专题05 三角形的中线、角平分线、垂线问题
一．三角形的中线及应用
1．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，为边的中线，，，，则中线的长为 ．
【答案】
【解析】由已知可得，，
所以，，
所以，，所以，中线的长为.
2．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理得，
整理得，即，
因，所以，得，则，
因为，所以.
如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，
又，所以
由得代入上式，得，
当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为.
3．（22-23高一下·广东佛山·期中）已知中，内角的对边分别为，的面积边的中线长为．
（1）求；
（2）若的面积，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，
又因为，所以可得，整理得，
因为，所以；
（2）由（1）知，因为的面积，
所以由，可得，所以，
因为，所以，
所以，
因为内角的对边分别为，，中线长为，
所以，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，可得.
4．（22-23高一下·河北保定·期中）在中，内角所对边的长分别为，且满足．
（1）求；
（2）若是的中线，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），所以，
由正弦定理得：，
又，得，即
（2），，得，
由余弦定理得：，
由于是的中线，所以,
,所以
5．（22-23高一下·辽宁大连·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：，
又，所以，即，
所以，
所以；
（2）由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为.
6．（22-23高一下·江苏南京·期中）在中，已知角、、所对的边分别为、、，，，在下列条件中选择一个，判断是否存在．如果存在，那么求出的面积；如果不存在，那么请说明理由．
①边的中线长为；②；③．
【答案】条件选择见解析，答案见解析
【解析】因为，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理得，所以，即，
因为，所以，，所以，所以.
选择①：边的中线长为，
在中，，（i）
在中，，（ii）
因为，所以，，
所以，，
（i）+（ii）可得，即，
因为，所以，解得或，
所以存在，所以，的面积为；
选择②：，因为，所以，解得或，
所以存在，所以，的面积为；
选择③：，因为函数在上是减函数，且，即，
又因为，所以，
因为，所以，这与矛盾，所以不存在．
7．（22-23高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
8．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
即，
所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
二．三角形的角平分线及应用
9．（23-24高二下·河南信阳·开学考试）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）设是边上一点，为角平分线且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因为，所以；
（2）在中，，所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，则，
因此．
10．（2023·江西上饶·二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴为等腰三角形，，，
又∵为角平分线，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，
.故选：A．
11．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足．
（1）求角的值；
（2）若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由正弦定理可得，即，
因为，可得，
即，
又由余弦定理可得，可得，即，
因为，所以.
（2）因为为角的角平分线，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，即，
因为为中线，所以，
即，
即，所以，，
所以的面积为.
12．（22-23高一下·河北保定·期中）已知的内角的对边分别为，满足
（1）求角；
（2）是的角平分线，若的面积为，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理得，
即，整理得，
化简得，由余弦定理得，
又，则；
（2）由面积公式得，解得；
即
，所以．
13．（22-23高一下·甘肃白银·期末）的内角的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为的角平分线，且，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）解法1、因为，
由余弦定理得，
整理得，即，则，
因为，所以．
解法2、因为，由正弦定理得，
因为，可得，
所以，
整理得，
因为，所以，则，
因为，所以．
（2）由，可得，
可得，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积为，即面积的最小值为．
14．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知△的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理，得，即，
故根据余弦定理有.
（2）因为为三角形内角，则由（1）知，
因为的面积为，所以，即，解得，
又因为，，所以，所以，
所以．
于是.
那么．
所以（当且仅当时等号成立）
故的最大值为．
15．（2022·北京·模拟预测）在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】（1）；（2）正确条件为①③，（i），（ii）
【解析】（1）由题设，
而，所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
16．（22-23高一下·河南·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以根据正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）由，
得，解得，
所以的面积为.
三．三角形的垂线及应用
17．（22-23高一下·福建三明·期中）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，过作的垂线与的延长线交于点，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理得，
所以.
因为，所以.
又，故.
（2）在中，，即，
因，解得，
又在中，，
从而，故.
而，所以.
18．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求中边上的高的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，，整理得；
（2）因为，因为，由（1）可得，则，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
于是，所以的最大值为，
又，所以，当且仅当时等号成立，
即中边上的高的最大值．
19．（22-23高一下·四川达州·期中）已知的内角的对边分别为，且的面积为.
（1）求；
（2）若为的中点，边上的高为，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理得
则,
又，则，，
又,.
（2）
又，，
，
又，所以，
又因为，
所以
，
20．（22-23高一下·江苏徐州·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且，，．
（1）求的边；
（2）求边上的高．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，，
由余弦定理可得：，所以；
（2）因为，
设边上的高为，则由三角形的面积可得：
，即，解得，
则边上的高为．
21．（23-24高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，
又，
代入整理可得，
因为，所以，
又，所以，
（2）由及可得，，
又周长为3b，则，所以，
根据余弦定理可得，，整理可得，
设AC边上的高为h，则，解得，
所以AC边上的高为.
22．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，即，所以，
由正弦定理得，即；
（2）由题意得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
因为边上的高为，所以，
则，所以，，
故的周长．
23．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，已知.
（1）若，求B的大小；
（2）若，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，化简得，
又，所以，所以，
则，
又，所以；
（2）在中，，
则，
又由已知得，所以，
因为，所以，
又，
则，即，所以，所以，
令，
由双钩函数函数得性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.
