平面向量基本定理
学习目标 1.通过物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意义，并能熟练运用一组基底表示平面内的任一向量. 2.会用平面向量基本定理解决有关的向量问题.
学习活动
目标一：通过物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意义，并能熟练运用一组基底表示平面内的任一向量. 任务1：根据平行四边形法则对力F进行分解，然后回答下列问题. 如图所示，一物体受力F作用，请根据实际受力情况，将力F分解到竖直与水平方向. 问题: (1)在对力F分解的过程当中，我们应用了什么法则？ (2)可不可以利用该法则在将力F分解到其他方向？试一试. (3)在力F分解为其他两个力时，观察其他两个力的方向有什么特点？ 参考答案： (1)平行四边形法则； (2)可以，略； (3)其它两个力不在同一方向. 任务2：完成下列探究，回答问题，体会平面向量的基本定理. 如图1，设是同一个平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图2所示，在平面内任取一点O，作，将按的方向分解. 问题: (1)如何将按方向分解？ (2)根据分解，如何用表示？ (3)用刻画向量时，其系数唯一吗？ 参考答案： (1)如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过C做平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则. (2)由(1)知，分别是与共线的向量，所以，. (3)唯一. 理由：假设不唯一，即存在实数，使得，所以，所以，所以 【归纳总结】 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 其中若不共线，则叫做这一平面内所有向量的一个基底. 思考: 作为基底，选取的向量需要满足什么条件？基底的选取唯一吗？ 不同的基底，对应的是否相同？ 设是同一平面内所有向量的基底，当与中一个向量共线时，该如何表示？ 零向量能否作为基底向量？说明理由. 【归纳总结】 只有不共线的两个向量才可以作为基底，基底的选取不是唯一的； 基底给定时，唯一确定的，但不同的基底，各有不同； 零向量不能作为基底中的向量. 练一练： 已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 参考答案： 解：只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 任务3.利用向量的运算法则，用基底向量表示平面向量. 如图所示，不共线，且，用表示. 参考答案： 解：因为，所以 思考: 1.观察的系数以及A、B、P的位置关系，你能发现什么结论？ 2.观察的系数，当时，点P的位置是怎样的？ 参考答案： 设,若，则三点共线. ，若三点共线,则.特别地，当时，P为线段AB的中点.
目标二：会用平面向量基本定理解决有关的向量问题. 任务：根据平面向量基本定理，判断三角形的形状. 如图CD是△ABC的中线，，用向量方法证明△ABC是直角三角形. 问题： 设，如何用表示向量 根据问题1.如何证明△ABC是直角三角形. 参考答案： 解：1.有题意可知，，； 2.，由知，所以，所以，所以△ABC是直角三角形. 思考： 平面向量基本定理在解题过程中起到什么作用，应用了什么数学思想？ 利用平面向量基本定理时，应该选择什么向量作为基底？ 参考答案： 桥梁作用，利用了化归思想. 2.利用平面向量基本定理时，应该选择已知向量作为基底，即已知基底向量之间的模长关系，夹角关系. 练一练： 在中，，，，是边上一点，，设，． （1）试用，表示； （2）求的值． 参考答案：（1）；（2）. （1）∵是边上一点，，∴， 又∵，，， ∴ ． （2）∵，，， ∴ ， .
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “平面向量基本定理”、“非零向量”、“不共线向量”
2平面向量基本定理
学习目标 1.通过物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意义，并能熟练运用一组基底表示平面内的任一向量. 2.会用平面向量基本定理解决有关的向量问题.
学习活动
目标一：通过物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意义，并能熟练运用一组基底表示平面内的任一向量. 任务1：根据平行四边形法则对力F进行分解，然后回答下列问题. 如图所示，一物体受力F作用，请根据实际受力情况，将力F分解到竖直与水平方向. 问题: (1)在对力F分解的过程当中，我们应用了什么法则？ (2)可不可以利用该法则在将力F分解到其他方向？试一试. (3)在力F分解为其他两个力时，观察其他两个力的方向有什么特点？ 任务2：完成下列探究，回答问题，体会平面向量的基本定理. 如图1，设是同一个平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图2所示，在平面内任取一点O，作，将按的方向分解. 问题: (1)如何将按方向分解？ (2)根据分解，如何用表示？ (3)用刻画向量时，其系数唯一吗？ 【归纳总结】 思考: 作为基底，选取的向量需要满足什么条件？基底的选取唯一吗？ 不同的基底，对应的是否相同？ 设是同一平面内所有向量的基底，当与中一个向量共线时，该如何表示？ 零向量能作否作为基底向量？说明理由. 【归纳总结】 练一练： 已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 任务3.利用向量的运算法则，用基底向量表示平面向量. 如图所示，不共线，且，用表示. 思考: 1.观察的系数以及A、B、P的位置关系，你能发现什么结论？ 2.观察的系数，当时，点P的位置是怎样的？
目标二：会用平面向量基本定理解决有关的向量问题. 任务：根据平面向量基本定理，判断三角形的形状. 如图CD是△ABC的中线，，用向量方法证明△ABC是直角三角形. 问题： 设，如何用表示向量 根据问题1.如何证明△ABC是直角三角形. 思考： 平面向量基本定理在解题过程中起到什么作用，应用了什么数学思想？ 利用平面向量基本定理时，应该选择什么向量作为基底？ 练一练： 在中，，，，是边上一点，，设，． （1）试用，表示； （2）求的值．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “平面向量基本定理”、“非零向量”、“不共线向量”
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