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(总课时49)§6.2 平行四边形的判定(3)
【学习目标】了解平行线之间的距离并会运用；综合运用平行四边形的判定方法解决问题.
【学习重难点】灵活平行四边形的判定方法解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行四边形的性质与判定
2.①点到点的距离是指点与点之间线段的长度；②点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度；
二.探究新知
1.引入：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗？
2.平行线之间的距离：
已知，如图1，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂直分别C，点D.
求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠1=∠2=90°∴AC∥BD.
∵AB∥CD.∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴AC=BD.（平行四边形对边相等）
小结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
3.想一想
观察一组图片，结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
4.做一做
如图2，根据要求以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形.
三.典例与练习
例1.如图3,在平行四边形ABCD中,点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.
求证：四边形MENF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB(平行四边形的定义)
∴∠MDF=∠NBE；又∵DM=BN,DF=BE,∴△MDF≌△NBE(SAS)
∴MF=EN,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥EN,
∴四边形MENF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
练习1如图4：平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过D作BE的
平行线交BC于点F，求∠CDF的度数.
解：在平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，
∴∠ADC=∠ABC=70°(平行四边形对角相等).
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=35°∵BE//DF，ED∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF=35°(平行四边形的对角相等).
∵∠CDF+∠EDF=∠ADC，∴∠CDF=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°.
例2.如图5，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE=3cm，那么AB，CD间的距离是6cm.
练习2.如图6，直线AD∥BC，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若△ABC，△DBC的面积分别为S1，S2,则有（ C ）A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.无法确定.
四.课堂小结
1.两平行线间的距离处处相等.
2.夹在平行线间的平行线段一定相等.
3.距离
（1）点与点间的距离：点与点之间线段的长度
（2）点与线间的距离：点到直线的垂线段的长度
（3）平行线间的距离：一条直线上任意一点到另一条直线的距离
五.分层过关
1.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，点M到直线b的距离是2cm，那么直线a、直线b之间的距离是（ C ）
A.2cm B.6cm C.2cm或6cm D. 4cm
2.如图7，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法中错误的是(C)
A．CE∥FG B．A，B两点间的距离就是线段AB的长
C.CE＝FG． D．直线a，b间的距离就是线段CD的长
3.如图8，在 ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形的个数是(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
4.若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( C )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.如图9,直线a∥b,图中线段EF长度表示直线a,b之间的距离.
6.如图10，将 ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AB上．
(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ABFE的周长．
解：(1)证明：∵将 ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，
∴EF＝ED，∠CFE＝∠D.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴AE∥BF，∠B＝∠CFE，∴AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形．
(2)∵四边形ABFE为平行四边形，∴EF＝AB＝4.
∵EF＝ED，∴ED＝4，∴BF＝AE＝6－4＝2，
∴四边形ABFE的周长＝AB＋BF＋EF＋AE＝12.
7.如图11所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是______．
解：如图，和关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，，
同理：
PQ=OA=12，
作DK∥AC，使得DK=PQ=12，连接BK交AC于Q，
则四边形为平行四边形， 此时DP+BQ=KQ+BQ=BK的值最小，
EMBED Equation.DSMT4
是等边三角形，
∴DP+BQ的最小值为12．故答案为：12．
性 质
判 定
①平行四边形两组对边分别平行
②平行四边形两组对边分别相等
③平行四边形两组对角分别相等
④平行四边形对角线互相平分
①两组对边分别平行的四边形是∽
②两组对边分别相等的四边形是∽
③一组对边平行且相等的四边形是∽
④对角线互相平分的四边形是∽
夹在两根平行铁轨之间的平行枕木一样长.因为两根铁轨平行，每两根枕木平行，两根铁轨与两根枕木构成了平行四边形，根据平行四边形对边相等，所以平行枕木一样长.
图1
由夹在两条平行线间的平行线段，可知构成平行四边形;由平行四边形性质平行四边形的对边相等，可以得：
夹在平行线间的平行线段一定相等.
注：两平行线间的距离处处相等.
马路隔离栏
围墙栏杆
2(1)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
图2
2（1）
2（2）
图3
图6
图5
图7
图9
图8
图10
图11
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(总课时49)§6.2 平行四边形的判定(3)
【学习目标】了解平行线之间的距离并会运用；综合运用平行四边形的判定方法解决问题.
【学习重难点】灵活平行四边形的判定方法解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行四边形的性质与判定
2.①点到点的距离是指点与点之间线段的____；②点到直线的距离是指点到直线的垂线段的____；
二.探究新知
1.引入：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗？
2.平行线之间的距离：
已知，如图1，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂直分别C，点D.
求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠1=∠2=90°∴AC∥____.
∵AB∥____.∴四边形ACDB是________（________________）.
∴AC=BD.（________________）
小结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
3.想一想
观察一组图片，结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
4.做一做
如图2，根据要求以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形.
三.典例与练习
例1.如图3,在平行四边形ABCD中,点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.
求证：四边形MENF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥___(_______________)
∴∠MDF=______；又∵DM=BN,DF=BE,∴△MDF≌______(______)
∴MF=___,∠MFD=______,∴∠MFE=______,∴MF∥______,
∴四边形MENF是平行四边形.(_______________________________________)
练习1如图4：平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过D作BE的
平行线交BC于点F，求∠CDF的度数.
例2.如图5，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE=3cm，那么AB，CD间的距离是____cm.
练习2.如图6，直线AD∥BC，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若△ABC，△DBC的面积分别为S1，S2,则有（ ）A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.无法确定.
