专题01 空间向量综合应用
一．利用空间向量求线线角
1．（22-23高二上·广东汕尾·期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成的角的大小为，
则.故选：C
2．（23-24高二上·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
.故选：B
3．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，
在中，由余弦定理得：，
；
在中，由余弦定理得：；
，
，即异面直线夹角的余弦值为.故选：C.
4．（22-23高二上·黑龙江·期中）如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DP，DC，DA两两互相垂直，
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，得，，，，，
所以，，
设异面直线AC与BQ所成的角为，则，
又，所以异面直线AC与BQ所成的角为．故选：A．
5．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，设，则有，
由得，
，
异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.
6．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
（1）求的长．
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，
所以，即的长为.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以设所求异面直线所成角为，.
7．（23-24高二上·上海·期中）（改变）在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为、分别是、的中点，所以，
由、分别是、上的点，且，可得，
所以，故、、、四点共面；
（2）由题意，在四面体中，设棱长为，
以为空间一组基底，两两夹角为，
，
所以
，
所以，
，
所以，
所以直线和所成角的余弦值为.
8．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．
（1）求证：平面
（2）求异面直线与夹角大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在正方体中，因为，，两两垂直，
故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：
不妨设正方体的棱长为1，
则，
故，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，所以．从而，
又平面，所以平面.
（2）设、分别为直线与的方向向量，
则由，，
得，所以，
所以两异面直线与的夹角的大小为．
二．利用空间向量求线面角
9．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，则，..
易知平面的法向量.
设与平面所成角为，
则.故选：C.
10．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1，
则，设，
所以，平面的法向量为
，
所以则与平面所成角的正弦值取值范围为.
对比各选项，C项不可能.故选：C
11．（22-23高二下·江苏连云港·期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，平面，所以，
因为正方形中，，且，平面，
所以⊥平面，
因为点M ，N分别是上的动点，
当点为交点时，⊥，过点作于点，
此时为的公垂线，即线段的长最小，
设正方体边长为，则，，
因为，所以，
故，解得：，，
过点作于点，同上可知，即，
解得：，，故，
，
又，则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设与平面所成角大小为，
则.故选：B
12．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知平行六面体的各条棱长均为2，且有．
（1）求证：平面：
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）记，
因为平行六面体的各条棱长均为2，，
所以，，
因为，
，
所以，
同理，则，
又平面，所以平面.
（2）因为底面是平行四边形，且棱长为，
所以底面是菱形，则，
又，平面，所以平面，
即是平面的一个法向量，
因为是的中点，所以，
易知在等边三角形中，，
而，
则，
，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
13．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）是长方体，平面,
平面,,
是边长为的正方形，侧棱，且为棱的中点，
,,,
,,
平面，平面，且，
平面，
平面，平面平面.
（2）以点为原点，以、、所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,，
则,,,
设平面的法向量为，
则，解得：，取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
线面角范围为，，即直线与平面所成角为.
14．（23-24高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，为的中点．
（1）若，求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为四边形为矩形，则，
因为为的中点，则，
又因为，，则为等腰直角三角形，所以，，
同理可证，所以，，即，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，.
（2）证明：设的中点为，的中点为，连接、、，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，且为的中点，
则为等边三角形，且，，
因为四边形为矩形，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，且，
所以，四边形为矩形，所以，，
所以，二面角的平面角为，则，
因为，则，则，
因为，，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
15．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接交于点，连接，显然是的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
而平面，平面，所以平面．
（2）设的中点为，连接并延长交于点．
因为，所以，于是有．
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，
而平面平面，所以平面．
因为侧面是矩形，所以．
以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，
于是，．
设平面的法向量为，
则有即令，可得．
易知平面的一个法向量为．
因为二面角的大小为，所以，
即，解得（负值舍去）．
故，，．
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
16．（23-24高二上·江苏南通·期中）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为直三棱柱中，，所以BA，BC，两两垂直，
以点B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧面为正方形，，
E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，
所以，，，，
设，则．
由，得，即．
（2）当时，则，，．
设平面DEF的法向量为，
则由即取．
设直线BF与平面DEF所成角为，
则，
即直线BF与平面DEF所成角的正弦值为．
三．利用空间向量求二面角
17．（22-23高二上·北京·期中）设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是 ．
【答案】
【解析】∵分别是平面α，β的法向量，
∴，
∵平面和平面夹角范围是，∴平面α与平面β的夹角为．
18．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图所示：取中点为,连接，
在中，分别为的中点，
所以为的中位线，所以,,
在正方形中，为中点，所以,,
所以,
所以四边形为平行四边形，所以,
又因为：平面，平面，所以平面.
