棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习目标 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式,并利用公式求简单几何体的表面积. 2.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并利用公式求简单几何体的体积.
学习活动
目标一:通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式,并利用公式求简单几何体的表面积. 任务:阅读教材P114,探究柱体、椎体、台体的表面积求法. 问题:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图是什么?如何计算它们的表面积? 参考答案: 1.棱柱:棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形,故其表面积=上下底面积+侧面积. 2.棱锥:棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形,故其表面积=下底面积+侧面积. 3.棱台:棱锥的侧面展开图是由梯形组成的平面图形,故其表面积=上下底面积+侧面积. 【归纳总结】 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 S棱锥表=S棱锥侧+S底 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 练一练: 如图,四面体P-ABC的各棱长均为a,求它的表面积. 参考答案: 因为△PBC是正三角形,其边长为a,所以=. 因此,四面体P-ABC的表面积==
目标二:通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并利用公式求简单几何体的体积. 任务1:根据正方体、长方体的体积公式,探究棱柱、棱锥的体积公式. (1)我们知道长方体、正方体的体积公式都是底面积乘高,即V=Sh,那么结合下图,说说柱体的体积公式是什么? 参考答案: V棱柱=Sh. (2)观察下图,思考这三个棱锥的体积有什么关系?据此思考棱锥的体积公式是什么? 参考答案: 三个棱锥的体积都相等,V棱柱=Sh 【归纳总结】 1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积. 2.一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积. 注:(1)棱柱的高指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离。 (2)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离。 练一练: 如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥P ABC的体积. 参考答案: 三棱锥的体积,其中S为底面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B看作顶点,△PAC作为底面求解,故. 任务2:阅读教材P115第1段,了解棱台体积公式,以及探究棱柱、棱锥、棱台体积公式的关系. 问题: (1)棱台体积公式是什么?各字母有什么几何意义? (2)结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征,思考三者的体积公式有什么关系? 【归纳总结】 1.棱台体积公式:其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高. 注:棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离。 2. 练一练: 如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到)? 参考答案: 由题知长方体的体积,棱锥的体积,所以这个漏斗的容积.
学习总结
任务:根据下列问题,构建知识导图. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式分别是什么?它们之间存在着怎样的关系?
2棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习目标 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式,并利用公式求简单几何体的表面积. 2.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并利用公式求简单几何体的体积.
学习活动
目标一:通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式,并利用公式求简单几何体的表面积. 任务:阅读教材P114,探究柱体、椎体、台体的表面积求法. 问题:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图是什么?如何计算它们的表面积? 【归纳总结】 练一练: 如图,四面体P-ABC的各棱长均为a,求它的表面积.
目标二:通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并利用公式求简单几何体的体积. 任务1:根据正方体、长方体的体积公式,探究棱柱、棱锥的体积公式. (1)我们知道长方体、正方体的体积公式都是底面积乘高,即V=Sh,那么结合下图,说说柱体的体积公式是什么? (2)观察下图,思考这三个棱锥的体积有什么关系?据此思考棱锥的体积公式是什么? 【归纳总结】 练一练: 如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥P ABC的体积. 任务2:阅读教材P115第1段,了解棱台体积公式,以及探究棱柱、棱锥、棱台体积公式的关系. 问题: (1)棱台体积公式是什么?各字母有什么几何意义? (2)结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征,思考三者的体积公式有什么关系? 【归纳总结】 练一练: 如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到)?
学习总结
任务:根据下列问题,构建知识导图. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式分别是什么?它们之间存在着怎样的关系?
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