向量的数乘运算
学习目标 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
学习活动
目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 任务：利用向量的加法法则，作出和向量，小组讨论下列问题，理解平面向量数乘的概念. 如图，已知非零向量，作出向量和. 问题: 1观察图象，与初向量相比，向量长度和方向分别是怎样？ 向量与初向量相比，长度和方向又分别是怎样？ 【归纳总结】 思考：如果把非零向量的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量，向量该如何用向量表示？它们之间的关系是怎样的？ 练一练 A．0 B． C． D．
目标二：类比实数乘法运算律推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律. 问题： (1)实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？ (2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？如何证明？ 【归纳总结】 练一练 关于向量，下列结论错误的是 A. B． C． D． 任务2：根据向量数乘的运算律，讨论下列各类运算律下其向量数乘的几何意义. 设是实数，那么 结合律： ①； 分配律： ②， ③. 【新知讲解】 1.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 2.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 练一练 如图，正方形中，点是的中点，点是的靠近的三等分点．那么 B． C． D．
学习总结
任务：根据关键词“向量数乘”，构建知识导图.
2向量的数乘运算
学习目标 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
学习活动
目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 任务：利用向量的加法法则，作出和向量，小组讨论下列问题，理解平面向量数乘的概念. 如图，已知非零向量，作出向量和. 问题: 1观察图象，与初向量相比，向量长度和方向分别是怎样？ 2.向量与初向量相比，长度和方向又分别是怎样？ 参考答案： 1.如图，因为，长度是原来的3倍，方向相同. 如图，因为，长度是原来的3倍，方向相反. 【归纳总结】 向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作. 其中，它的长度与方向规定如下： ； 当时，的方向与方向相同；当，的方向与方向相反； ；. 注：数与向量的乘积仍是向量. 思考：如果把非零向量的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量，向量该如何用向量表示？它们之间的关系是怎样的？ 参考答案： =3.5，向量与向量方向相同，长度是的3.5倍. 练一练 A．0 B． C． D． 参考答案： 由于实数与向量的乘积仍为向量，且模长等于实数与向量模长的乘积，所以，故选：B．
目标二：类比实数乘法运算律推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律. 问题： (1)实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？ (2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？如何证明？ 参考答案： (1)①交换律：；②结合律：；③分配律：. (2)结合律：①；分配律：②，③. 证明：结合律①： 当或或时，结合律成立； 当，且时，由向量数乘运算的定义，得,,所以，当同号时，结合律中等式两边的向量符号与向量方向相同，当异号时，结合律中等式两边的向量符号与向量方向相反.因此，向量是相等向量. 证明：分配律②： 当或或时，②式显然成立； 当，且时，可分如下两种情况： 当同号时，的方向与方向相同，所以，即，由同号，知②式两边向量的方向都与方向相同，或都与方向相反，即②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 当异号时，当，知②式两边向量的方向都与方向相同，当，知②式两边向量的方向都与方向相同，所以②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 证明：分配律③： 当向量共线，或时，③式显然成立. 当向量不共线，且时，可分为如下两种情况： 当时，如图，在平面内任取一点，作则 由作法知，有，，，所以,因此∽，所以，，因此在同一条直线上，,的方向相同，所以，所以. 当时，亦可证得. 综上：. 【归纳总结】 设是实数，那么 结合律： ； 分配律： ， . 特别地，我们有，； 练一练 关于向量，下列结论错误的是 A. B． C． D． 参考答案: 解：，故A错误； ，故B正确， ，故C正确； ，故D正确； 故选：A． 任务2：根据向量数乘的运算律，讨论下列各类运算律下其向量数乘的几何意义. 设是实数，那么 结合律： ①； 分配律： ②， ③. 参考答案： 不妨以为例： 等式①的几何意义是将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的倍，再伸长或压缩至原来的倍，与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍所得的结果相同. 等式②的几何意义是将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的倍，与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍后，再与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍相加，所得到的结果相同. 等式③的几何意义是将表示向量的有向线段先相加，再伸长或压缩至原来的倍，与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍后再相加所得到的结果相同. 【新知讲解】 1.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 2.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 练一练 如图，正方形中，点是的中点，点是的靠近的三等分点．那么 B． C． D． 参考答案： 解：因为点E是DC的中点，点F是BC的靠近B的三等分点,所以,,所以,故选：D
学习总结
任务：根据关键词“向量数乘”，构建知识导图.
2
