3 个结论中，正确结论的个数是( )
(1) 平面； (2) 平面； (3) 平面.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.(★★★)如图，已知正方体分别为的中点，点在上底面 (含边界)上运动. 请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面.
【题型2】 线面平行的性质
【典题1】 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，的中点，上，，若平面，则的值为 .
【巩固练习】
1.(★★) 如图，已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，点为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
2.(★★) 如图所示，为所在平面外一点，的中点，上一点，当平面时， .
3.(★★★)在正四棱台中，，，若平面，则 .
【题型3】 面面平行的判定和性质
【典题1】 如图，在多面体中，平面平面，且，则
A. 平面 B. 平面
C. D.平面平面
【典题2】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为 .
【巩固练习】
1.(★★★) 如图，在三棱柱中，已知点分别在上，且经过的重心，点分别是的中点，且 四点共面，则下列结论错误的是( )
A. B. 平面
C. D.平面平面
2.(★★) 如图，平面平面，平面，平面，则 .
3.(★★★)如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点(含边界)，若平面，则线段长度的取值范围是 .
4.(★★★★)在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面 ，则下列说法正确的是( )
A.点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为
C.点的轨迹是正方形 D.点轨迹的长度为
【题型4】 综合解答题
【典题1】 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，上靠近点的四等分点.
(1)证明: 平面.(2)证明:平面平面.
【典题2】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明: 平面；
(2)点为底面四边形内的一动点(包括边界)，且平面平面，求的最大值.
【巩固练习】
1.(★★★) 如图，四棱锥的底面为平行四边形. 设平面与平面的交线为 、 分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证: .
2.(★★★) 如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足.
(1)求证: 平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面. 若存在，求出； 若不存在，请说明理由.
3.(★★★★)已知正方体中，分别为对角线上的点，且.
(1)求证: 平面；
(2)若上的点，当的值为多少时，能使平面平面 请给出证明.
1.(★)如图，正方体中，分别为棱上的点，在平面内且与平面平行的直线( )
A．有一条 B．有二条
C．有无数条 D．不存在
2.(★★)在正方体中，交于点，则错误的是
A. 平面
B. 平面
C.平面平面
D.平面平面
3.(★★★)如图，在四面体中，中点，中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D.
4.(★★★)在长方体，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为( )
5.(★★★★)如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
6.(★★)在直三棱柱中，分别是的中点，给出下列四个判断:
(1)平面； (2)平面；
(3)平面； (4) 平面，
则错误的序号为 .
7.(★★★)如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，点分别在线段上，且，点上且平面平面，则 .
8.(★★★)已知长方体中，分别是棱的中点，是该长方体底面上的动点，若平面，则面积的取值范围是 .
9.(★★★)在直三棱柱中，的中点.
(1)求证: 平面；(2)求异面直线所成角的余弦值.
10.(★★★)如图，在长方体中，分别为所在棱的中点，分别为的中点，连接.
(1)求证:平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面 若存在，求出点的位置； 若不存在，请说出理由.空间直线、平面的平行
【题型1】线面平行的判定
【典题1】 (多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有
A. B.
C. D.
解析 对于，设的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，
故，即四边形为平行四边形，
故 ，而平面平面
故平面正确；
对于，设的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面平面 ，
故平面正确；
对于，设的中点，底面为平行四边形，连接，
设，连接，
则，而，
故，即四边形为平行四边形，
故
又平面平面，平面平面，
假设平面 则
即在平面内过点 有两条直线和 都平行，这是不可能的，
故此时平面不成立，错误；
对于，设底面为平行四边形，连接交于点，
则的中点，连接，
由于的中点，故；
又平面平面，平面平面，
假设平面 则
即在平面内过点 有两条直线和 都平行，这是不可能的，
故此时平面不成立，错误；
故选: .