四.课堂小结
1.两平行线间的距离________.
2.夹在平行线间的平行线段________.
3.距离
（1）点与点间的距离：________________________.
（2）点与线间的距离：________________________.
（3）平行线间的距离：____________________________________________.
五.分层过关
1.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，点M到直线b的距离是2cm，那么直线a、直线b之间的距离是（ ）
A.2cm B.6cm C.2cm或6cm D. 4cm
2.如图7，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法中错误的是( )
A．CE∥FG B．A，B两点间的距离就是线段AB的长
C.CE＝FG． D．直线a，b间的距离就是线段CD的长
3.如图8，在 ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4.若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.如图9,直线a∥b,图中线段________长度表示直线a,b之间的距离.
6.如图10，将 ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AB上．
(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ABFE的周长．
7.如图11所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是______．
性 质
判 定
①平行四边形两组对边________
②平行四边形两组对边________
③平行四边形两组对角________
④平行四边形对角线________
①两组对边________的四边形是∽
②两组对边________的四边形是∽
③一组对边__________的四边形是∽
④对角线________的四边形是∽
夹在两根平行铁轨之间的平行枕木一样长.因为两根铁轨平行，每两根枕木平行，两根铁轨与两根枕木构成了_________，根据平行四边形________，所以平行枕木一样长.
图1
由夹在两条平行线间的平行线段，可知构成____________;由平行四边形性质________________，可以得：
夹在平行线间的平行线段一定相等.
注：两平行线间的距离处处相等.
马路隔离栏
围墙栏杆
2(1)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
图2
2（1）
2（2）
图3
图6
图5
图7
图9
图8
图10
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(总课时49)§6.2 平行四边形的判定(3)
一.选择题：
1.如图1,已知四边形ABCD的面积为8cm2,AB∥CD,AB=CD,E是AB的中点,那么△AEC的面积是(C)
A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2
2.如图2所示,直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,D为直线m上两点,BC与AD交于点O,则图中面积相等的三角形有(C) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.在 ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(D)
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4.如图3，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S ABCD=（ D ）A．24 B．36 C．40 D．48
5.如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的 是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
解∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACD=∠BAC，∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，∴BF=AB，∴BF∥CD，CD=BF，∴四边形BCDF为平行四边形，②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，∴DF∥BC，又∠ACB=90°，∴AC⊥DF，①正确；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC＞AB∴DA+DF＞BE，③错误；
设AC=x，则AB=2x，S△ACD= ，④错误，
故选：A．
二.填空题：
6.如图5，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是6．
7.如图6，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的面积是24．
8.若平行四边形的两邻边长分别为16和20，两长边之间的距离为8，则两短边之间的距离为10．
9.如图7，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，则△C′DC的面积为18．
三.解答题：
10.如图8，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：（1）OE＝OF；（2）四边形GEHF是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD
∴∠DAC＝∠BCA，且OA＝OC，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF
（2）∵OB＝OD，G、H分别是OB、OD的中点
∴GO＝OH，且OE＝OF∴四边形GEHF是平行四边形．
11.已知：如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
12.如图10，在平面直角坐标系中，直线AB与直线BC相交于点B(-2,2），直线AB与y轴相交于点A(0,4)，直线BC与x轴、y轴分别相交于点D(-1,0)、点C．
（1）直线AB的解析式是_________________；
（2）过点A作BC的平行线交x轴于点E，点E的坐标(_________)；
（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，如果
以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC，请求出点P的坐标，
并直接写出点Q的坐标．
解：（1）设直线AB过点A(0，4)，，可设解析式
所以：，解得：所以，直线AB的解析式
（2）设直线BC的解析式为
因为B（-2，2），D（-1，0）所以 可得
直线BC的解析式为，则过点A且平行于直线BC的解析式为
则E（2，0）
（3）因为：直线BC为：，所以：，
又因为：，所以：，所以以D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积是6．如图，由，
因为：，，所以：把代入AB的解析式：，
所以：，所以．因为： ，
所以由平行四边形的性质与点的平移可得：
所以：P(-2，2)，
图4
图3
图2
图1
图6
图5
图7
图8
图9
图10
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(总课时49)§6.2 平行四边形的判定(3)
一.选择题：
1.如图1,已知四边形ABCD的面积为8cm2,AB∥CD,AB=CD,E是AB的中点,那么△AEC的面积是( )
A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2
2.如图2所示,直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,D为直线m上两点,BC与AD交于点O,则图中面积相等的三角形有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.在 ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4.如图3，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S ABCD=（ ）A．24 B．36 C．40 D．48
5.如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的 是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
二.填空题：
6.如图5，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是___．
7.如图6，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的面积是___．
8.若平行四边形的两邻边长分别为16和20，两长边之间的距离为8，则两短边之间的距离为___．
9.如图7，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，则△C′DC的面积为___．
三.解答题：
10.如图8，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：（1）OE＝OF；（2）四边形GEHF是平行四边形．
11.已知：如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．
12.如图10，在平面直角坐标系中，直线AB与直线BC相交于点B(-2,2），直线AB与y轴相交于点A(0,4)，直线BC与x轴、y轴分别相交于点D(-1,0)、点C．
（1）直线AB的解析式是_______________；
（2）过点A作BC的平行线交x轴于点E，点E的坐标(_________)；
（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，如果
以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC，请求出点P的坐标，
并直接写出点Q的坐标．
图4
图3
图2
图1
图6
图5
图7
图8
图9
图10
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