（2）有题意知：两两垂直，建立如图所示：
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系,
不妨设，则，
所以，
设平面的法向量为：
则，取，则，
易知平面的一个法向量为：
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（23-24高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接，因为分别为的中点，所以
在三棱柱中，.所以四点共面.
因为分别为的中点，所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.因为平面平面，
所以平面.
（2）由题设平面，所以.
因为，所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.
所以.
.
平面的一个法向量是，设平面的法向量为，
则即
令，则.于是，
设二面角的平面角为，
则，由图可知为锐角，所以.
20．（22-23高二下·浙江温州·期中）在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且.
（1）当时，求证：；
（2）当的长最小时，求二面角的余弦值
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在平面内过点作，使得点与点在同侧，
平面，平面，平面，
，，则两两互相垂直.
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，；
由得：，，
为等腰直角三角形，；
同理可得：为等腰直角三角形，
当时，，，分别是中点，
，，，，
，.
（2）由（1）可得：，，，为等腰直角三角形；
，，
则；
当时，最小，分别是中点，
，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.
21．（23-24高二上·云南玉溪·期中）将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，且，得到如图所示的四棱锥，若，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为为的中位线，所以，
因为，所以，，又，所以平面.
（2）由（1）因为平面，平面，
所以平面平面．取的中点，连接，
因为，所以．
又平面平面，所以平面，且．
以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，，．
设是平面的法向量，可得，
令，得，
设是平面的法向量，可得，
令， 得．
设平面与平面的夹角为，则
所以平面与平面的余弦值为．
22．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取的中点，连
分别是的中点，且
又是的中点，且，且
则四边形 是平行四边形，
又，平面
（2）连接，设，
如图：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
在正四棱锥中，底面为正方形，，所以，
又因为，所以.
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得
又平面的一个法向量为.
，所以平面与平面的夹角为
23．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．
（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】（1）连接，
因为为正三角形且是的中点，所以.
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形是菱形，所以.
又，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面．
（2）连接，
因为四边形是菱形，所以，.
又，所以为等边三角形.
又是的中点，所以.
平面平面，平面平面，平面，
所以，面.
以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，
如图建立直角坐标系．设，则，，，
所以，，，.
又，所以.
设面法向量为，
因为，，
所以，即，取，得.
设，则，，
由得，，
即，即，则，
则，.
设为面法向量，
则，所以有，即，
取可得，.
由已知可得，解得或5．
因为二面角为锐二面角，所以由图可知，．
24．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，所以，
所以底面圆的半径，所以圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，所以圆柱的表面积.
（2）由（1）及题意知可以为坐标原点，正方向为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，则，，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，得；
又因为轴平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
由图形可知：二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
四．利用空间向量求空间距离
25．（22-23高二上·广东江门·期中）平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】，
则点到平面的距离.故选：D
26．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，.故选：A.
27．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
又平面，所以平面平面.
（2）以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
∵为的中点，∴，
则，，，，
∵，∴，
又，∴，
又，，平面，∴平面.
所以为平面的法向量，
则点到面的距离.
28．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 .
【答案】/
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，，
设平面的法向量为，
故，即，取，则，
又，故点到平面的距离为.
29．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）建立如图所示：空间直角坐标系，则
所以,
所以点到直线的距离.
（2）,
设平面的法向量为：，
则，取，则，
所以点到平面的距离为.
30．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，四面体中，，，，E为的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）设，，，点F在上，若与平面所成角的正弦值为，求点F到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为，E为的中点，所以，
在和中，，
所以，所以，
又E为AC的中点，所以，
又平面BDE，，所以⊥平面.
（2）由（1）可知⊥平面，且，
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，
所以，
设面的一个法向量为，
则， ，取，则所以，
又，，
设，，所以，
设与平面所成的角为θ，
因为，
所以，解得，
由点到平面的距离公式得
31．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为底面，平面，
因为，
因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，
所以，
因为M为BC的中点，所以，
所以，
所以，，
所以，，所以，
因为，平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
因为，所以点D到平面的距离.
32．（23-24高二上·广东湛江·期中）如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.
（1）证明：平面.
（2）延长至点，使得，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为，所以.
因为底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
.
设平面的法向量为，
则，即令，得.
因为，所以点到平面的距离.
