复习课 立体几何初步
学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.了解化归与转化思想，掌握其在立体几何中的应用.
学习活动
目标一：理解单元知识架构，建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题,回顾本单元知识，建构单元知识框图. 什么是基本几何体的结构特征？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体结构吗？举例说明. 如何画出空间几何体直观图？其画图步骤有哪些？ 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？柱、锥、台体积公式之间有怎样的联系？ 平面的三个基本事实是什么？它是如何刻画平面“平”、“无限延展”的？ 我们应用了哪些思想和方法研究直线与平面的位置关系？其位置关系又有哪些？如何判定？有什么性质？ 【归纳总结】
目标二：了解化归与转化的思想，掌握其在立体几何中的应用. 化归与转化思想：将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.在本章中，转化思想体现得淋漓尽致，比如求体积、距离有时要用到顶点的转化，球的切接问题要将空间几何图形转化为平面几何图形，位置关系的证明、空间角的求解转化到三角形中求解等等． 任务1：利用等体积思想求空间几何体的体积和距离. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥C1-B1DA的体积为（ ） ( ) A．3 B． C．1 D． 参考答案： 解：在△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，＝×2×＝.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD 平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A-B1DC1底面上高．∴＝××＝1.故选C. 【方法归纳】 等体积转换法： (1)用等体积法求空间几何体的体积：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换． (2)用等体积法求点到面的距离：通常在三棱锥中，转换底面与顶点，利用等体积求距离． 练一练： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于（ ） ( ) A． B． C．1 D． 参考答案： 如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1-ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝＝.设点B到平面D1AC的距离为h，则由，得·h＝S△ABC·D1D．因为＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.故选B． 任务2：利用转化思想求解与球有关的组合体中的外接球的表面积. 已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，求三棱锥A-BCD的外接球的表面积. ( ) 参考答案： 取BD中点M，连接AM，CM.取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝.连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，所以表面积为4πR2＝． 【方法归纳】 空间与平面转换：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解决与球有关的组合体问题，不仅用到高维、也要用到低维．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 练一练： 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________． 参考答案： 如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE. ∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则(3＋3)r＝，r＝＝－1. 任务3：利用平行与垂直的转化关系，证明线面平行、垂直问题. 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC． (1)求证：AE⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由． 参考答案： (1)证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC． 因为DE∩EC＝E，所以AE⊥平面CDE. (2)证明：取AB的中点H，连接GH，FH，所以GH∥BD，FH∥BC．因为GH 平面BCD，BD 平面BCD，所以GH∥平面BCD．同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD．因为GF 平面FHG，所以GF∥平面BCD． (3)取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB． 证明如下：取线段DC的中点M，取线段DB的中点S， 连接MS，RS，BR，DR，EM.则MS=BC且MS//BC，又RE=BC且RE//BC，所以MS=RE且MS//RE，所以四边形MERS是平行四边形，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，所以EM⊥DC．由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因为EM 平面CDE，所以EM⊥BC．因为BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD． 因为EM∥RS，所以RS⊥平面BCD．因为RS 平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB． 【方法归纳】 平行与垂直的转换：平行、垂直关系的证明的核心是转化，空间向平面的转化，即面面 线面 线线．相互转化关系如下： 练一练： 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是平行四边形，点M在线段EF上．求证：BC⊥平面ACFE； 参考答案： 证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°，所以∠DCA＝∠DAC＝30°，所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE. 任务4：利用化归与转化思想求解空间角. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (2)求证：平面PDC⊥平面ABCD； (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 参考答案： (1)在四棱锥P-ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC．故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD．又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC．而AD 平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD． (3)如图,在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角． 在△PDC中,由PD＝CD＝2，PC＝2可得∠PCD＝30°. 在Rt△PEC中，PE＝PCsin 30°＝.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC． 在Rt△PCB中，PB＝＝. 在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝. 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为. 【方法归纳】 空间角向平面角的转换： (1)求异面直线所成的角，一般解法是通过平移转化为平面角，将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可． (2)求线面角，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解． (3)求二面角，利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解． 练一练： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形． (1)求证：BD⊥PC； (2)求二面角B-PC-D的大小． 参考答案： (1)证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO. 因为△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB． 又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD． 又BD 平面ABCD，所以PO⊥BD．又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC．所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC．又OC，PO 平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC．又PC 平面POC，所以BD⊥PC． (2)如图，取PC的中点E，连接BE，DE.因为PB＝BC，所以BE⊥PC．又BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE.所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角(或其补角)．因为BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB．所以BC⊥PB，AD⊥PA．由平面几何知识，可求得BE＝PC＝，PD＝BD＝，所以DE＝.因为BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，即二面角B-PC-D的大小为90°.
学习总结
任务：回顾本单元内容，完成下表.
2复习课 立体几何初步
学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.了解化归与转化思想，掌握其在立体几何中的应用.
学习活动
目标一：理解单元知识架构，建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题,回顾本单元知识，建构单元知识框图. 什么是基本几何体的结构特征？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体结构吗？举例说明. 如何画出空间几何体直观图？其画图步骤有哪些？ 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？柱、锥、台体积公式之间有怎样的联系？ 平面的三个基本事实是什么？它是如何刻画平面“平”、“无限延展”的？ 我们应用了哪些思想和方法研究直线与平面的位置关系？其位置关系又有哪些？如何判定？有什么性质？ 【归纳总结】
目标二：了解化归与转化的思想，掌握其在立体几何中的应用. 化归与转化思想：将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.在本章中，转化思想体现得淋漓尽致，比如求体积、距离有时要用到顶点的转化，球的切接问题要将空间几何图形转化为平面几何图形，位置关系的证明、空间角的求解转化到三角形中求解等等． 任务1：利用等体积思想求空间几何体的体积和距离. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥C1-B1DA的体积为（ ） ( ) A．3 B． C．1 D． 【方法归纳】 练一练： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于（ ） ( ) A． B． C．1 D． 任务2：利用转化思想求解与球有关的组合体中的外接球的表面积. 已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，求三棱锥A-BCD的外接球的表面积. ( ) 【方法归纳】 练一练： 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________． 任务3：利用平行与垂直的转化关系，证明线面平行、垂直问题. 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC． (1)求证：AE⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由． 【方法归纳】 练一练： 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是平行四边形，点M在线段EF上．求证：BC⊥平面ACFE； 任务4：利用化归与转化思想求解空间角. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (2)求证：平面PDC⊥平面ABCD； (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 【方法归纳】 练一练： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形． (1)求证：BD⊥PC； (2)求二面角B-PC-D的大小．
学习总结
任务：回顾本单元内容，完成下表.
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