【巩固练习】
1.(★★) 在三棱锥中，分别是的重心，以下与直线平行的是( )
A. 直线 B.平面 C.平面 D.平面
答案 B
解析 如图所示，取中点为，连结 ，
由分别是的重心，可得，
则，即，所以，
又由不平行 ，故错误；
由，且平面平面，所以平面，
所以正确；
因为平面平面，所以与平面不平行，所以错误；
因为平面平面，所以与平面不平行，所以错误.
故选: .
2.(★★★)如图甲，在梯形中，分别为的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内(如图乙)，那么在以下 3 个结论中，正确结论的个数是( )
(1) 平面； (2) 平面； (3) 平面.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案 C
解析 如图甲，在梯形中，分别为的中点，
以为折痕把折起，使点不落在平面内(如图乙)，
对于(1)，由题意得 四边形是平行四边形，，
平面平面平面，故(1)正确；
对于(2)，取中点，连接，
中点，，
相交，与平面相交，故(2)错误；
对于(3)，连接，交于点，连接，
四边形是平行四边形，中点，
平面平面平面，故(3)正确.
故选: .
3.(★★★)如图，已知正方体分别为的中点，点在上底面 (含边界)上运动. 请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面.
答案 中点与中点连线上
解析 取的中点分别为，
连接，
因为分别为的中点，所以.
同理可得.
因为，所以四边形是平行四边形，可得.
所以，同理可证明 ，
所以共面，
因为平面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面 (含边界)，
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，即点中点与中点连线上，
故答案为: 中点与中点连线上.
【题型2】 线面平行的性质
【典题1】 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，的中点，上，，若平面，则的值为 .
解析 设的交点为，连接.
由平面，平面平面平面，
可得，即有.
在平行四边形中，，可得，
即有，则.
故答案为: 3 .
【巩固练习】
1.(★★) 如图，已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，点为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接于点，连接，则平面平面，
又平面，所以，所以，
因为是底面圆的直径，点为底面圆周上的点，并将弧 三等分，
则，点为劣弧的中点，连接，
所以，所以，
易得，所以，则.
故选: C.
2.(★★) 如图所示，为所在平面外一点，的中点，上一点，当平面时， .
答案
解析 连接于点，连接.
平面平面，平面平面，
，
故答案为: .
3.(★★★)在正四棱台中，，若平面，则 .
答案
解析 连接，设，平面平面.
因为平面，所以，
正方形中，，则，同理 ，
则，
，
因为，所以.
故答案为: .
【题型3】 面面平行的判定和性质
【典题1】 如图，在多面体中，平面平面，且，则
A. 平面 B. 平面
C. D.平面平面
解析 取的中点为，连结 ，如图所示，
因为，且，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，且，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，所以，
又，所以 ，
所以四边形是平行四边形，即
又平面平面
所以平面. 故选项正确，
而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断与平面是否平行，故选项错误；
没有任何关系可以推导 ，故选项错误；
没有条件可以判断平面与平面是否平行，故选项错误.
故选: A.
【典题2】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为 .
解析 在正方体中，连接，交于点，则点满足条件，
证明如下：连接，交于点，连接，
则，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，且平面，所以平面，
同理 平面，
所以平面平面，
所以当在直线上运动时，都满足平面，
设正方体棱长为1 ，在中，，
故当 最小时， 取得最大值，
故当时， 最小，此时中点，，
所以是最大值.
故答案为: .
【巩固练习】
1.(★★★) 如图，在三棱柱中，已知点分别在上，且经过的重心，点分别是的中点，且 四点共面，则下列结论错误的是( )
A. B. 平面
C. D.平面平面
答案
解析 对于，因为平面平面，平面平面，平面
平面，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，所以正确；
对于，由选项 可知，
因为平面平面
所以平面，所以正确；
对于，因为，
所以，
因为经过的重心，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以正确；
对于，因为，所以，
因为，所以四边形为梯形，且为腰，
所以 必相交，
因为平面平面，
所以平面与平面相交，所以错误.
