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(总课时46)§6.1 平行四边形的性质（2）
【学习目标】理解平行四边形的对角线互相平分，会用平行四边形的性质解决简单的计算和说理问题.
【学习重难点】灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行四边形都有哪些性质？按边、角、对角线进行说明.
(1)平行四边形对边平行且相等(2)平行四边形对角相等，邻角互补.
(3)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
2.性质应用.
（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ C）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四边形ABCD的周长为20cm，三角形ABC的周长为15cm, 则对角线AC长为（A ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则成中心对称的三角形的对数有4对.
二.探究新知
知识点一：平行四边形的对角线的性质
问题1.故事:一位饱经苍桑的老人，一生辛勤劳动，到了晚年，他已经拥有一块近似平行四边形的土地.他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的如图1：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少.
同学们：你们认为老人这样分地合理吗？
是否合理关键看平行四边形的对角线有什么性质.
问题2.已知：如图2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：如图2,∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC（平行四边形对边平行且相等）
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∴△AOD≌△COB.（ASA）∴OA=OC，OB=OD.
平行四边形的性质：平行四边形对角线互相平分.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=0.5AC，OB=OD=0.5BD.
问题3.老者分地问题揭密：如图1，由△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，所以老大和老三的面积相等，老二和老四的面积相等，又因为老大和老四他们的三角形的面积是等底（BO=OD）同高，所以面积也相等.
因此弟兄四人所分得的土地面积一样，老人分得合情合理.
结论1：对角线把平行四边形分成面积相等的三角形有四个.
知识点二：性质的应用
引例.如图3，直线BD将□ABCD分成全等的两部分，这样的直线还有很多.
(1)多画几条这样的直线，看看它们有什么特征；（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现.
解：(1)它们的共同特点是：都经过□ABCD的中心，即对角线的交点；
（2）中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分.
结论2：过平行四边形中心的任意一条直线把这个平行四边形分为两个全等的部分.
三.典例与练习
例1.在□ABCD中，AC与BD交于点O,OA=12cm,OB=19cm,则AC=24cm,BD=38cm.
练习1：在□ABCD中，AC与BD交于点O,AC=24cm,BD=38cm，AD=28cm则△OBC的周长为59cm,
练习2：在□ABCD中，AC与BD交于点O,AB=20cm,AD=28cm，则△AOD和△ABO的周长差8cm,
例2.已知如图4，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC,（平行四边形的定义）
OA=OC.（平行四边形的对角线互相平分）∴∠ACB=∠CAD.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.（ASA）∴OE=OF.
练习3.在□ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（ C ）．
A．AD>1 B．1
9
例3.如图5，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=900，OA=6，OB=3．求AD和AC的长度．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=6，OB=OD=3．∴AC=12．
∵∠ADB=900，∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得
OA2=OD2+AD2，∴AD=．
练习4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，则AD=5，BC=5，DC=5，AC=6，BD=8.
四.课堂小结
1.平行四边形的性质：
(1)平行四边形对边平行且相等.(2)平行四边形对角相等.(3)平行四边形对角线互相平分
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心.
2.重要结论：
（5）对角线把平行四边形分成面积相等的三角形有四个.
（6）过平行四边形中心的任意一条直线把这个平行四边形分为两个全等的部分.
五.分层过关
1.平行四边形一定具有的性质是 C
A．邻边相等 B．邻角相等 C．对角相等 D．对角线相等
2.如图6，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BO的长为(A)
A．5 B．8 C．10 D．11
3.如图7，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为( A)
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
4.如图8，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(B )
A.7 B.10 C.11 D.12
5.如图9，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=cm．
6.如图10,在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，求△AOD的周长.
解：如图10所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=6cm,
∵△AOB的周长是18cm，AB=8cm，∴AB+OA+OB=18cm,∴OA+OB=10
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=OA+OB+AD=10+6=16
7.如图11，在□ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE=OF；（2）若S□ABCD=63，OE=3.5，求AD的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE=OF；
（2）∵OE=OF，OE=3.5，∴EF=2OE=7，
又∵EF⊥AD，∴S□ABCD=AD×EF=63,∴AD=9．
图1
图2
图3
O
图4
图5
图8
图9
图7
图6
图10
图11
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(总课时46)§6.1 平行四边形的性质（2）
一.选择题：
1.如图1，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠BAC=90，AC=4，BD=8，则CD的长为（ A ）
A B C D
2.平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ B ）
A．8cm 和 16cm B．10cm 和 16cm C．8cm 和 14cm D．8cm 和 12cm
3.如图2，□ABCD的对角线交于点O，且AB＝8，△OCD的周长为20，则□ABCD的两条对角线的和是（ C ）
A．40 B．28 C．24 D．12
4.如图3，点O是□ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABEF和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为（ C ）
A．S1>S2 B．S15.如图4，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60，AB=0.5BC，连接OE，下列结论①∠CAD=30；②OD=AB；③S□ABCD=AC×CD；④SOECD=1.5S△AOD；其中成立的个数是（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6.已知点O是□ABCD对角线的交点,则图4中关于点O对称的三角形有4对；
7.如图5，□ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是2a．
8.如图6，已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AC=8，∠BOC=120，则BD的长是16．
9.如图7，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为2．
三.解答题：
10.如图8，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，过O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点，求证：BE=DF．
证：□ABCD中DO=BO，AB//CD，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，∠DOF=∠BOE，
在△DOF与△BOE中
∴△DOF≌△BOE，∴BE=DF．
11.如图9，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为BO，DO的中点，∴EO＝FO，
∵在△AFO和△CEO中 ，∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴∠AFO＝∠CEO，∴AF∥EC．
