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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
6.2 与面积有关的问题
二次函数是初中数学的一个重点和难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。而求三角形（多边形）面积及其最值问题，更是常见。解决此类面积问题的方法为“割补法”、“等积变换法”、“铅垂线法”、“平行线法”、“相似转化法”等。本专题主要研究二次函数中的面积问题，包括三角形（多边形）面积、三角形（多边形）面积比值问题、面积最值问题等。
1．面积表示方法：（1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)．
图1图2图3 图4
（2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC．（3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA．
（4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
注意：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）。
（5）等积变换法：BC交y轴于点D，在抛物线上求一点P，使得S△BCP=S△ACB。
作法：过点A做BC的平行线，交抛物线于点P1，交y轴于E点；在D点下方找一点F，使DF=DE，过点F做BC的平行线，交抛物线于P2，P3，则P1，P2，P3即为所求的点.
图5 图6
（6）平行线法：直线l交抛物线于A、B两点，在l下方找一点P，使△ABP的面积最大。
作法：将直线l向下平移至与抛物线只有一个交点时，这个交点即为P点，此时△ABP的面积最大，可联立抛物线与直线l的解析式，进而求出三角形面积的最大值.
2．面积比问题
（1）等底或等高：
底相等，面积比=高之比 高相等，面积比=底之比
（2）斜转直：
3．面积最值：利用二次函数解动态几何中的面积最值，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。
考向一 三角形（多边形）面积问题
例1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（ ）．
A．3 B． C． D．2
例2．（2024·福建莆田·模拟预测）已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，关于的函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点A，，则的面积为 ．
例3．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
例4．（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
考向二 面积比值问题
例1．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
例2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；(3)若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
例3．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当时，求点的坐标；(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
考向三 面积最值问题
例1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________；
(3)当是菱形时，求的值．(4)当为何值时，的面积有最大值？
例2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为即
(1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D.①若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，求m的值；②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.
例3．（2023年湖北省荆州市中考数学真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．①当点为抛物线顶点时，求的面积；②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
例4．（2023年山西省中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．①当时，求的值；②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
一、选择题
1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线点．直线，已知抛物线任意一点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，，，垂足分别为、，连接，，，，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
4．（2023·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点G，设，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题
6．（22-23九年级上·广东广州·期中）矩形的顶点分别在轴和的轴上，点的坐标为，点在射线上，以点为顶点的抛物线经过点，且开口方向向上，记面积为，则的取值范围为 ．
7．（2023九年级·广东·专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
8．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于和B两点，与轴交于点；（1）该抛物线的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）；
（2）若，当时，y随x的增大而增大，点P为x轴下方抛物线上一点，且的面积被x轴分成两部分，则点P的坐标为 ．
9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过 秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为 ．
11．（2023·四川·模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为 ．（用含有a的代数式表示）
12．（22-23九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象交直线于A，B两点．若该二次函数图象上有且只有，，三点满足，则m的值是 ．
13．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为 ．
三、解答题
14．（2023·浙江·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：(1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
(2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方：①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标；②若时，求出点D的坐标；③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标．
15．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线解析式和直线的解析式；(2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标；(3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值．
16．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
18．（2023年吉林省长春市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
19．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
20．（2023年安徽中考数学真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．①当时，求的长；②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
6.2 与面积有关的问题
二次函数是初中数学的一个重点和难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。而求三角形（多边形）面积及其最值问题，更是常见。解决此类面积问题的方法为“割补法”、“等积变换法”、“铅垂线法”、“平行线法”、“相似转化法”等。本专题主要研究二次函数中的面积问题，包括三角形（多边形）面积、三角形（多边形）面积比值问题、面积最值问题等。
1．面积表示方法：（1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)．
图1图2图3 图4
（2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC．（3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA．
（4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
注意：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）。
（5）等积变换法：BC交y轴于点D，在抛物线上求一点P，使得S△BCP=S△ACB。
作法：过点A做BC的平行线，交抛物线于点P1，交y轴于E点；在D点下方找一点F，使DF=DE，过点F做BC的平行线，交抛物线于P2，P3，则P1，P2，P3即为所求的点.
