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(总课时45)§6.1 平行四边形的性质（1）
【学习目标】探索平行四边形有关概念和性质，掌握平行四边形的性质，并能简单应用.
【学习重难点】平行四边形性质的探索及应用.
【导学过程】
一.情景引入
观察下列图片，有没有你熟悉的图形？你还能举出生活中这样的实例吗？
二.探究新知
知识点一：平行四边形的定义及相关知识
1.定义：（如图1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.记作：□ABCD；3.读作：平行四边形ABCD；
4.（符号语言）：∵AB//CD,AD//BC,∴四边形ABCD是__________.
反之：∵四边形ABCD是平行四边形，∴________________.
5.∠A与∠C，∠B与∠D是对角，AB与CD，AD与BC是对边.
知识点二：平行四边形的性质
做一做，你有什么发现？
（1）在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形重合在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH
重合吗？
归纳结论1：平行四边形是___________图形，两条对角线的交点是____________；
（2）通过旋转还可以得出平行四边形的对边和对角的关系吗？
归纳结论2：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
已知：如图3，□ABCD
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB___CD，AD___CB(____________)∴∠1___∠2，∠3___∠4，
∵AC=CA,∴______≌______,∴AB___CD，BC___DA,______,∠1+∠4=_________,即：_________.
符号语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
三.典例与练习
例1.已知:如图4，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，（__________________）
AB//CD，（__________________）∴∠BAE=______
又∵AE=CF，∴△BAE___△DCF，∴BE=DF
练习1.如图5,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.
求证:AE=CF.
例2.已知，如图6，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E,
∠ADC的平分线交AB于点F,求证:BF=DE
练习2.如图7，在□ABCD中
（1）若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______.
（2）若∠A+∠C=200 ，则∠A=______，∠B=___.
（3）连接AC,若∠D=80 ,∠DAC=40 则,∠B=______，∠BAC=______,
四.课堂小结
(1)平行四边形定义：_____________________的四边形是平行四边形.
(2)平行四边形的性质：
定理1：平行四边形的两组对边分别_________.定理2：平行四边形的对角______．
定理3.平行四边形是______对称图形，对称______是两条对角线的______.
五.分层过关
1.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1
3.平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.□ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=___.
5.□ABCD中，周长为48cm，AB：BC=3：5，AD=___,CD=___
6.在□ABCD中，∠B=70°，则∠A=___，∠C=___，∠D=___
7.如图8，在□ABCD中，对角线AC与AB垂直，∠B=72°，BC=，AC=
（1）求∠BCD，∠D的度数．（2）求AB的长及□ABCD的周长．
8.如图9，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长
与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
9.如图10，等边△ABC的边长为10，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥AC，PF∥BC，则PD+PE+PF的值为______.
C
B
A
D
图1
图2
A
C
D
B
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
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(总课时45)§6.1 平行四边形的性质（1）
一.选择题：
1.在□ABCD中，如果∠A=65 ，那么∠C的度数是（ ）
A．115 B．65 C．25 D．35
2.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，则它的周长为( )
A．8 B．10 C．14 D．16
3.已知平行四边形ABCD中，∠B=4 ∠A，则∠C= （ ）
A．18° B．72° C．36° D．144°
4.如图1，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．5
5.如图2，在 ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝6，点A的坐标为（﹣2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，） B．（3，2） C．（6，2） D．（6，3）
二.填空题：
6.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______；
7.如图3平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=50°时，∠EAF的度数是______．
8.如图4， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为______．
9.在ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．
10.如图5， ABCD中，∠ADC＝119°,BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝____．
三.解答题：
11.如图6，在 ABCD中，，将 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，求折痕AE的长．
12.如图7所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
13.如图8，在□ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长；
14.如图9，在 ABCD中，AB＝AE．（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
图1
图5
图4
图3
图2
图6
图7
图8
图9
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(总课时45)§6.1 平行四边形的性质（1）
一.选择题：
1.在□ABCD中，如果∠A=65 ，那么∠C的度数是（ B ）
A．115 B．65 C．25 D．35
2.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，则它的周长为( D )
A．8 B．10 C．14 D．16
3.已知平行四边形ABCD中，∠B=4 ∠A，则∠C= （ C ）
A．18° B．72° C．36° D．144°
4.如图1，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（C）
A．5 B．6 C．4 D．5
5.如图2，在 ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝6，点A的坐标为（﹣2，0），则点C的坐标为（C）
A．（6，） B．（3，2） C．（6，2） D．（6，3）
二.填空题：
6.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=45°，∠C=135°；
7.如图3平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=50°时，∠EAF的度数是50°．
8.如图4， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为2．
9.在ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=_6_cm，BC=_9_cm．
10.如图5， ABCD中，∠ADC＝119°,BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝61°．
三.解答题：
11.如图6，在 ABCD中，，将 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，求折痕AE的长．
解：四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=4
∵翻折后点B恰好与点C重合∴AE⊥BC，BE=CE=0.5BC=2
在Rt△ABE中，由勾股定理得
12.如图7所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直
的小路．
证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
13.如图8，在□ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长；
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．
∵AB∥DC，∴∠1=∠3，
又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，
∴DF=BF-DC=10-6=4；
14.如图9，在 ABCD中，AB＝AE．（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴AC＝ED．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°．∴∠ACD＝∠BAC＝85°．
图1
图5
图4
图3
图2
图6
图7
图8
图9
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(总课时45)§6.1 平行四边形的性质（1）
【学习目标】探索平行四边形有关概念和性质，掌握平行四边形的性质，并能简单应用.
