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(总课时48)§6.2 平行四边形的判定(2)
【学习目标】理解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，并学会简单运用．
【学习重难点】灵活运用平行四边形的判定和性质进行推理和计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1，在□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm，
则AD的长为( D)A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm[]
2.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二.探究新知
2.证明.已知：如图3，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB（SAS）
∴∠ADO=∠CBO，∴AD//BC.同理AB//CD；
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）.
3.结论：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：在四边形ABCD中，∵OA＝OC，OB=OD（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
三.典例与练习
例1.已知：如图4，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
证明:连接BD，交AC与点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF．即OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
练习1.判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据．
例2.已知：如图6，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形
证明：∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AO=CO,OD=OB
∴∠DAN=∠BCM，∴△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，AO-AN=CO-CM,即：ON=OM,
∵OD=OB,∴四边形BMDN是平行四边形．
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
练习2.如图7，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线AC上的点.下列条件中，不能判定四边形BEDF是平行四边形的是（D）
A．DE//BF B．AE=CF C．∠BEO=∠DFO D．BE=DF
四.课堂小结
1.平行四边形的判定方法：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史.
五.分层过关
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥CD D.AB＝CD，AD＝BC
2.已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB=4cm，则BC的长为（ B ）．
A．4cm B．12cm C．16cm D．24cm
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不成立的是(A)
A．AB＝AC B．AB∥CD C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC
4.如图8，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
下列结论不一定成立的是（D）A.AD=BC B．AB∥CD C．∠DAB=∠BCD D．∠DAB=∠ABC
5.如图9，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC，请你添加一个条件OB=OD，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
6.如图10，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC的周长是42．
7.如图11，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是①②④⑤⑥．
8.如图12，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，且OE＝OF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
解∵AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，
在△AEO和△CFO中，
，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OA＝OC．同理：△BEO≌△DFO（AAS），∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
9.如图13.已知△ABC，∠C＝90°，AD＝EC，AC＝BE，BD交AE于点O，则∠BOE＝45°．
解：如图，过点B作BF⊥BC，且使得BF＝EC，连接AF，FE，则∠EBF＝∠C＝90°，
在△AEC和△EFB中，
，∴△AEC≌△EFB（SAS），∴AE＝EF，∠EAC＝∠FEB，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∴∠FEB+∠AEC＝90°，∴∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∵BF＝EC，AD＝EC，∴BF＝AD，
∵∠FBE+∠C＝90°+90°＝180°，∴BF∥AC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴BD∥AF，
∴∠BOE＝∠EAF＝45°，故答案为：45°．
图1
1.猜想
如图2，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD看起来是平行四边形.我猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图2
图3
OA=OC
对顶角相等
∠AOD=∠COB
OB=OD
图4
图5.1是平行四边形.
理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图5.2是平行四边形.
理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
图5.1
图5.2
图6
O
图7
图9
图10
图11
图8
图12
图13
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(总课时48)§6.2 平行四边形的判定(2)
【学习目标】理解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，并学会简单运用．
【学习重难点】灵活运用平行四边形的判定和性质进行推理和计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1，在□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm，
则AD的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm[]
2.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________________________.
二.探究新知
2.证明.已知：如图3，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵在△AOD和△COB中
∴______≌______（______）
∴∠ADO=______，∴AD//_____.同理AB//_____；
∴四边形ABCD是平行四边形（____________）.
3.结论：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：在四边形ABCD中，∵______，______（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（____________________________________）
三.典例与练习
例1.已知：如图4，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
练习1.判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据．
例2.已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．
求证：四边形BMDN是平行四边形
练习2.如图7，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线AC上的点.下列条件中，不能判定四边形BEDF是平行四边形的是（ ）
A．DE//BF B．AE=CF C．∠BEO=∠DFO D．BE=DF
四.课堂小结
1.平行四边形的判定方法：
(1)定义：__________________的四边形是平行四边形.
(2)__________________的四边形是平行四边形.
(3)__________________的四边形是平行四边形.
(4)____________的四边形是平行四边形.
2.数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史.