12.如图10.1，在□ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，BE=2-2；
（2）如图10.2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，
CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
解：（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，
在 ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2，∴AH=BH=2，
∵AE=4，∴EH==2，∴BE=BH-EH=2-2；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．
图4
图2
图1
图7
图6
图5
图4
图8
图9
图10
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(总课时46)§6.1 平行四边形的性质（2）
一.选择题：
1.如图1，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠BAC=90，AC=4，BD=8，则CD的长为（ ）
A B C D
2.平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．8cm 和 16cm B．10cm 和 16cm C．8cm 和 14cm D．8cm 和 12cm
3.如图2，□ABCD的对角线交于点O，且AB＝8，△OCD的周长为20，则□ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．40 B．28 C．24 D．12
4.如图3，点O是□ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABEF和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为（ ）
A．S1>S2 B．S15.如图4，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60，AB=0.5BC，连接OE，下列结论①∠CAD=30；②OD=AB；③S□ABCD=AC×CD；④SOECD=1.5S△AOD；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6.已知点O是□ABCD对角线的交点,则图4中关于点O对称的三角形有___对；
7.如图5，□ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是______．
8.如图6，已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AC=8，∠BOC=120，则BD的长是___．
9.如图7，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为______．
三.解答题：
10.如图8，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，过O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点，求证：BE=DF．
11.如图9，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE．
12.如图10.1，在□ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，BE=______；
（2）如图10.2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
图4
图2
图1
图7
图6
图5
图4
图8
图9
图10
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(总课时46)§6.1 平行四边形的性质（2）
【学习目标】理解平行四边形的对角线互相平分，会用平行四边形的性质解决简单的计算和说理问题.
【学习重难点】灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行四边形都有哪些性质？按边、角、对角线进行说明.
(1)平行四边形对边__________，(2)平行四边形对角_______，邻角_______.
(3)平行四边形是______________图形，_____________________是对称中心.
2.性质应用.
（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四边形ABCD的周长为20cm，三角形ABC的周长为15cm, 则对角线AC长为（ ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则成中心对称的三角形的对数有____对.
二.探究新知
知识点一：平行四边形的对角线的性质
问题1.故事:一位饱经苍桑的老人，一生辛勤劳动，到了晚年，他已经拥有一块近似平行四边形的土地.他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的如图1：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少.
同学们：你们认为老人这样分地合理吗？
是否合理关键看平行四边形的对角线有什么性质.
问题2.已知：如图2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：如图1,∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC（_____________________）
∴∠ADO=______，∠DAO=______，∴△AOD≌______.（______）∴OA=OC，OB=OD.
平行四边形的性质：_____________________.
几何语言：∵_____________________，∴____________________________.
问题3.老者分地问题揭密：如图1，由△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，所以老大和老三的面积相等，老二和老四的面积相等，又因为老大和老四他们的三角形的面积是等底（BO=OD）同高，所以面积也相等.
因此弟兄四人所分得的土地面积一样，老人分得合情合理.
结论1：对角线把平行四边形分成面积相等的三角形有______个.
知识点二：性质的应用
引例.如图3，直线BD将□ABCD分成全等的两部分，这样的直线还有很多.
(1)多画几条这样的直线，看看它们有什么特征；（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现.
解：(1)它们的共同特点是：___________________________________；
（2）中心对称图形中，过_______的任意一条直线把图形分为_______的两部分.
结论2：过平行四边形_______的任意一条直线把这个平行四边形分为_______的部分.
三.典例与练习
例1.在□ABCD中，AC与BD交于点O,OA=12cm,OB=19cm,则AC=_____cm,BD=____cm.
练习1：在□ABCD中，AC与BD交于点O,AC=24cm,BD=38cm，AD=28cm则△OBC的周长为_____cm,
练习2：在□ABCD中，AC与BD交于点O,AB=20cm,AD=28cm，则△AOD和△ABO的周长差____cm,
例2.已知如图4，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC,（______________）
OA=OC.（____________________________）∴∠ACB=_______.
又∵∠AOE=_______,∴△AOE≌_______.（______）∴OE=OF.
练习3.在□ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（ ）．
A．AD>1 B．19
例3.如图5，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=900，OA=6，OB=3．求AD和AC的长度．
练习4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，则AD=___，BC=_____，DC=___，AC=___，BD=___.
四.课堂小结
1.平行四边形的性质：
(1)平行四边形对边_________.(2)平行四边形对角___.(3)平行四边形对角线_________.
(4)平行四边形是_________图形，_________是对称中心.
2.重要结论：
（5）对角线把平行四边形分成面积相等的三角形有___个.
（6）过平行四边形______的任意一条直线把这个平行四边形分为______的部分.
五.分层过关
1.平行四边形一定具有的性质是
A．邻边相等 B．邻角相等 C．对角相等 D．对角线相等
2.如图6，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BO的长为( )
A．5 B．8 C．10 D．11
3.如图7，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为( )
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
4.如图8，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A.7 B.10 C.11 D.12
5.如图9，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=______cm．
6.如图10,在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，求△AOD的周长.
7.如图11，在□ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE=OF；（2）若S□ABCD=63，OE=3.5，求AD的长．
图1
图2
图3
图4
图5
图8
图9
图7
图6
图10
图11
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