【学习重难点】平行四边形性质的探索及应用.
【导学过程】
一.情景引入
观察下列图片，有没有你熟悉的图形？你还能举出生活中这样的实例吗？
二.探究新知
知识点一：平行四边形的定义及相关知识
1.定义：（如图1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.记作：□ABCD；3.读作：平行四边形ABCD；
4.（符号语言）：∵AB//CD,AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
反之：∵四边形ABCD是平行四边形，∴.
5.∠A与∠C，∠B与∠D是对角，AB与CD，AD与BC是对边.
知识点二：平行四边形的性质
做一做，你有什么发现？
（1）在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，如图2，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形重合在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？
归纳结论1：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）通过旋转还可以得出平行四边形的对边和对角的关系吗？
归纳结论2：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
已知：如图3，□ABCD
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//CB(平行四边形定义)∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD，BC=DA,∠B=∠D,∠1+∠4=∠2+∠3,即：∠A=∠C.
符号语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
三.典例与练习
例1.已知:如图4，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，（平行四边形对边相等）
AB//CD，（平行四边形对边平行）∴∠BAE=∠DCF
又∵AE=CF，∴△BAE≌△DCF，∴BE=DF
练习1.如图5,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.
求证:AE=CF.
证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，∴△BAE≌△DCF，∴AE=CF
例2.已知，如图6，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E,
∠ADC的平分线交AB于点F,求证:BF=DE
证明：∵ABCD是平行四边形∴∠ADC=∠ABC，AB∥CD∴∠CDF=∠AFD
∵∠ABC平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F
∴∠CDF=1/2∠ADC，∠ABE=1/2∠ABC∴∠CDF=∠ABE
∴∠AFD=∠ABE∴DF∥BE∵DE∥BF
∴BEDF是平行四边形∴BF=DE.
练习2.如图7，在□ABCD中
（1）若∠A=130°，则∠B=50°，∠C=130°，∠D=50°.
（2）若∠A+∠C=200 ，则∠A=100 ，∠B=80 .
（3）连接AC,若∠D=80 ,∠DAC=40 则,∠B=80 ，∠BAC=60 ,
四.课堂小结
(1)平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)平行四边形的性质：
定理1：平行四边形的两组对边分别平行且相等.定理2：平行四边形的对角相等．
定理3.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
五.分层过关
1.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（ C ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ D ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1
3.平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（B ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.□ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=5.
5.□ABCD中，周长为48cm，AB：BC=3：5，AD=9,CD=15
6.在□ABCD中，∠B=70°，则∠A=110°，∠C=110°，∠D=70°
7.如图8，在□ABCD中，对角线AC与AB垂直，∠B=72°，BC=，AC=
（1）求∠BCD，∠D的度数．（2）求AB的长及□ABCD的周长．
解：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BCD+∠B=180°．
∵∠B=72°，∴∠BCD=180°－72°=108°．
又∵∠B=∠D，∴∠D=72°．
在Rt△ABC中，∵BC=，AC=，
∴AB===2．
∴平行四边形ABCD的周长为
2（AB+BC）=2(2+)=．
8.如图9，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长
与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
证明：如图9，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，∴BC=CE．
9.如图10，等边△ABC的边长为10，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥AC，PF∥BC，则PD+PE+PF的值为10
C
B
A
D
图1
图2
A
C
D
B
图3
图4
图5
图6
另外：也可用平行线，角平分线就可能得等腰三角形的方法证明.
图7
图8
图9
图10
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