向量的数量积
学习目标 1.通过物理做功实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意义.
学习活动
目标一：通过物理做功实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 任务：根据物理做功情境，回答下列问题，抽象出向量数量积的相关性质. 如图所示：一个物体在力F的作用下产生位移s. 问题: 1.力F对该物体做了多少功？功是标量还是矢量？ 2.能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？ 参考答案： 1.，其中是向量的夹角，功是标量. 【归纳总结】 如图所示，已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，则（）叫做向量的夹角. 当时，同向； 当时，反向； 当，垂直，记作. 已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 练一练 已知与的夹角，求. 参考答案： 解： .
目标二：通过几何直观，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意义. 【新知讲解】 如图，设是两个非零向量，，过的起点A和终点B，分别做所在直线的垂线，垂足分别为,得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 任务：如图，在平面内任取一点O，作，根据投影概念，解决问题. 问题： 1.如何作出向量在向量上的投影呢？ 参考答案： 如图所示，向量即向量在向量上的投影. 2.设与方向相同的单位向量为，，与的夹角为. (1)如何用、表示？ (2)如何用、、表示？ 参考答案： (1)因为，所以，所以. (2)当为锐角时，与方向相同，所以；当为直角时，，所以；当为钝角时，与方向相反，所以,即. 综上：对任意的，都有. 【归纳总结】 设是两个非零向量，且的夹角为，则在方向上的投影为，在方向上的投影为. 练一练 若，，和的夹角为，则在方向上的投影为 A．2 B． C． D．4 参考答案： 解：由题意，可知向量在方向上的投影为．故选：C． 思考： 当两个非零向量相互平行或垂直时，向量在方向上的投影是多少？它们的数量积是多少？ 参考答案： 当同向时，可知其夹角为0，所以在方向上的投影为，所以； 当反向时，可知其夹角为，所以在方向上的投影为-，所以； 当垂直时，可知其夹角为，所以在方向上的投影为0，所以. 【归纳总结】 向量数量积的性质： 1.； 2.当同向时，；当反向时，. 特别地，或. 3. 思考： 如果，是否有或？ 参考答案： 不一定，当时，.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “数量积”、“投影”、“垂直”
2向量的数量积
学习目标 1.通过物理做功实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意义.
学习活动
目标一：通过物理做功实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 任务：根据物理做功情境，回答下列问题，抽象出向量数量积的相关性质. 如图所示：一个物体在力F的作用下产生位移s. 问题: 1.力F对该物体做了多少功？功是标量还是矢量？ 2.能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？ 【归纳总结】 练一练 已知与的夹角，求.
目标二：通过几何直观，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意义. 新知讲解： 如图，设是两个非零向量，，过的起点A和终点B，分别做所在直线的垂线，垂足分别为,得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 任务：如图，在平面内任取一点O，作，根据投影概念，解决问题. 问题： 1.如何作出向量在向量上的投影呢？ 2.设与方向相同的单位向量为，，与的夹角为. (1)如何用、表示？ (2)如何用、、表示？ 【归纳总结】 练一练 若，，和的夹角为，则在方向上的投影为 A．2 B． C． D．4 思考： 当两个非零向量相互平行或垂直时，向量在方向上的投影是多少？它们的数量积是多少？ 【归纳总结】 思考： 如果，是否有或？
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “数量积”、“投影”、“垂直”
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