余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题.
学习活动
目标：了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题. 任务1：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的距离问题. 情景1：如图所示，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离. 问题： (1)如图，若在河这边取一点C，根据测角仪可以测出的大小，回顾正弦、余弦定理，据此能求出边AB的距离吗？ (2)如图，若在河这边取两点C、D，且DC=2km ，连接AC、BD，根据测角仪测得∠ACB=45°，∠ACD=60°，∠BDA=∠BDC=30°,此时根据正弦定理与余弦定理能求出边AB的距离吗？说明理由. 思考：还有其他方法计算A，B两点间的距离吗？ 【知识讲解】 基线：是指在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段，如题中的线段CD. 性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 任务2：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的高度问题. 【知识讲解】 1.坡度：斜面与地平面所成的角度. 2.仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图所示: . 情景2：如图，AB是一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度. 问题： (1)若AB的底部可以到达，那么应该如何设计方案，使得可以计算出建筑物的高度？ (2)结合问题(1)的方案，若AB的底部不可以到达，那么应该如何调整问题(1)的方案？根据调整的方案可以计算出建筑物的高度是多少？（结果保留三位有效数字） 练一练： 如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 任务3.利用余弦定理、正弦定理解决实际问题中的角度问题. 【知识讲解】 1.方位角：从某点的指北方向线顺时针方向至目标方向线间的水平夹角. 2.方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角. 情景3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 思考：结合任务1、2、3，小组讨论利用正余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？ 【归纳总结】
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 正、余弦定理的实际应用有哪些？用正、余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？
2余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题.
学习活动
目标：了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题. 任务1：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的距离问题. 情景1：如图所示，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离. 问题： (1)如图，若在河这边取一点C，根据测角仪可以测出的大小，回顾正弦、余弦定理，据此能求出边AB的距离吗？ (2)如图，若在河这边取两点C、D，且DC=2km ，连接AC、BD，根据测角仪测得∠ACB=45°，∠ACD=60°，∠BDA=∠BDC=30°,此时根据正弦定理与余弦定理能求出边AB的距离吗？说明理由. 参考答案： (1)不能，理由：正弦定理适用条件是：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和任意一边.余弦定理适用条件是：①已知两边及其夹角；②已知三边；③已知两边及其任意一角.而题中只能测量出一个角，其他均不可测量，故不可以. (2)可以，将情境问题转化为数学问题，画出其几何图象，并通过仪器测出，DC=2km. 解：在河岸边选定两点C、D，测得CD=2km,∠BCA=,∠ACD=,∠CDB=∠ADB=.在中,由正弦定理得,，在中,由余弦定理得. 思考：还有其他方法计算A，B两点间的距离吗？ 【知识讲解】 基线：是指在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段，如题中的线段CD. 性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 任务2：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的高度问题. 【知识讲解】 1.坡度：斜面与地平面所成的角度. 2.仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图所示: . 情景2：如图，AB是一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度. 问题： (1)若AB的底部可以到达，那么应该如何设计方案，使得可以计算出建筑物的高度？ (2)结合问题(1)的方案，若AB的底部不可以到达，那么应该如何调整问题(1)的方案？根据调整的方案可以计算出建筑物的高度是多少？（结果保留三位有效数字） 参考答案： (1)如图，在地面上随机取一点G，然后用测量仪测出点C处的仰角，并测出GB的距离，然后利用直角三角形的正切公式求出AB的高度. (2)如图所示，在地面上取G、H两点，并使得B，G，H三点共线，然后分别在G、H处，测得A处的仰角分别为，且GH=100m,DH=1.5m. 所以，在中，.所以m，所以m. 练一练： 如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 参考答案： 解：设电视塔AB的高为x，则在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 解得x＝40， 答：电视塔的高为40 m. 任务3.利用余弦定理、正弦定理解决实际问题中的角度问题. 【知识讲解】 1.方位角：从某点的指北方向线顺时针方向至目标方向线间的水平夹角. 2.方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角. 情景3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 参考答案： 根据题意，画出示意图，如图. 由余弦定理，得 ，于是 由正弦定理得，于是 由于，所以.因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 .大约需要航行24n mile. 思考：结合任务1、2、3，小组讨论利用正余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？ 【归纳总结】 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤： (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 正、余弦定理的实际应用有哪些？用正、余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？
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