2023-2024学年数学八年级平行四边形单元测试试题（人教版）基础卷含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级平行四边形单元测试试题（人教版）基础卷含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 18:01:46 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级平行四边形（人教版）
单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，□中，，相交于点，若，，则的周长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
2．（本题3分）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度
3．（本题3分）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
5．（本题3分）如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．6
6．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（ ）
A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36
8．（本题3分）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
9．（本题3分）如图，在正方形中，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所组成的四边形是菱形
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的三条高交于一点
D．菱形是中心对称图形也是轴对称图形
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，是高，，分别是，的中点，且，则四边形的周长为 ．
12．（本题3分）四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形．
13．（本题3分）已知平行四边形中，，则的度数为 ．
14．（本题3分）如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为 ．
15．（本题3分）在平行四边形中，，则 ．
16．（本题3分）如图，在边长为的正方形的外侧，作．若为边上的一点，当的面积是面积的倍时， （结果保留根号）．
17．（本题3分）如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
18．（本题3分）如图，平行四边形中，，，平分交于点，，垂足为，交于点，点为中点，则的长为
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，在中，的平分线交于点D，，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且，求四边形的面积．
20．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线交于点是对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
21．（本题10分）如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：．
22．（本题10分）如图：在正方形中，点在上，延长到使，连接、、．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
23．（本题10分）如图，已知四边形是平行四边形，平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，交于点，连接不写作法，不下结论，保留作图痕迹
(2)求证：（请补全下面的证明过程）
证明：平分，
______ ．
四边形是平行四边形，
______ ．
，
______ ，
．
又 ______ ．
．
24．（本题10分）如图，在矩形中，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于点E、F，作直线；再以点A为圆心，为半径作弧，交直线于点G，连接．
(1)求的度数；
(2)过点D作，交直线于点H，求证：四边形是平行四边形．
25．（本题10分）如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
(1)求证：．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)作的中点，连接，若，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据四边形是平行四边形，得，，，又因为，则，即可列式作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形．
【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误；
B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确；
C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误；
D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，即可求出的度数，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
【详解】如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．
【详解】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B
5．A
【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质，首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可得出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形和的高相等，
∴，
故选A．
6．A
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，二次根式的乘法，直接由菱形面积公式计算即可，关键是掌握菱形面积的计算公式．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为和
∴该菱形的面积为：
故答案为：．
7．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系来判断对角线的范围．根据平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴能构成三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由作图知，，
∴四边形为平行四边形，
综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
9．D
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，根据正方形的性质得出，，得到，，证明，即可判断①；求得，即可判断②；延长交的延长线于，证明得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再利用余角的性质即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
分别是，的中点，
，，
，
，
，，故①正确，符合题意；
，
，
，
，故②正确，符合题意；
如图，延长交的延长线于，
，
是的中点，，
，
，，
，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
，故③正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③，共个，
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查判断真假命题，中点四边形、平面内两直线的位置关系，三角形的高的定义及角平分线的性质定理，根据中点四边形、平面内两直线的位置关系，三角形的高的定义及角平分线的性质定理可直接进行排除选项．
【详解】A. 顺次连接平行四边形四边中点所组成的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不合题意
B. 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，原命题是假命题，不合题意
C. 三角形的三条高所在的直线交于一点，原命题是假命题，不合题意
D. 菱形是中心对称图形也是轴对称图形，是真命题，符合题意
故选：D．
11．12
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，计算四边形的周长即可．
【详解】解∶∵是高，
∴，
∵ 分别是的中点，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶．
12．3
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案．
【详解】
解：当，时，四边形是平行四边形，
当时，这个四边形是平行四边形．
故答案为：3
13．/115度
【分析】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，可求出，根据邻角互补继而求出．
【详解】解：在平行四边形中，
，
，
，
故答案为：．
14．6
【分析】
此题主要考查了菱形的性质，正确得出内角度数是解题关键．直接利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长即可得出答案．
【详解】解：
如图所示∶过点D作于点E，
四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为
则，
在中，
，
，
即菱形的边长为∶．
故答案为∶6．
15．/140度
【分析】根据平行四边形，得到，结合，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，过点作的垂线，交于点，先求得，进而可求得和的数值，根据即可求得答案．
【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点．
∵，，
∴．
在中
．
∴．
∵的面积是面积的倍，
∴．
∴，即
．
∴．
∴．
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解；∵菱形的对角线相交于点，，，
∴，
故答案为：4．
18．4
【分析】由平行线的性质，角平分线定义推出，，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质即可推出，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长．
【详解】解：延长交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，利用角平分线定义利用平行线的性质，角平分线定义推出，，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长是解题的关键．
19．(1)答案见解析
(2)242
【分析】
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
【详解】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是
，，
四边形是平行四边形
平分
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）
四边形是正方形
，
四边形的面积为∶．
20．证明见解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定与性质，在平行四边形中，，利用，判断出四边形的对角线相互平分即可得证，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】
证明：在平行四边形中，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
21．证明见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是证明出．
（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，进而得到；
（2）首先根据勾股定理求出，然后由得到，进而得到，求解即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形
∴，
∴
∵
∴
∴；
（2）∵四边形是正方形
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴（负值舍去）．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据作角平分线的基本作法作图；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
【详解】（1）解：如图：
（2）证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
．
又平分．
．
故答案为：，，，平分．
24．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1）由题意得垂直平分线段，可推出是等边三角形，即可求解；
（2）证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
【详解】（1）解：由题意得：垂直平分线段，
∴
∵
∴
∴是等边三角形
∴
（2）证明：由（1）得：
∵
∴
即：
∵
∴四边形是平行四边形
25．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键．
（1）利用“”证明；
（2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论；
（3）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，连接，