24．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得．两边除以，得，
由二倍角公式，有，整理为，
上式因式分解为，解得或（舍去），
又由，可得；
（2）由．有，
又由，可得，
有，可得，
又由的面积为及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
在中，由余弦定理，有，
有的周长为．
四．其他多边形的边角求解
25．（22-23高一下·海南·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
（1）求的度数；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得，
，，
所以 是等腰三角形，，
所以，
所以.
（2）由（1）知中，，，
又，
所以.
26．（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，在中，已知点在边上，且，，.
（1）若，求线段的长；
（2）若点是的中点，，求线段的长.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）由条件可得.
在中，由正弦定理得，
（2）方法一：由（1）知，因为为钝角，所以.
因为，
所以，
所以，整理得，
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.
方法二：由（1）知，因为为钝角，所以.
由点是的中点，设
在中，由余弦定理得， ①
在和中，因为
所以，
所以，整理得②
将②代入①，得
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.
方法三：由（1）知，因为为钝角，所以
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，
因为，所以，
因为，
在中，
即，整理得
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9
27．（22-23高一下·广西南宁·期中）如图，的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得，
，，
因为，所以.
（2）延长交于，则，
又，，
在中，，，
由余弦定理得，
所以.
28．（22-23高一下·福建福州·期中）在四边形ABCD中，，．
（1）求的长：
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为且，可得，
在中，，
所以.
（2）因为，可得，
又因为且，
可得
由正弦定理，可得，
所以，
由，可得，
又因为，
所以四边形的面积为.
29．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，在中，，， ，.
（1）求
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得或（舍），所以.
（2）由（1）得，在中，
由正弦定理有，得，，
所以，，
又，则为直角三角形，
所以，即，故，
所以.
30．（22-23高一下·广西·期中）如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，得，
因为，所以,
（2）因为，，所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，
，
得，解得或
31．（2023高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，则，
故为等腰三角形，故.
（2）由（1）知，，又因为，则，
因为，则为锐角，
且，
所以
，
在中，由正弦定理，
可得.
32．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，角，．
（1）若AB＝2，CD＝BC，求四边形ABCD的面积；
（2）求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，，，
由余弦定理得，即，
而，解得，
因此的面积，
在中，，，
则是正三角形，其面积为，
所以四边形ABCD的面积
（2）在中，由余弦定理得，
即，
即，当且仅当时取等号，则
所以当时，周长取得最大值.专题05 三角形的中线、角平分线、垂线问题
一．三角形的中线及应用
1．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，为边的中线，，，，则中线的长为 ．
2．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 .
3．（22-23高一下·广东佛山·期中）已知中，内角的对边分别为，的面积边的中线长为．
（1）求；
（2）若的面积，求．
4．（22-23高一下·河北保定·期中）在中，内角所对边的长分别为，且满足．
（1）求；
（2）若是的中线，求的长．
5．（22-23高一下·辽宁大连·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线的长.
6．（22-23高一下·江苏南京·期中）在中，已知角、、所对的边分别为、、，，，在下列条件中选择一个，判断是否存在．如果存在，那么求出的面积；如果不存在，那么请说明理由．
①边的中线长为；②；③．
7．（22-23高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
8．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.
二．三角形的角平分线及应用
9．（23-24高二下·河南信阳·开学考试）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）设是边上一点，为角平分线且，求的值．
10．（2023·江西上饶·二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足．
（1）求角的值；
（2）若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积．
12．（22-23高一下·河北保定·期中）已知的内角的对边分别为，满足
（1）求角；
（2）是的角平分线，若的面积为，求的值．
13．（22-23高一下·甘肃白银·期末）的内角的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为的角平分线，且，求面积的最小值．
14．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知△的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
15．（2022·北京·模拟预测）在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
16．（22-23高一下·河南·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且
．
（1）求角的大小；
（2）若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
三．三角形的垂线及应用
17．（22-23高一下·福建三明·期中）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，过作的垂线与的延长线交于点，求的面积.
18．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求中边上的高的最大值．
19．（22-23高一下·四川达州·期中）已知的内角的对边分别为，且的面积为.
（1）求；
（2）若为的中点，边上的高为，求的长.
20．（22-23高一下·江苏徐州·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且，，．
（1）求的边；
（2）求边上的高．
21．（23-24高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.
22．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长.
23．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，已知.
（1）若，求B的大小；
（2）若，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围.
24．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
四．其他多边形的边角求解
25．（22-23高一下·海南·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
（1）求的度数；
（2）求的面积.
26．（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，在中，已知点在边上，且，，.
（1）若，求线段的长；
（2）若点是的中点，，求线段的长.
27．（22-23高一下·广西南宁·期中）如图，的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的长.
28．（22-23高一下·福建福州·期中）在四边形ABCD中，，．
（1）求的长：
（2）若，求四边形的面积．
29．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，在中，，， ，.
（1）求
（2）求的面积.
30．（22-23高一下·广西·期中）如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求．
（2）若，，，求的长．
31．（2023高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
32．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，角，．
（1）若AB＝2，CD＝BC，求四边形ABCD的面积；
（2）求周长的最大值．