故选: .
2.(★★) 如图，平面平面，平面，平面，则 .
答案
解析 因为平面平面，平面，平面，
所以，因 ，则，
则.
故答案为: .
3.(★★★)如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点(含边界)，若平面，则线段长度的取值范围是 .
答案
解析 如图所示：
取的中点，连接，
在正方体中，易得，
又因为平面平面，所以平面，
同理证得 / /平面，又因为，
所以平面平面，
因为是侧面内一点(含边界)，且平面，
所以点在线段上运动，
如图所示:
在等腰 中，作，且，
所以，
设点到线段的距离为，
由等面积法，得，解得，
所以线段长度的取值范围是，
故答案为: .
4.(★★★★)在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面 ，则下列说法正确的是( )
A.点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为
C.点的轨迹是正方形 D.点轨迹的长度为
答案
解析 如图，取棱的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以在中，，由于平面平面，
所以 / /平面，
因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，因为平面平面，
所以 /平面，
因为平面，
所以平面平面，
由于为体对角线的中点，
所以，连接并延长，直线 必过点，
故取中点，连接，
所以由正方体的性质易知，
所以四边形是平行四边形，，
因为，
所以共线，即平面，
所以四边形为点的轨迹，故选项错误；
由正方体的棱长为1 ，
所以四边形的棱长均为，且对角线为，
所以四边形为菱形，周长为，故选项错误，
由菱形的性质知，线段的最大值为，故选项正确.
故选: .
【题型4】 综合解答题
【典题1】 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，上靠近点的四等分点.
(1)证明: 平面.
(2)证明:平面平面.
解析 证明: (1)如图，连接，设相交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以的中点，
又因为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，则
因为平面平面
所以 //平面；
(2)取的中点，连接，
因为，
所以四边形 都为平行四边形，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以
因为上靠近点的四等分点，所以的中点，
又因为的中点，所以，所以，
又平面平面，则平面，
同理可得平面，因为，
所以平面平面.
【典题2】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明: 平面；
(2)点为底面四边形内的一动点(包括边界)，且平面平面，求的最大值.
解析 (1)证明：取的中点，连接，
中，分别为的中点，
，
分别为的中点，
，
故四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面；
解: (2)取中点为，连接，
在中，分别为的中点，，
平面平面平面，
又
平面平面平面，
又，且平面，
故平面平面 ，
因为点为底面四边形内的一动点(包括边界)，且平面 //平面，
点，即点在线段 (包括端点)上移动，
当点 运动到时，此时的最大值，最大值为2 .
【巩固练习】
1.(★★★) 如图，四棱锥的底面为平行四边形. 设平面与平面的交线为 、 分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证: .
答案 (1)略； (2)略.
解析 证明: (1)因为分别为的中点，
底面为平行四边形，
所以
又平面平面 ，
则平面
同理可得 / /平面
所以平面平面；
(2) ，
平面平面
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
2.(★★★) 如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足
.
(1)求证: 平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面. 若存在，求出； 若不存在，请说明理由.
答案 (1)略； (2) .
解析 (1)证明：由题意可知，
根据相似三角形原理有 ，
又平面，且不在平面上，
所以平面；
(2)存在.
由于，只需 ，即有平面平面，
当，
因为，
所以平面平面，
根据相似三角形原理可知.
3.(★★★★)已知正方体中，分别为对角线上的点，且.
(1)求证: 平面；
(2)若上的点，当的值为多少时，能使平面平面 请给出证明.
答案 (1)略； (2) .
解析 (1)证明：连接，并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以.
又平面平面 ，
故平面.
(2)当时，能使平面平面.
证明: 因为，即有，故，所以.
又，
又平面平面，
所以平面，
由，得平面平面，
所以平面，
又，
所以平面平面.