，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
．
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2023-2024学年数学八年级平行四边形（人教版）
单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，□中，，相交于点，若，，则的周长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
2．（本题3分）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度
3．（本题3分）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
5．（本题3分）如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．6
6．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（ ）
A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36
8．（本题3分）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
9．（本题3分）如图，在正方形中，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所组成的四边形是菱形
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的三条高交于一点
D．菱形是中心对称图形也是轴对称图形
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，是高，，分别是，的中点，且，则四边形的周长为 ．
12．（本题3分）四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形．
13．（本题3分）已知平行四边形中，，则的度数为 ．
14．（本题3分）如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为 ．
15．（本题3分）在平行四边形中，，则 ．
16．（本题3分）如图，在边长为的正方形的外侧，作．若为边上的一点，当的面积是面积的倍时， （结果保留根号）．
17．（本题3分）如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
18．（本题3分）如图，平行四边形中，，，平分交于点，，垂足为，交于点，点为中点，则的长为
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，在中，的平分线交于点D，，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且，求四边形的面积．
20．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线交于点是对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
21．（本题10分）如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：．
22．（本题10分）如图：在正方形中，点在上，延长到使，连接、、．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
23．（本题10分）如图，已知四边形是平行四边形，平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，交于点，连接不写作法，不下结论，保留作图痕迹
(2)求证：（请补全下面的证明过程）
证明：平分，
______ ．
四边形是平行四边形，
______ ．
，
______ ，
．
又 ______ ．
．
24．（本题10分）如图，在矩形中，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于点E、F，作直线；再以点A为圆心，为半径作弧，交直线于点G，连接．
(1)求的度数；
(2)过点D作，交直线于点H，求证：四边形是平行四边形．
25．（本题10分）如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
(1)求证：．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)作的中点，连接，若，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据四边形是平行四边形，得，，，又因为，则，即可列式作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形．
【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误；
B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确；
C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误；
D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，即可求出的度数，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
【详解】如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．
【详解】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B
5．A
【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质，首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可得出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形和的高相等，
∴，
故选A．
6．A
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，二次根式的乘法，直接由菱形面积公式计算即可，关键是掌握菱形面积的计算公式．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为和
∴该菱形的面积为：
故答案为：．
7．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系来判断对角线的范围．根据平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴能构成三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由作图知，，
∴四边形为平行四边形，
综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
9．D
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，根据正方形的性质得出，，得到，，证明，即可判断①；求得，即可判断②；延长交的延长线于，证明得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再利用余角的性质即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
分别是，的中点，
，，
，
，
，，故①正确，符合题意；
，
，
，
，故②正确，符合题意；
如图，延长交的延长线于，
，
是的中点，，
，
，，
，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
，故③正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③，共个，
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查判断真假命题，中点四边形、平面内两直线的位置关系，三角形的高的定义及角平分线的性质定理，根据中点四边形、平面内两直线的位置关系，三角形的高的定义及角平分线的性质定理可直接进行排除选项．
【详解】A. 顺次连接平行四边形四边中点所组成的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不合题意
B. 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，原命题是假命题，不合题意
C. 三角形的三条高所在的直线交于一点，原命题是假命题，不合题意
D. 菱形是中心对称图形也是轴对称图形，是真命题，符合题意
故选：D．
11．12
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，计算四边形的周长即可．
【详解】解∶∵是高，
∴，
∵ 分别是的中点，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶．
12．3
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案．
【详解】
解：当，时，四边形是平行四边形，
当时，这个四边形是平行四边形．
故答案为：3
13．/115度
【分析】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，可求出，根据邻角互补继而求出．
【详解】解：在平行四边形中，
，
，
，
故答案为：．
14．6
【分析】
此题主要考查了菱形的性质，正确得出内角度数是解题关键．直接利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长即可得出答案．
【详解】解：
如图所示∶过点D作于点E，
四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为
则，
在中，
，
，
即菱形的边长为∶．
故答案为∶6．
15．/140度
【分析】根据平行四边形，得到，结合，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，过点作的垂线，交于点，先求得，进而可求得和的数值，根据即可求得答案．
【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点．
∵，，
∴．
在中
．
∴．
∵的面积是面积的倍，
∴．
∴，即
．
∴．
∴．
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解；∵菱形的对角线相交于点，，，
∴，
故答案为：4．
18．4
【分析】由平行线的性质，角平分线定义推出，，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质即可推出，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长．
【详解】解：延长交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，利用角平分线定义利用平行线的性质，角平分线定义推出，，即可求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长是解题的关键．
19．(1)答案见解析
(2)242
【分析】
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
【详解】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是
，，
四边形是平行四边形
平分
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）
四边形是正方形
，
四边形的面积为∶．
20．证明见解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定与性质，在平行四边形中，，利用，判断出四边形的对角线相互平分即可得证，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】
证明：在平行四边形中，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
21．证明见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是证明出．
（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，进而得到；
（2）首先根据勾股定理求出，然后由得到，进而得到，求解即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形
∴，
∴
∵
∴
∴；
（2）∵四边形是正方形
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴（负值舍去）．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据作角平分线的基本作法作图；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
【详解】（1）解：如图：
（2）证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
．
又平分．
．
故答案为：，，，平分．
24．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1）由题意得垂直平分线段，可推出是等边三角形，即可求解；
（2）证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
【详解】（1）解：由题意得：垂直平分线段，
∴
∵
∴
∴是等边三角形
∴
（2）证明：由（1）得：
∵
∴
即：
∵
∴四边形是平行四边形
25．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键．
（1）利用“”证明；
（2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论；
（3）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图，连接，
，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
．
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