五.分层过关
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥CD D.AB＝CD，AD＝BC
2.已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB=4cm，则BC的长为（ ）．
A．4cm B．12cm C．16cm D．24cm
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不成立的是( )
A．AB＝AC B．AB∥CD C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC
4.如图8，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不一定成立的是（ ）A.AD=BC B．AB∥CD C．∠DAB=∠BCD D．∠DAB=∠ABC
5.如图9，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC，请你添加一个条件______，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
6.如图10，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC的周长是____．
7.如图11，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是____________．
8.如图12，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，且OE＝OF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
9.如图13.已知△ABC，∠C＝90°，AD＝EC，AC＝BE，BD交AE于点O，则∠BOE＝______．
图1
1.猜想
如图2，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD看起来是平行四边形.我猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图2
图3
图4
图5.1____________.
理由：____________________________________.
图5.2____________.
理由：____________________________________.
图5.1
图5.2
图6
O
图7
图10
图9
图11
图8
图12
图13
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(总课时48)§6.2 平行四边形的判定(2)
一.选择题:
1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对角相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边相等 D．两条对角线互相垂直
2．下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD,AD=BC B．∠B=∠C, ∠A=∠D C．AB=AD,CB=CD D．AB=CD,AD=BC
3．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm．动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动．Q以2cm/s的速度由C向B运动，( )s时四边形ABQP为平行四边形．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图2，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6．如图3，将△ABC沿直线AC平移得到△DEF，其中，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，点C和点F是对应点．如果AC=6，DC=2，那么线段BE的长是________．
7．如图4，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=0.5AC，连接CE、OE，若AD=DC=3，则OE的长为________．
8．如图5，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为__________秒．
9．如图6所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24cm，BD＝18cm．则六边形ABCDEF的面积是______.
10．如图7，在△ABC中，AC=5,∠B=30°，点P,Q分别是边AB,AC上的点，BP=2AQ,PD⊥BC于点D．当PQ⊥DQ时，AQ=________．
三.解答题：
11．已知：如图8，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
12．如图9，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F,∠C=∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
13.如图10，在□ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．（1）求证：DE=BF；（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．
图2
图1
图3
图4
图7
图6
图5
图8
图9
图10
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(总课时48)§6.2 平行四边形的判定(2)
一.选择题
1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对角相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边相等 D．两条对角线互相垂直
解A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D. 对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误.故选B.
2．下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD,AD=BC B．∠B=∠C, ∠A=∠D C．AB=AD,CB=CD D．AB=CD,AD=BC
解：A、∵AB∥CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或梯形；故本选项错误；
B、由∠B=∠C，∠A=∠D，不能四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；
C、由AB=AD，CB=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形； 故本选项错误；
D、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项正确．
故选：D．
3．如图1，在四边形中，，且，．动点P，Q分别从A，C同时出发，P以的速度由A向D运动．Q以的速度由C向B运动，______s时四边形为平行四边形．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
解：∵运动时间为x秒，
∴AP=x，QC=2x，∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴x=6-2x，
∴x=2．
答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故选：C．
4．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图2，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故选C．
二.填空题：
6．如图3，将三角形沿直线平移得到三角形，其中，点和点是对应点，点和点是对应点，点和点是对应点．如果，，那么线段的长是________．
解：由沿直线平移得到，可知：
，，，，
∴四边形，四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
故答案为4．
7．如图4，的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，若，则的长为______________．
解：在中，
∵ ∴
又∵DE∥AC
∴DE∥AO
∴DE∥AO且DE=AO
∴四边形ADEO是平行四边形
∴OE=AD=3
故答案为3
8．如图5，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为__________秒．
解：设运动时间为t秒，如图，
则CP=12-3t，BQ=t，
四边形PQBC为平行四边形
12-3t=t，
解得：t=3，
故答案为
9．如图6所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD BD=24×18=432，故答案为432.
10．如图7，在中，，点分别是边上的点，于点．当时，________．
解：设，
，，，
中，，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，，
又，
，
，
即，
解得，
，
故答案为：4．
三.解答题：
11．已知：如图8，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O,
∵AE＝DF，AE∥DF,
∴四边形AEDF为平行四边形;
∴EO＝FO，AO＝DO;
又∵AB＝CD,
∴AO﹣AB＝DO﹣CD;
∴BO＝CO;
又∵EO＝FO,
∴四边形EBFC是平行四边形.
12．如图9，点、分别在、上，分别交、于点、，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，连接，若平分，求的长．
解（1）∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
13．如图10，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
（1）求证：DE=BF；
（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DE=BF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且AD=BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
即AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴四边形MFNE是平行四边形．
图1
图2
图3
图3
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
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