数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3正弦定理 课件（共27张ppt）

(共27张PPT)
6.4.3 正弦定理
第六章 平面向量
教学目标：
能用向量方法探索已知三角形的两角和一边求解三角形的问题，并能用向量方法证明正弦定理
教学重点：用向量方法探索并证明正弦定理
教学难点：与三角形一边垂直的单位向量的引入
环节一 复习回顾 提出问题
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
；
；
.
知两边一角解三角形
知三边解三角形
应用
SAS
SSS
环节一 复习回顾 提出问题
问题1：除了SSS，SAS，全等三角形还可以如何判定？
AAS,ASA
探究：在中，已知角和边，如何求？
如果已知两角和一边，是否也能解三角形呢？
定性
定量
环节二 探索发现 得出猜想
问题2：我们从熟悉的直角三角形的边角关系的分析入手。已知观察它的角和三边之间的关系，猜想A、B、a、b之间的联系.
A
B
C
c
b
a
根据锐角三角函数，在中，有:
则：
又因为所以
环节三 推理论证 证明猜想
问题3：（1）对于锐角三角形和钝角三角形，是否仍然成立？根据余弦定理的探究过程，我们会想到用什么方法研究？
向量方法：（1）三边转化为
(2)向量间的关系是
(3)与长度和角度有关，考虑向量的数量积运算
（2）向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何转化？
由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.具体来说，需要引进一个与其中一条边垂直的向量。
（3）由上分析知，需要作一个与三角形一条边垂直的向量，这个向量的模为多少时运算最简单？
模长为1，即作与一条边垂直的单位向量
环节三 推理论证 证明猜想
1、锐角三角形
如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，
则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律得：
即：，
也即.
所以.
B
C
A
环节三 推理论证 证明猜想
同理，过点作与垂直的单位向量，
则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.综上成立.
环节三 推理论证 证明猜想
2.钝角三角形（设为钝角）.
过点作与垂直的单位向量，
则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律得：
即：，
也即.所以.
同理，有成立.
环节三 推理论证 证明猜想
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
正弦定理是全等三角形AAS性质的定量计算，它还是“大边对大角，小边对小角”这一性质的定量计算。那么如何用正弦定理证明上述性质呢？
你能用其他方法证明正弦定理吗？
环节二 推理论证 提出猜想
A
C
a
b
c
B
D
锐角三角形
钝角三角形
D
A
B
C
a
b
c
；
即：
同理，有
即：
；
即：
同理，有
即：
法二(几何法)：
环节二 推理论证 提出猜想
法三
(外接圆)：
设的外接圆是，半径为
延长交于点，连接，
则，，
在中，，即，
所以
环节三 推理论证 证明猜想
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
变形式：
1、拆分式：，，
2、连比式：,
3、分体式：,,
问题4：根据上面的式子思考，正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？
知两角一边
知两边及其一边的对角
环节四 例题练习 巩固理解
课本例7：在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
由正弦定理，得：
分析：三角形已知的元素是什么？可选用哪个定理作为解题的依据？
环节四 例题练习 巩固理解
课本例8：在中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为在三角形中，所以
于是或
(1)当时，
此时，
(2)当时，
此时，
思考：角C有两个值是否都符合要求呢？需要满足什么要求？
分析：三角形已知的元素是什么？可选用哪个定理作为解题的依据？
环节四 例题练习 巩固理解
2、(1)在中，已知，求和.
(2)在中，已知，，求.
3、在中，已知，，求和.
练习：课本48页2题、3题
环节四 例题练习 巩固理解
思考：在上述练习中，我们发现已知两角一边时，三角形解的个数唯一，而当已知两边及一边的对角时，三角形解的个数出现了多种情况，你能根据前面的例题总结如何判断三角形解的个数呢？
过程：1、利用正弦定理求出sinB
2、求出sinB在[0,]范围内的解
3、根据三角形三角之和等于180°、大边对大角去掉增根
追问：你还能从几何角度对两边及一边对角的三角形解个数进行讨论吗？
环节四 例题练习 巩固理解
探究：在中，已知角和边，.
(1)当为锐角时：
①当时，无解
②当时，有一解
③当时，有两解
④当时，有一解
(2)当为直角时：
①当时，无解
②当时，有一解
(3)当为钝角时：
①当时，无解
②当时，有一解
环节四 例题练习 巩固理解
在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数
环节四 例题练习 巩固理解
例3
不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
变式：在中，，若三角形有两解，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
C
环节四 例题练习 巩固理解
环节四 例题练习 巩固理解
B
例4：以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )
A.在中，
B.在中，若，则
C.在中，若，则；若，则
D.在中，
D
练习：在中，，则( )
A. B. C. D.
正弦定理的变形式应用
环节四 例题练习 巩固理解
例5：在中，若a＝bsin A，则一定是（　B　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
解：由题意＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故是直角三角形.
B
练习：在中，若且试判断的形状.
环节四 例题练习 巩固理解
例6：在中，已知，，则的面积式多少？
思考：你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？
B
(课本54页22题)练习：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求.
(2)若，则的面积为，求.
环节五 小结提升 形成结构
回顾本节课内容并回答以下问题
1、正弦定理是对三角形的什么性质的定量刻画？
2、正弦定理可以直接解决哪些解三角形的问题？其基本步骤是？需要注意的是？
3、请概括探究正弦定理的基本思路。
环节六 目标检测 检验效果
√
√
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝4，B＝45°，则A＝
A.60° B.120° C.60°或120° D.以上答案都不对
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定
√
环节七 布置作业 应用迁移
课时精炼195页2、3、6、7题
课后探究：阅读教材，你还知道哪些三角形的面积公式？
教材P54 T18、20