图5 图6
（6）平行线法：直线l交抛物线于A、B两点，在l下方找一点P，使△ABP的面积最大。
作法：将直线l向下平移至与抛物线只有一个交点时，这个交点即为P点，此时△ABP的面积最大，可联立抛物线与直线l的解析式，进而求出三角形面积的最大值.
2．面积比问题
（1）等底或等高：
底相等，面积比=高之比 高相等，面积比=底之比
（2）斜转直：
3．面积最值：利用二次函数解动态几何中的面积最值，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。
考向一 三角形（多边形）面积问题
例1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、三角函数、轴对称-最短路径等知识点，根据轴对称可以确定得使得的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线的距离和的长度，即可求得的面积即可解答．明确题意、灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：联立解析式得：，解得：或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴，
如图：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交于P，则此时的周长最小，
点的坐标为，点B的坐标为，设直线的函数解析式为,
，解得：，∴直线的函数解析式为，
当时，，即点P的坐标为，将代入直线中，得，
∵直线与y轴的夹角是，∴点P到直线的距离是：，
∴的面积是：．故选C．
例2．（2024·福建莆田·模拟预测）已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，关于的函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点A，，则的面积为 ．
【答案】或4
【分析】先确定出点的坐标，再判断出函数的图象与轴必有一个交点，得出此函数图象与轴只有一个交点，分两种情况，求出点A的坐标，最后用三角形的面积公式计算即可得出结论．
【详解】解：关于轴的对称点在反比例函数，
，，，点关于轴的对称点在轴的右侧，
点也在轴的右侧，，，，，
令点A是函数与轴的交点，点是与轴的交点，
令时，，，函数始终与轴有一个交点，
函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点A，，
函数与轴只有一个交点A，
当时，即函数解析式为，为一次函数，，如图，
，，直线的解析式为，过点作轴交于，
，，
当时，即函数为二次函数，此时抛物线与轴只有一个交点，
令，则，，
，，轴，，故答案为或4．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，点的对称点的确定，二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
例3．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，代入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，设直线解析式为，∴解得：
∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，
∵，∴，∴点必在内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线的解析式为∴解得：则直线的解析式为
①如图1，直线过中点，中点坐标为，代入直线求得，不成立；
②如图2，直线过中点，直线解析式为，
中点坐标为，代入直线求得；
③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．
④如图4，直线，∴∴，∴，解得；
⑤如图5，直线，，则
∴，又，∴，∵，∴不成立；
⑥如图6，直线，同理可得，
∴，，，∴，解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
例4．（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)(2)见解析(3)的面积为定值，其面积为2
【分析】（1）将代入，即可解得；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【详解】（1）解：因为抛物线经过点，
所以解得所以抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线对应的函数表达式为，因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．解得，或．
又因为，所以．所以．因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
考向二 面积比值问题
例1．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，，，解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，解得：，∴，
∵抛物线向右平移个单位，∴，当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
例2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；(3)若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)(2)3(3)，
【分析】（1）用待定系数法直接求解即可；（2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可；
（3）先由勾股定理的逆定理得出，从而由三角形面积公式得，再用待定系数法求得直线解析式：，然后设，则，，所以，根据，得，求解即可．
【详解】（1）解：把点代入抛物线，得
解得：，．
（2）解：，
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得，解得：（舍），，．
（3）解：如图，过点作轴，交于点，
，，，，，
，设直线解析式解析式为，
把分别代入，得，解得：，
直线解析式：，设，则，
，，
，，解得：，，，．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象的平移，抛物线与一次函数的图象性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理．此题属二次函数面积类综合题目，是中考试常考题目．
例3．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当时，求点的坐标；(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴解得：∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
设，则，∵，∴，
∵，∴，解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．∴，∴，设直线的解析式为，
∴，解得：，∴直线的解析式为，
联立，解得：或，∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，设直线的解析式为，
将代入得，解得：，∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为，联立解得：，∴，
∴，
∴当时，取得最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考向三 面积最值问题
例1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________；
(3)当是菱形时，求的值．(4)当为何值时，的面积有最大值？
【答案】(1)(2)(3)(4)当时，平行四边形的面积有最大值
【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得；（2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得；（3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得；（4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴抛物线的解析式为，即，
（2）解：∵抛物线的解析式为，令，则，∴，
∵有两个顶点在轴上时，∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，∴，∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，∴，故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，∴，，
∵是菱形，∴，∴，∴，
，，
∵，∴，，
，即，，
∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），∴，∴；
（4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，，∴直线的解析式为，
设，则，∴，∴，
∵，
∴当时，平行四边形的面积有最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质．
例2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为即
(1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D.①若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，求m的值；②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.
