平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算.
学习活动
目标一：借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 任务1：根据物体平衡，分析斜坡上物体受力情况，了解正交分解的概念. 我们知道任意一个向量都可以用该平面内两个不共线向量表示，即任意一个向量都可以分解为同一平面内的两个不共线向量. 如图所示，一物体静止在斜坡上. 思考： (1)该物体受到的重力产生哪两种作用效果？ (2)根据作用效果对重力进行分解，作为基底的向量，其位置关系有什么特点？ 【归纳总结】 任务2：类比点的坐标表示，结合平面向量基本定理，理解向量的坐标表示. 如图，设与x轴、y轴方向相同的单位向量分别为，取作为基底，将向量沿x轴、y轴分解，则由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得. 这样，平面内的任一向量都可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标，记作. 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标,叫做向量的坐标表示. 问题： (1)坐标表示分别是什么？ (2)如图，在直角坐标平面内，以原点O为起始点作，则点A的位置与什么有关？点A的坐标是多少？ (3)点A的坐标与向量有什么联系和区别？ 任务3：根据下列图形，利用正交分解求解相关向量的坐标. 问题： (1)根据平行四边形法则，可以沿x轴、y轴如何分解？ (2)如何用作为基底表示，其坐标表示是多少？ (3)的坐标是多少？ 【归纳总结】
目标二：会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 任务1：根据平面向量的坐标表示，探究向量坐标加减的运算法则. 已知则的坐标是多少？ 思考：向量坐标的加、减法运算是怎样的？ 【归纳总结】 练一练： 已知，求的坐标. 任务2：探究如何利用点坐标求向量坐标. 如图，已知点，连接OA，OB. 问题： (1)如何用坐标表示向量？ (2)向量该如何用表示，其坐标表示是多少？ 思考：向量的起点与终点坐标与向量坐标之间有什么关系？ 【归纳总结】 任务3：求出点的坐标，并归纳解题方法. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 思考：这两种解法在思想方法上有什么异同点？ 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “正交分解”、“向量加减运算”、“点坐标与向量坐标”.
2平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算.
学习活动
目标一：借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 任务1：根据物体平衡，分析斜坡上物体受力情况，了解正交分解的概念. 我们知道任意一个向量都可以用该平面内两个不共线向量表示，即任意一个向量都可以分解为同一平面内的两个不共线向量. 如图所示，一物体静止在斜坡上. 思考： (1)该物体受到的重力产生哪两种作用效果？ (2)根据作用效果对重力进行分解，作为基底的向量，其位置关系有什么特点？ 参考答案： (1)沿斜坡向下，垂直斜坡向下. (2)两个基底向量相互垂直（如图）. 【归纳总结】 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 任务2：类比点的坐标表示，结合平面向量基本定理，理解向量的坐标表示. 如图，设与x轴、y轴方向相同的单位向量分别为，取作为基底，将向量沿x轴、y轴分解，则由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得. 这样，平面内的任一向量都可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标，记作. 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标,叫做向量的坐标表示. 问题： (1)坐标表示分别是什么？ (2)如图，在直角坐标平面内，以原点O为起始点作，则点A的位置与什么有关？点A的坐标是多少？ (3)点A的坐标与向量有什么联系和区别？ 参考答案： . 点A的位置与有关，由唯一确定，A（x，y）. 区别表示形式不同向量中间用等号连接，而点A（x，y）中间没有等号意义不同点A（x，y）的坐标（x，y）表示点A在平面直角坐标系内的位置，的坐标（x，y）表示向量的大小，也表示向量的方向，另外（x，y）可以表示成点和向量.联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
任务3：根据下列图形，利用正交分解求解相关向量的坐标. 问题： (1)根据平行四边形法则，可以沿x轴、y轴如何分解？ (2)如何用作为基底表示，其坐标表示是多少？ (3)的坐标是多少？ 参考答案： (1). (2). (3) 【归纳总结】 求向量坐标的两种方法： (1)正交分解法：即将向量直接正交分解，用表示； (2)将向量平移，使起点与原点重合，读出终点坐标.
目标二：会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 任务1：根据平面向量的坐标表示，探究向量坐标加减的运算法则. 已知则的坐标是多少？ 参考答案： 解：由题意知， 思考：向量坐标的加、减法运算是怎样的？ 【归纳总结】 两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 练一练： 已知，求的坐标. 参考答案： 解： 任务2：探究如何利用点坐标求向量坐标. 如图，已知点，连接OA，OB. 问题： (1)如何用坐标表示向量？ (2)向量该如何用表示，其坐标表示是多少？ 参考答案： 解：(1)， (2). 思考：向量的起点与终点坐标与向量坐标之间有什么关系？ 【归纳总结】 向量坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 注：1.向量坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； 2.当向量确定后，向量的坐标就是唯一确定，向量在平移前后，其坐标不变. 任务3：求出点的坐标，并归纳解题方法. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 参考答案： 解：（法1）设顶点D的坐标为(x,y). 顶点D坐标为(2,2). （法2）如图，由向量加法的平行四边形法则可知： , ,顶点D坐标为(2,2). 思考：这两种解法在思想方法上有什么异同点？ 参考答案： 不同点：前者是利用“两个向量相等，则它们坐标相等”解题过程中应用了方程思想；后者利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D坐标. 相同点：同时用了数形结合思想方法. 【归纳总结】 求一个点的坐标时，可以利用向量相等，共线等条件，也可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “正交分解”、“向量加减运算”、“点坐标与向量坐标”.
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