1.(★)如图，正方体中，分别为棱上的点，在平面内且与平面平行的直线( )
A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在
答案 B
解析 由题设知平面与平面有公共线，
则在平面内与平行的线有无数条，且它们都不在平面内，
由线面平行的判定定理知它们都与面平行，
故选：．
2.(★★)在正方体中，交于点，则错误的是
A. 平面 B. 平面
C.平面平面 D.平面平面
答案 D
解析 对于，因为，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面，故正确；
对于，连接于点，连接，
由正方体中 分别为的中点，
因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，故正确；
对于，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故正确；
对于，平面 即为平面，而平面与平面相交，
所以平面与平面相交，故错误.
故选: .
3.(★★★)如图，在四面体中，中点，中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D.
答案 C
解析 如图所示，取中点，且中点，
，
取的四等分点，使，
在平面内作于点，连接，
显然
故，且，
则四边形是平行四边形，
则 ，满足平面
此时的四等分点，故.
故选: C.
4.(★★★)在长方体，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为( )
答案 B
解析 作于点，作于点，
线段平行于对角面
设，
在直角梯形中，
时，的最小值为．
故选:．
5.(★★★★)如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得，，在上取点，使，
则且，
所以四边形是平行四边形，所以．
在上取点，使，则，所以．
又，，
所以平面平面，所以点M的轨迹就是线段，
在中，，，
由余弦定理得，
故选：．
6.(★★)在直三棱柱中，分别是的中点，给出下列四个判断:
(1)平面； (2)平面；
(3)平面； (4) 平面，
则错误的序号为 .
答案 (1)(2)(4)
解析 连接，
所以，四边形为平行四边形，则，
分别为的中点，则，
故四边形为平行四边形，则，
平面平面，故平面，
同理可证四边形为平行四边形，则，
则四边形为平行四边形，所以，，
平面平面，则平面，
，故平面平面，
平面，则平面，(3)对；
对于(1)，若平面，则平面平面，
因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故(1)错，
同理可知，(2)(4)均错.
故答案为: (1)(2)(4).
7.(★★★)如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，点分别在线段上，且，点上且平面平面，则 .
答案
解析 四棱柱中，四边形为平行四边形，且，
因为平面平面，平面平面，平面，所以，所以；
又因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，所以.
故答案为: .
8.(★★★)已知长方体中，分别是棱的中点，是该长方体底面上的动点，若平面，则面积的取值范围是 .
答案
解析 补全截面为截面 如图，设，
直线与平面不存在公共点，
平面，
易知平面平面，
，
且当重合时， 最短，此时的面积最小；
由等积法: ，即 ，
又平面为直角三角形，
的面积为: ，
当重合时， 最长为4 ，此时的面积最大；
最大值为: ；
故答案为: .
9.(★★★)在直三棱柱中，的中点.
(1)求证: 平面；
(2)求异面直线所成角的余弦值.
答案 (1)略； (2) .
解析 (1)证明：设的交点为，连接，
因为为直三棱柱，且，
则四边形为正方形，
所以的中点，
又的中点，
所以，
又因为平面平面，
所以平面，得证；
(2)由(1)可知，，
所以为直线所成的角 (或其补角)，
在中，，
由余弦定理可得，
即异面直线所成角的余弦值为.
10.(★★★)如图，在长方体中，分别为所在棱的中点，分别为的中点，连接.
(1)求证:平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面 若存在，求出点的位置； 若不存在，请说出理由.
答案 (1)略； (2) 当时，满足平面.
解析 (1)证明: 连接分别为所在棱的中点，
又平面平面平面，
同理可证 平面，
又平面 //平面；
(2)线段上存在点，当时，满足平面，
证明如下； 如右图，取上靠近点的三等分点为，连接，连接并延长交于点，
连接，则平面与平面为同一平面，
取线段的中点为，连接，
由平行关系及 的中点，得，则，
因为分别为的中点，
所以，且，
又，即，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面平面，
故平面.
