复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义
学习目标 理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
学习活动
目标：理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 任务1：类比复数乘法运算探究复数三角表示的乘法运算及其几何意义. 问题： 1.我们知道复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式乘法运算的法则是什么？ 参考答案： 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢（设复数分别写成三角形式， ），并试着用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？ 参考答案： 3.我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义.思考讨论复数乘法运算的三角表示有什么几何意义呢？ 参考答案： 思考：和的几何意义是什么？ 参考答案： 【概念讲解】 练一练： 已知i为虚数单位，，，求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释. 参考答案： 任务2：类比复数三角表示的乘法运算及其几何意义探究复数三角表示的除法运算及其几何意义. 问题：除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角表示，复数除法的三角表示是怎样的？如何用文字语言加以表示吗？ 【概念讲解】 练一练： 计算： 参考答案：
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. 关键词：“复数乘、除法三角表示”、“复数乘、除法几何意义”.
2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义
学习目标 理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
学习活动
目标1：理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 任务1：类比复数乘法运算探究复数三角表示的乘法运算及其几何意义. 问题： 1.我们知道复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式乘法运算的法则是什么？ 参考答案：设，所以 ，. 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢（设复数分别写成三角形式， ），并试着用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？ 参考答案： ，即积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 3.我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义.思考讨论复数乘法运算的三角表示有什么几何意义呢？ 参考答案：两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积. 思考：和的几何意义是什么？ 参考答案：事实上，由 ，可得的几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到-1对应的向量”.同样，由 ，可得的几何意义是“将-1对应的向量绕点O按逆时针方向旋转π，得到1对应的向量” 【概念讲解】 复数三角形式的乘法法则： . 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数乘法的几何意义： 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义.简记为 ：模数相乘，幅角相加. 练一练： 已知i为虚数单位，，，求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释. 参考答案：， . 首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，绕点O按逆时针方向旋转这样得到一个长度为4，辐角为的向量,即为积所对应的向量. 任务2：类比复数三角表示的乘法运算及其几何意义探究复数三角表示的除法运算及其几何意义. 问题：除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角表示，复数除法的三角表示是怎样的？如何用文字语言加以表示吗？ 【概念讲解】 复数三角形式的除法法则： 设，，且， 因为 ，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为 ：模数相除，幅角相减. 练一练： 计算： 参考答案： .
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. 关键词：“复数乘、除法三角表示”、“复数乘、除法几何意义”.
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