余弦定理
学习目标 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理. 2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
学习活动
情境：如图所示： 量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角为，思考岛B与岛C的距离长度是多少？ 目标一：借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理. 任务1：根据向量推导出余弦定理公式. 我们知道两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的，也就是说，三角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示，那么，表示的公式是什么？如图.在三角形ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用边a,b和角C表示边c？ 问题： (1)设，向量如何用表示？ (2)根据向量的有关性质，如何用边a,b和角C表示边c？ 【归纳总结】 思考： 还能用其他方法证明余弦定理吗？ 练一练： 如图，岛A与岛C距离b为1338m，岛A与岛B距离为700m,利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角A为.求岛B与岛C的距离a长度是多少？（结果保留到整数部位，） 任务2：根据余弦定理推导夹角公式，理解余弦定理与勾股定理的关系. 关于三角形的余弦定理公式为，，. 思考： (1)根据余弦定理公式，关于三角形的三个内角表达形式是怎样的？ (2)勾股定理是关于直角三角形的三边关系，余弦定理是指三角形三边与其中一个角之间的关系，据此说说这两个定理之间有什么关系？
目标二：能用余弦定理解决简单的实际问题. 任务1：利用余弦定理判断三角形的形状. 在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 练一练： △ABC中，若,则△ABC的形状为（ ）. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 【归纳总结】 任务2：利用余弦定理求解三角形. 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=，求解三角形三个内角. 思考： 根据余弦定理公式，归纳已知哪些条件可求三角形的边长、角？ 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “余弦定理”、“应用类型”
2余弦定理
学习目标 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理. 2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
学习活动
情境：如图所示： 量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角为，思考岛B与岛C的距离长度是多少？ 目标一：借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理. 任务1：根据向量推导出余弦定理公式. 我们知道两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的，也就是说，三角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示，那么，表示的公式是什么？如图.在三角形ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用边a,b和角C表示边c？ 问题： (1)设，向量如何用表示？ (2)根据向量的有关性质，如何用边a,b和角C表示边c？ 参考答案： (1)根据向量的运算法则，可知. (2)由向量的性质可知： 同理可得： 【归纳总结】 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ， ， . 思考： 还能用其他方法证明余弦定理吗？ 参考答案： 如图所示，以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： , 练一练： 如图，岛A与岛C距离b为1338m，岛A与岛B距离为700m,利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角A为.求岛B与岛C的距离a长度是多少？（结果保留到整数部位，） 参考答案： 解析：由余弦定理可知， m. 任务2：根据余弦定理推导夹角公式，理解余弦定理与勾股定理的关系. 关于三角形的余弦定理公式为，，. 思考： (1)根据余弦定理公式，关于三角形的三个内角表达形式是怎样的？ (2)勾股定理是关于直角三角形的三边关系，余弦定理是指三角形三边与其中一个角之间的关系，据此说说这两个定理之间有什么关系？ 参考答案： (1)，， (2)根据余弦定理可知，不妨设时，，此时有，即为勾股定理.因此余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
目标二：能用余弦定理解决简单的实际问题. 任务1：利用余弦定理判断三角形的形状. 在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 参考答案： 根据余弦定理可知，因为，所以，又因为，所以A为钝角，故选A. 练一练： △ABC中，若,则A是（ ）. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 参考答案： 根据余弦定理可知，因为，所以，又因为，所以A为锐角，故选A. 思考：如何用余弦定理判断三角形形状？ 【归纳总结】 设a是最长的边，则 （1）△ABC是钝角三角形； （2）△ABC是直角三角形； （3）△ABC是锐角三角形； 任务2：利用余弦定理求解三角形. 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=，求解三角形三个内角. 参考答案： 解：，因为，所以；，因为，所以，所以. 思考： 根据余弦定理公式，归纳已知哪些条件可求三角形的边长、角？ 【归纳总结】 （1）已知两边和夹角求对边 （2）已知三边求角度 （3）已知两边和一边的对角求对另一边
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “余弦定理”、“应用类型”
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