五．利用空间向量求最值范围
33．（20-21高二·全国·单元测试）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,，，，,
设(x，y，z)，,，则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.故选：A.
34．（23-24高二上·浙江台州·期中）在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【解析】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系
可得：，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，得，
解得：，，，即.
由于直线与平面平行，则，得：，即：.
，，
，
，
可知：由于，当时，取得最小值，最小值为.故选：C
35．（22-23高二上·江西吉水·期末）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且．设CE与平面ABE所成的角为，，若，则k的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，则，
取AB的中点M，则，连接CM，则，
又平面，因为平面ABC，所以，
又因为，所以，则平面ABE的一个法向量为．
由题意知，
又由，可得：，
结合可得：，所以k的最大值为.故选：C．
36．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，两两互相垂直，
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，（，，且m，n不同时为0），
则，，，所以，.
设平面AEF的一个法向量为，
则，
令，得，则，
显然为平面ABC的一个法向量.
因为平面与平面所成角的大小为，
所以，
即，得，
所以，所以当时，m取得最大值，最大值为.故选：B
37．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，平面，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
由二面角的平面角大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
则Q的轨迹是过点D的一条线段，
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，
由题意可知，，，
所以，，，
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，
则，即，令，得，，
所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，故面积的最大值是.故选：A．
38．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面且，
所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
因为已知是四边形内部一点，所以设，
其中且（即点在平面内部），
则，
因为平面平面，所以平面的法向量为，
又因为，
设平面的法向量为，
则，即，
由题易得，令，则，所以，
因为二面角的平面角大小为，
所以，
即，解得①，
因为点是中点，所以到平面的距离为，
所以要使得四棱锥体积的最大，
则，即要取到最大值，
由①知时，
此时点不在四边形内部，矛盾，
故当时体积取到最大值，此时，
所以，故选：D
39．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且，，点P在线段AB（不含端点）上运动．若线段CD（不含端点）上存在点Q，使异面直线PQ与AC所成的角为30°，则线段AP的长度的取值范围为
【答案】
【解析】平面平面，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，BC中点为O，连接OA，
则，平面，平面平面，则平面，
又，，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设， ，
，
∵异面直线PQ与AC成30°的角，
∴ ，
解得，
线段PA长的取值范围是.
40．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.
（1）求证：；
（2）若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）取的中点为，连结，
，，，
又是以为直径的圆上一点，，
，平面，平面，，
平面，平面，，
又，为的中点，，
，平面，平面，平面，
在圆台中，平面，
，又因为在圆台中，圆圆，
，所以四边形为平行四边形，
且，
在中，为的中点，为中点，
，又，，
又，.
（2）如图以为正交基底建立空间直角坐标系，
，
，，
设，则，，
设平面的法向量为，
，取，，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，，，，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，则，
所以的取值范围为，
即，又，所以，
所以直线与平面所成角的取值范围.
六．利用空间向量探究动点问题
41．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点，均有
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得与所成角是
D．不存在点，使得与平面的所成角是
【答案】D
【解析】设正方体棱长为，如图所示建立空间直角坐标系，
则,
设，
则，，
所以，故A正确；
易知平面的一个法向量为，
则，即点是线段的中点时，
满足平面，故B正确；
由上可知，
所以当，
即时，使得与所成角是，故C正确；
由上可知，设平面的一个法向量为，
则有，令，即，
若与平面的所成角是，
则有，
即存在点，使得与平面的所成角是，故D错误.故选：D
42．（23-24高二上·山东淄博·期中）（多选）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角最小值为
D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值．
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
对于A，则，
由于，设则，
则，
所以E，F运动时，不存在点E，F使得，A错误;
对B，若，则四点共面，与与是异面直线矛盾，B错误;
对C，设平面的法向量为. 又,
,令，可得，
平面的法向量可取为，故，
因为，所以函数在单调递减，
所以，所以，
所以当时，有最大值为，
设二面角的平面角为，所以有最大值为，
即二面角的最小值为，C正确;
对于D，连接，平面即为平面,平面即为平面，
取平面的法向量为.
设平面的法向量为，
，令，则，
设二面角的平面角为，则，
观察可知二面角的平面角为为锐角，所以，D错误；故选:ABD.
43．（23-24高二上·宁夏·期中）在直角梯形中，，，，如图①把沿翻折，使得平面平面（如图②）．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，，理由见解析.
【解析】（1）由题设，若为中点，连接，则，
由面面，面面，面，则面，
而面，故，
又，，则，且，
所以，故，所以，
，面，则面，
又面，所以.