【答案】(1)，，，(2)①或②
【分析】本题考查了抛物线的新定义，顶点坐标，二次函数的最值，抛物线与一次函数的交点，抛物线与x轴的交点，勾股定理的逆定理的应用，一次函数的解析式，正确理解新定义，熟练掌握交点计算，勾股定理的逆定理，分类思想是解题的关键．(1)根据定义，确定伴随直线，联立抛物线与直线的解析式构成方程组，解方程组即可得到交点的坐标．(2) ①根据定义，确定伴随直线，联立抛物线与直线的解析式构成方程组，解方程组即可得到交点的坐标，利用勾股定理的逆定理，分类计算即可．
②由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，抛物线的顶点坐标为，伴随直线为，
∴，解得，
故抛物线与其伴随直线的交点坐标为和，
故答案为：，，，．
（2）①顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D，∴，伴随直线为，
∴，，解得，，，
∴，，，，∴，，，
当时，是直角三角形，且，
∴，方程无解，此时不成立；
当时，是直角三角形，且，
∴，解得（舍去），此时；
当时，是直角三角形，且，
∴，解得（舍去），此时；故m的值为或．
②解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，解得，
直线的解析式为：，如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，故，
∴， ∴
，根据抛物线开口向下，由此可得，
当，最大为，当S取得最大值时，，解得．
例3．（2023年湖北省荆州市中考数学真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．①当点为抛物线顶点时，求的面积；②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，，
，，当函数为一次函数时，，．
当函数为二次函数时，，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，，
，．综上所述，或0．故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，，，，
，
．故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，，
，，，，即，
，，
，，，
当时，有最大值，最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
例4．（2023年山西省中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．①当时，求的值；②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)①2或3或；②，S的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，．解得．
∵点A在轴正半轴上．∴点A的坐标为．设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，解得，∴直线的函数表达式为．
将代入，得．∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．∴点的坐标分别为．
∴．∵点的坐标为，∴．∵，∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，∴．解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，∴．解得，
∵，∴．综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，∴．
∵点在直线上方，∴．
∵轴于点，∴．∴，，
∴．∴．∴．
∴．∴．∴四边形为平行四边形．
∵轴，∴四边形为矩形．∴．
即．
∵，∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
一、选择题
1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线点．直线，已知抛物线任意一点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，，，垂足分别为、，连接，，，，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】直线与轴的交点为，可求，，从而可以求解．
【详解】解：如图，直线与轴的交点为，
由题意得：，，，，，
，，，轴，轴，
，，，，
，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的判定、三角形的面积计算公式等知识，掌握相关的判定方法及性质，解法是解题的关键．
2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】过点作于点，先证明是等腰直角三角形，再设，，根据的面积为4，求出的值，表示出点的坐标代入解析式即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
抛物线与直线交于A，B两点
由二次函数图象是轴对称图形，得，，是等腰直角三角形，
，，
设，，，，，
抛物线的对称轴为直线，
把点代入抛物线得：
把点，代入抛物线得：
由解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键．
3．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）
A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8
【答案】D
【分析】令求出的长，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，利用一线三直角的全等模型证明，．从而利用三角形的面积公式得出，从而得解．
【详解】解：令，解得：，，．
过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是正方形， ，，，
又轴，，，
，，，，．
同理可得：．，
与的面积和始终不变，面积为．故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出，是解题的关键．
4．（2023·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点G，设，则w的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件设，其中，求得直线的解析式，直线的解析式，联立即可求得点G的坐标，根据，令，根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的最小值．
【详解】∵点P在第四象限的抛物线上，交于点G，如图，
当时，，解得，，即，，
∵D为抛物线顶点，∴，设直线的解析式为，
∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为，
当时，，∴，设，其中，
设直线的解析式为，∵，
∴，解得：，∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，∵，
∴，解得，∴直线的解析式为，
联立方程组，得：，解得：，∴，
∵，∴，，∴，
∴，
令，
∵，∴当时，z取得最大值 ，w取得最小值为 ，
∴w有最小值，最小值为 ．故选：A．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运用转化思想是解题的关键．
5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得△，得到，当点是中点时，最短，当最短时，的面积最小，即阴影部分的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大．
【详解】解：令，解得，，
，，令，解得，，
∵点D与点C关于x轴对称，故，，，
则四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得到，
，，
，，又，，△，
，阴影部分的面积=的面积，
当点是中点时，最短，即最短时，的面积最小，
故可得到阴影部分的面积先减小后增大．故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．
二、填空题
6．（22-23九年级上·广东广州·期中）矩形的顶点分别在轴和的轴上，点的坐标为，点在射线上，以点为顶点的抛物线经过点，且开口方向向上，记面积为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意确定点的范围，结合图形求得的最值即可求解．
【详解】解：如图，
∵点的坐标为，设的解析式为,则，解得，
∴直线的解析式为，
∵在直线上，设，抛物线解析式为，
∵抛物线过点，∴，解得，
∵抛物线开口向上，∴，即，
在中，令，得，设,∴点在线段上运动，不包含端点，
设到的距离为，面积为，
∴当点位于点时，最大，当位于点时，最小，
当位于点时，，则，
当点位于点时，，则，∴，故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形，抛物线的性质，求得点到的距离的范围是解题的关键．
7．（2023九年级·广东·专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】②
【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．
【详解】∵抛物线经过点，顶点为，
∴对称轴，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
由图象可得：当时，；∴①错，不符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，∴设抛物线为，
当时，，当时，，∴，，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l交于，过点A作，过点B作，
∴，设直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，当是，，∴，
∴，∴，解得：，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，∴当时，，∴，
∵为直角三角形，当时，∴，
∵，，，∴，整理得：，
解得：或（舍）∴，
当时，∴，∴，整理得：
解得：或（舍）∴，
当时，∴，∴，无解；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，
则，为等边三角形，∴，，∴，
∵为等边三角形，∴，，∴，
当时，∵，
当时，，∵
∴的值最小，最小值的平方为，故③错误；故答案为：②．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．
8．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于和B两点，与轴交于点；（1）该抛物线的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）；
（2）若，当时，y随x的增大而增大，点P为x轴下方抛物线上一点，且的面积被x轴分成两部分，则点P的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】（1）把代入中，得出a，b的关系，从而得出结论；（2）先根据求出点B坐标，再根据题意判断函数解析式，然后根据的面积被x轴分成两部分分类讨论即可．
【详解】解：（1）把代入中，得，∴，
∴对称轴为直线，故答案为：；
（2）∵，，∴或
当时，把，代入得：，
解得，∴抛物线解析式为，
∴对称轴为，抛物线开口向下，不满足时，y随x的增大而增大，舍去；
当时，把，代入得：，解得，
∴抛物线解析式为，
∴对称轴为，抛物线开口向上，y满足时，y随x的增大而增大，
连接，，设交x轴于点D，
∵的面积被x轴分成两部分，∴①，即，
令，则，∴，∴，
设，∴，∴，
∵，∴无实数根，∴不存在；
②，即，∴，解得，
当时，，∴，当时，，∴．
综上所述，点P的坐标为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，关键是用待定系数法求函数解析式．
9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过 秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的平移，待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．先用待定系数法求出平移前的解析式为，然后设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．则平移后抛物线解析式为，然后分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，∴，，，，
设抛物线线解析式为，把代入，得，∴，
设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
则，，∴平移后抛物线解析式为，
分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，如图，
由平移的性质，得，∵，∴，∴，∴，
把代入，得，解得：（负值不符合题意，已舍去），
②当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，如图，同理可得，
∴，把代入，得
解得：（负值不符合题意，已舍去），
综上，经过秒或秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．故答案为：或．
