正弦定理
学习目标 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 2.掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题.
学习活动
情境：如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是20m，∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能用前面学习的余弦知识解决这个问题吗？ 目标一：借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 任务：利用向量法推导正弦定理. 我们知道“大边对大角，小边对小角”，这是关于三角形边和角的定性关系，那么三角形的边和角是否存在定量关系？ 如图所示，在Rt△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边. 问题： 1.根据三角函数关系说说之间的关系？ 2.对于任意三角形，上述关系是否还成立？说明理由. 思考： 如图，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，说说与半径R有什么关系？借此归纳与R存在什么关系？ 【归纳总结】 练一练： 如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是20m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之间的距离
目标二：掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题. 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理适用条件. 在△ABC中，已知，求解这个三角形的边长a. 思考： 为什么利用正弦函数计算角C会有两个值？ 结合目标一的练一练，小组讨论归纳正弦定理的适用条件有哪些？ 【归纳总结】 练一练1： 判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30° (2)c=54, b=39, C=120° (3)b=26, c=15, C=30° (4)a=2,b=6,A=30° 练一练2： 的内角，，的对边分别为，，，已知，，．求的值；
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “正弦定理”、“应用类型”
2课时15 正弦定理
学习目标 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 2.掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题.
学习活动
情境：如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m，∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能用前面学习的余弦知识解决这个问题吗？ 目标一：借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 任务：利用向量法推导正弦定理. 我们知道“大边对大角，小边对小角”，这是关于三角形边和角的定性关系，那么三角形的边和角是否存在定量关系？ 如图所示，在Rt△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边. 问题： 1.根据三角函数关系说说之间的关系？ 2.对于任意三角形，上述关系是否还成立？说明理由. 参考答案： 1.根据直角三角形的三角函数可知，，，所以,所以. 2.成立.如图， （I）当三角形是锐角三角形时，在锐角 ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以，得，即. 也即，所以. 过点C作与垂直的单位向量，可得.综上可得. （Ⅱ）当三角形是钝角三角形时，如图， 在钝角 ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.同理可得. 思考： 如图，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，说说与半径R有什么关系？借此归纳与R存在什么关系？ 参考答案： 由图可知,因为在中，，所以在中，，所以在中有.又因在圆O上，不论怎么移动，上述结论都成立.所以对任意，都有. 【归纳总结】 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 推论： ； . 变形： ； 练一练： 如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是20 m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之间的距离 参考答案： .根据正弦的两角和公式可得，由正弦定理可知，，所以，所以m.
目标二：掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题. 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理适用条件. 在△ABC中，已知，求解这个三角形的边长a. 参考答案： 根据正弦定理，得.因为c>b,,所以.于是，或. 当时，.此时； 当时，.此时 思考： 为什么利用正弦函数计算角C会有两个值？ 结合目标一的练一练，小组讨论归纳正弦定理的适用条件有哪些？ 参考答案： 在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解. 【归纳总结】 1.正弦定理的适用条件： 已知两角及任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）. 2.正弦定理多解问题：当知两边及一边的对角，求另一边的对角的正弦值时，若正弦值=1，则一解且为直角；若正弦值≠1，则该对角为锐角或钝角（可能1解可能2解及无解）. 练一练1： 判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30° (2)c=54, b=39, C=120° (3)b=26, c=15, C=30° (4)a=2,b=6,A=30° 参考答案： （1）2解；（2）1解；（3）2解；（4）无解. 练一练2： 的内角，，的对边分别为，，，已知，，．求的值； 参考答案： 由正弦定理知，，因为，，， 所以，所以.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “正弦定理”、“应用类型”
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