（2）过作，由（1）知：，且面，
所以可构建如下图示的空间直角坐标系，则，
设且，则，且，
若是面的一个法向量，则，
令，则，又与平面所成的角为60°，
所以，
整理得，可得或（舍），即，
而，则，，即，故.
44．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在求出的长.
【解析】（1）取的中点,连接
∵,∴是等腰三角形，
∵点为 的中点.
∴., , ∵,
可得四边形是平行四边形，∴,
又∵平面平面，∴. 平面;
（2）取中点为，连接，则有,因为所以
因为平面平面，交线为,
平面，所以平面，
且平面，所以,
且在等腰三角形中，，
所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
假设上存在一点，设
则
设平面的一个法向量为，
则，取则，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
即，
整理得，，解得或（舍去），
故得到的长为.
45．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且.
（1）求直线和平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形，
∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，，
∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，
如图建立空间直角坐标系，
则,,,,，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
∴直线和平面所成角的正弦值等于；
（2）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设
由（1）知，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
∵二面角的大小为，
∴，即，
整理得，，解得，或（舍去），
所以，，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，.
46．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且．
【解析】（1）因为，，，，
所以，所以，，，
以为轴，平面内，过与垂直的直线为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
所以与所成角的余弦值是；
（2）假设存在点满足题意，设（，则，
，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
，解得或（舍去），
由图可知当，二面角是钝二面角，满足题意，此时．
47．（23-24高二上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且
【解析】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
因为，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）在中，因为，，，
所以，所以.
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，、、、、，
则，，
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，取，则.
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）因为、到平面的距离相等，且、在平面的同侧，则有平面.
因为点在棱，所以，其中，
因为，则，所以.
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以.
所以，所以.
48．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）用空间向量法证明：平面；
（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，在的延长线上，且
【解析】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设平面的法向量为，
则取，则，得，
平面．
（2）存在点，使得平面，在的延长线上，且．
由题意得，
设，则，
平面，得．专题01 空间向量综合应用
一．利用空间向量求线线角
1．（22-23高二上·广东汕尾·期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二上·黑龙江·期中）如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
（1）求的长．
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
7．（23-24高二上·上海·期中）（改变）在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值．
8．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．
（1）求证：平面
（2）求异面直线与夹角大小．
二．利用空间向量求线面角
9．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
10．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A． B． C． D．1
11．（22-23高二下·江苏连云港·期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知平行六面体的各条棱长均为2，且有．
（1）求证：平面：
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
13．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角．
14．（23-24高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，为的中点．
（1）若，求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．（23-24高二上·江苏南通·期中）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值．
三．利用空间向量求二面角
17．（22-23高二上·北京·期中）设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是 ．
18．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
19．（23-24高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（22-23高二下·浙江温州·期中）在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且.
（1）当时，求证：；
（2）当的长最小时，求二面角的余弦值
21．（23-24高二上·云南玉溪·期中）将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，且，得到如图所示的四棱锥，若，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
22．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
23．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．
（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值．
24．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角的余弦值.
四．利用空间向量求空间距离
25．（22-23高二上·广东江门·期中）平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
26．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到面的距离．
28．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 .
29．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
30．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，四面体中，，，，E为的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）设，，，点F在上，若与平面所成角的正弦值为，求点F到平面的距离.
31．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
32．（23-24高二上·广东湛江·期中）如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.
（1）证明：平面.
（2）延长至点，使得，求点到平面的距离.
五．利用空间向量求最值范围
33．（20-21高二·全国·单元测试）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．（23-24高二上·浙江台州·期中）在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
35．（22-23高二上·江西吉水·期末）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且．设CE与平面ABE所成的角为，，若，则k的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
36．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
37．（22-23高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，平面，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
39．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且，，点P在线段AB（不含端点）上运动．若线段CD（不含端点）上存在点Q，使异面直线PQ与AC所成的角为30°，则线段AP的长度的取值范围为
40．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.
（1）求证：；
（2）若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.
六．利用空间向量探究动点问题
41．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点，均有
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得与所成角是
D．不存在点，使得与平面的所成角是
42．（23-24高二上·山东淄博·期中）（多选）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角最小值为
D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值．
43．（23-24高二上·宁夏·期中）在直角梯形中，，，，如图①把沿翻折，使得平面平面（如图②）．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
44．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.
45．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且.
（1）求直线和平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值.
46．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．
47．（23-24高二上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
48．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）用空间向量法证明：平面；
（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．