10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为 ．
【答案】/0.9
【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，先得出，，再根据过点的直线将分成两个面积相等的三角形，得出过点M的直线为中线，然后进行分类讨论：分别求出各条中线的函数解析式，将点M的坐标代入，求出a的值，即可．①当该直线为边上的中线时，②当该直线为边上的中线时，③当该直线为边上的中线时．
【详解】解：∵，
∴当时，，∴，把代入得：，∴，
∵过点的直线将分成两个面积相等的三角形，∴过点M的直线为中线，
①当该直线为边上的中线时，令中点为点D，∵，，∴，
设直线的函数解析式为，把，代入得：
，解得：，∴直线的函数解析式为，
把代入的：，解得：，不符合题意，舍去；
②当该直线为边上的中线时，令中点为点E，
∵，，∴，∵，∴轴，不符合题意，舍去；
③当该直线为边上的中线时，令中点为点F，∵，，∴，
设直线的函数解析式为，把，代入得：
，解得：，∴直线的函数解析式为，
把代入的：，解得：； 故答案为：．
11．（2023·四川·模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为 ．（用含有a的代数式表示）
【答案】
【分析】设点P的坐标为，先求出点A、B的坐标，进而得到，，再由已知条件得到方程，整理得，根据关于m的方程有实数根，求出，再由得到当最大时，最大，由此即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为，在中，令得：，解得，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵关于m的方程有实数根，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴当最大时，最大，
∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，一元二次方程根的判别式，正确求出是解题的关键．
12．（22-23九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象交直线于A，B两点．若该二次函数图象上有且只有，，三点满足，则m的值是 ．
【答案】
【分析】首先联立，求出A，B两点的坐标，再根据已知条件可判断必有一点在平行于，且与抛物线相切的直线的切点处，求出切点坐标，最后利用割补法求出，即可得出m的值．
【详解】解：联立，解得，，，，
该二次函数图象上有且只有，，三点满足，
其中一点在平行于，且与抛物线相切的直线的切点处，其他两个点在平行于，且与点到的距离相等的抛物线上，设与平行，且与抛物线相切的直线解析式为，
联立，得：，整理得：，
，解得：，，，，即，
过作轴交于点C，如图：，
，即，故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题，利用割补法求三角形面积，判定，，三点的位置是解题的关键．
13．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先求出，再求出线段AC一次函数为、过的一次函数解析式为，求出，根据面积相等列出等式求出P点坐标．
【详解】∵与x轴交于A，B两点（A在左边）与y轴交于C点，
∴ 设过线段一次函数解析式为，
把坐标代入解析式可得∶，∴，
设，过的一次函数解析式为，
把坐标代入解析式可得∶
∴，∴
;
∴;;
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的面积与交点坐标的问题，解题的关键是求出交点坐标，把三角形面积表示出来．
三、解答题
14．（2023·浙江·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：(1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
(2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方：①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标；②若时，求出点D的坐标；③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标．
【答案】(1)，顶点坐标为(2)① 或
②③最大值为，此时点的坐标为
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①根据是以为底边的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案；
②过点作轴于点，则，证得，可得，即，解方程即可；③设，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，即可得出：，，即，，再运用三角形面积公式即可求得，再利用二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线，经过，两点，
，解得：，该抛物线的解析式为，
，该抛物线的顶点的坐标为；
（2）令，得，解得：，，，，
设，且，
①，，，，
是以为底边的等腰三角形，∴，即，
，整理得：，
解得：或，∴ 或；
②如图，过点作轴于点，则，
，，，即，
解得：，（舍去），点的坐标为；
③设，如图，
，直线的解析式为，令，得，，
，直线的解析式为，
，直线的解析式为，
令，得，，，，
，
，当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性．
15．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线解析式和直线的解析式；(2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标；(3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值．
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）将、、的坐标代入即可求出抛物线的解析式，将，两点的坐标代入一次函数解析式即可求出直线的解析式．（2）可设点的横坐标为，用含的代数式表示出点的纵坐标．过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、，构造梯形，得到面积等于梯形减去和的面积和，列方程即可求出值，从而确定点的坐标．（3）由即可得为圆的直径，进而得到圆周角，所以等于与的乘积．设的横坐标为，其纵坐标可用表示，再设的横坐标为，根据圆的性质可求得的值．分别过、作轴的垂线，构造三垂直模型，即得到、的关系式，进而得到与的长度比值，故能用的二次函数关系式表示，即求得最小值．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，把点代入得：，，
抛物线解析式为：，
设直线的解析式为：， 解得：，直线的解析式为：；
