平面几何中的向量方法
学习目标 1.掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤，会用向量方法解决简单的平面几何问题.
学习活动
目标一：掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤，会用向量方法解决简单的平面几何问题. 任务1：利用向量的相关概念性质，将平面几何元素及其表示转化为向量及其运算. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，如何将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算？ 几何元素及其表示向量及其运算点A线段AB，A,B两点的距离角直线A,B,C,三点共线直线
任务2：利用向量法证明几何结论，归纳向量法的解题思路. 如图，DE是△ABC的中位线，证明：. 问题： (1)利用初中方法如何证明？ (2)如何利用向量法证明？ 思考：利用向量方法解决几何的步骤是哪些？ 【归纳总结】 任务3：利用向量法探究平行四边形边长与对角线的关系. 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 问题： (1)如图，矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ (2)从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？ 思考：如何用自然语言叙述这个关系式的意义呢？ 练一练： 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设B（a，0）,D（b，c）. 问题： (1)点C的坐标分别是多少？ (2)利用向量坐标法如何证明？
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 利用向量法解决几何问题的三步曲是哪些？
2平面几何中的向量方法
学习目标 1.掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤，会用向量方法解决简单的平面几何问题.
学习活动
目标一：掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤，会用向量方法解决简单的平面几何问题. 任务1：利用向量的相关概念性质，将平面几何元素及其表示转化为向量及其运算. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，如何将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算？ 几何元素及其表示向量及其运算点A线段AB，A,B两点的距离角直线A,B,C,三点共线直线
参考答案： 任务2：利用向量法证明几何结论，归纳向量法的解题思路. 如图，DE是△ABC的中位线，证明：. 问题： (1)利用初中方法如何证明？ 参考答案： 如图：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF. ∵E为AC中点，∴AE=EC.又∵DE=EF,∠AED=∠CEF ∴△AED≌△CEF(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴AB∥CF,即BD∥CF.又∵AD=BD,∴BD=CF. ∴四边形DBCF为平行四边形. ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC (2)如何利用向量法证明？ 参考答案： 解：取为基底，因为D,E是AB，AC边上的中点，从而.又,所以.于是DE∥BC，DE=BC. 思考：利用向量方法解决几何的步骤是哪些？ 【归纳总结】 任务3：利用向量法探究平行四边形边长与对角线的关系. 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 问题： (1)如图，矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 参考答案： (2)从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？ 参考答案： 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； 取为基底向量，设，则. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系: 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系: 思考：如何用自然语言叙述这个关系式的意义呢？ 参考答案： 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍． 练一练： 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设B（a，0）,D（b，c）. 问题： (1)点C的坐标分别是多少？ (2)利用向量坐标法如何证明？ 参考答案： (1)由题可知，C（a+b,c）. (2)因为 所以.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 利用向量法解决几何问题的三步曲是哪些？
2