（2）过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、，
，，，设点，，
，，，
，
， 解得：（舍去），，点的横坐标坐标为．
（3）连接、、，取中点，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
设，，的横坐标为，，，，
，，为过、、三点的圆的直径，
为圆心，，，，
，，圆心在的垂直平分线上，，
为中点，，，，，
，
当时，最小值，，
点坐标为时，最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值．
16．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．
(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴， ∴，∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，∴点G的纵坐标是1， ∴．
②存在．理由如下：∵的面积为1，，∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），
如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）． ∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
17．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案；（2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，解得：，抛物线的解析式为：；
（2）解：，设，，
，，，
点，，，点的坐标为，
点是轴上方抛物线上一点，，
解得：（舍去）或，；
（3）解：设点，直线的解析式为，
，，解得：，
直线的解析式为，当时，，
，，，
在抛物线中，当时，，，，
，设点的坐标为，
，，，，，
，解得：，点的坐标为，
．
【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
18．（2023年吉林省长春市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)；顶点坐标为(2)(3)或
(4)或或
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；（2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解；（3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解；（4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，得，解得：
∴抛物线解析式为；∵，∴顶点坐标为，
（2）解：由，当时，，解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴∴解得：，∵点的坐标为，∴；
（3）①如图所示，当，即时，
抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，则纵坐标之差为依题意，解得：；
②当，即时，
∵，即，依题意，，
解得：或（舍去），综上所述，或；
（4）解：如图所示，∵在轴的上方，∴∴
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴∵,
①当是的中点，如图所示则，
∴代入，即，
解得：（舍去）或；
②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，∴，解得：，
③如图所示， 设，则，
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴即
∴， ∴，∴，
∵关于对称，∴，解得：，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，∴，
∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，∴，
连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，
∵的周长为，，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）由已知点，，，设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，∵，∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式 得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，∴，
∵P，D都在第一象限，∴
，∴当时，此时P点为. ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
20．（2023年安徽中考数学真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)（ⅰ）；（2）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，解得：，∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，∵，∴解得：，∴直线，
如图所示，依题意，，，，
∴，，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，∴，
当时，，∴，∴，解得：，
当时，，∴，∴，
解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．①当时，求的长；②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为，得，解得，
将代入抛物线可得，抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，解得，，，，
设的解析式为，将，代入，
得，解得，的解析式为，
设，则，设的解析式为，将，代入，
得，解得，的解析式为，
联立方程，解得，根据，得，
解得，，经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，在轴正半轴，
，即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
，，，设，则，
，，，
，，，
，即点D的横坐标为，，
设的解析式为，将，，
代入得，解得，
的解析式为，，即，
，四边形是矩形，，
，即，
将代入，得，
解得，（舍去），．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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