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(总课时50)§6.3 三角形的中位线
一.选择题：
1.若△ABC周长是12cm,则△ABC三条中位线围成的三角形的周长为 ( )
A. 24cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm
2.如图1，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3.如图2，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于D，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4.如图3，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则□ABCD的周长为( )
A．16 B．8 C．12 D．10
5.如图3，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二.填空题：
6.(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边__________叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线_______________第三边，并且等于______________.
7.在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为_____.
8.如图4，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.
若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为_____．
9.如图5，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，
连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是_____
10.如图6，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_____．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________．
三.解答题：
11.如图7,D,E,F分别是△ABC各边的中点,求证:AE与DF互相平分.
12.已知：如图8，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
13.如图9，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
图1
图3
图4
图2
图2
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时50)§6.3 三角形的中位线
【学习目标】掌握三角形中位线定理，并能应用定理解决有关问题．
【学习重难点】三角形中位线定理的运用.
【导学过程】
一.情境引入
问题：A、B两点被池塘隔开，如何测量AB之间的距离
在AB外选一点O，连结AO和BO，并分别延长到D，C并使得
AO=DO；BO=CO；利用三角形全等可知道AB=CD.测量CD即可.
思考：还有其他方法吗？
二.探究新知
探究（一）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
如图1.找三边中点连接即可.
三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.
因为D、E分别为AB、AC的中点,所以DE为△ABC的中位线.同理EF,DF也是.一个三角形有三条中位线.
注意：三角形中线和中位线的区别.请在同一三角形内画一画它们的中线和中位线.
探究（二）你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE的位置（如图2），
这样就得到了一个与△ABC面积相等的□DBCF．得到：BCDF=2DE
从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有
怎样的关系？能证明你的猜想吗？
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
已知：如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，DE=BC.
证明:如图3，延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中∵AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE∴△ADE≌△CFE∴∠A=∠ECF,AD=CF∴CF∥AB
∵BD=AD∴BD=CF∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=BC
结论：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
几何语言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC
作用：①证明平行问题.②证明一条线段是另一条线段的2倍或.
由中点想到（构造）---中线、中位线.
三.典例与练习
例1.A、B两点被池塘隔开，如何测量AB之间的距离
解：如图4在池塘外取一点O，连接OA,BO.取它们的中点C,D.CD
是三角形的中位线，CD平行且等于AB的一半.测量CD乘以2即可.
练习1.已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为12cm,面积为6cm2,为原三角形面积的24cm2.
例2.如图5,任意画一个四边形，顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论.
已知：如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图5，连接BD，则EH为△ABD中位线，∴EH∥BD，EH=0.5BD．
∵FG为△BCD中位线，∴FG∥BD，FG=0.5BD．EH∥FG，EH=FG．
∴四边形EFGH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
结论:顺次连结四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形.
练习2.如图6，已知△ABC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点.
(1)若∠AEF=60°，则∠B=60°；(2)若BC=8cm，则EF=4cm；
(3)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是9cm
图中有3个平行四边形.
例3.如图7，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，
使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于( B )
A．42° B．48° C．52° D．58°
练习3.如图8，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的
中位线，F在DE延长线上，EC＝EF，则线段DF的长为( B )
A．7 B．8 C．9 D．10
四.课堂小结
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．
2.三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半．
几何语言：∵点D、E分别是 ABC边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=0.5BC．
3.顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
五.分层过关
1.如图9，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( C )
A. B．3 C．6 D．9
2.如图10，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(A)
A．80° B．90° C．100° D．110°
3.如图11，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为
AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ B ）
A. B.10 C. D.12
4.如图12，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果EF=2，那么GH=2
5.如图13所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.
证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．
∴EP∥BD，EP＝0.5BD，∴∠PEF＝∠ONM，
同理可知PF为△ADC的中位线，∴FP∥AC，FP＝0.5AC，∴∠PFE＝∠OMN，
∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠ONM＝∠OMN.
7.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
小明的思路是:在图①中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.
问题:如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,则△AGD的形状是：直角三角形.
解:△AGD是直角三角形.
证明如下:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=0.5AB,∴∠1=∠3.
同理HE∥CD,HE=0.5CD,∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形.∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.
C
B
A
F
E
D
图1
图2
B C
A
D
E
F
图3
图4
图5
图6
图7
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图12
图11
图9
图10
图13
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(总课时50)§6.3 三角形的中位线
一.选择题：
1.若△ABC周长是12cm,则△ABC三条中位线围成的三角形的周长为 (B )
A. 24cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm
2.如图1，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是(D）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3.如图2，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于D，则的值为（ B ）
A．3 B． C．4 D．
4.如图3，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则□ABCD的周长为( B )
A．16 B．8 C．12 D．10
5.如图3，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ C ）
A．1 B． C． D．
解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，
当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，
∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
二.填空题：
6.(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
7.在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为14cm.
8.如图4，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为40°．
9.如图5，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是6.5
10.如图6，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为16．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__．
三.解答题：
11.如图7,D,E,F分别是△ABC各边的中点,求证:AE与DF互相平分.
解：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE∥AC，DE＝AF，EF∥AB，EF＝AD
∴四边形ADEF为平行四边形
故AE与DF互相平分.
12.已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
解：延长BE交AC于F，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵BE⊥AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，BE＝EF，
∵AB＝5，∴AF＝5，∵AC＝7，∴CF＝AC-AF＝7-5＝2，
∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝1.
13.如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
解：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，
证明如下：
在四边形ABCD中F，G，H，E，M，N分别是AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG＝AC，EH＝AC，∴FG∥EH，FG＝EH，∴四边形FGHE是平行四边形，
MG∥CD，EN∥CD；MG＝CD，EN＝CD，∴MG∥EN，MG＝EN ，∴四边形MGNE是平行四边形，
FM∥AD，NH∥AD；FM＝AD，NH＝AD，∴FM∥NH；FM＝NH，∴四边形FMHN是平行四边形，
∴最多可以有3个平行四边形.
图1
图3
图4
图2
图2
图5
图7
图6
图8
图9
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(总课时50)§6.3 三角形的中位线
【学习目标】掌握三角形中位线定理，并能应用定理解决有关问题．
【学习重难点】三角形中位线定理的运用.
【导学过程】
一.情境引入
问题：A、B两点被池塘隔开，如何测量AB之间的距离
在AB外选一点O，连结AO和BO，并分别延长到D，C并使得
AO=DO；BO=CO；利用三角形全等可知道AB=CD.测量CD即可.
思考：还有其他方法吗？
二.探究新知
探究（一）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
如图1.找三边中点连接即可.
三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.
因为D、E分别为AB、AC的中点,所以DE为△ABC的中位线.同理EF,DF也是.一个三角形有三条中位线.
注意：三角形中线和中位线的区别.请在同一三角形内画一画它们的中线和中位线.
探究（二）你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE的位置（如图2），
这样就得到了一个与△ABC面积相等的□DBCF．得到：BC__=2__
从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有
怎样的关系？能证明你的猜想吗？
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，DE=BC.
证明:如图，延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中∵AE=____,∠AED=____,DE=____∴△ADE≌____∴∠A=____,AD=__∴CF∥__
∵BD=AD∴BD=__∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥__,DF=__∴DE∥BC,DE=BC
结论：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
几何语言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC
作用：①证明平行问题.②证明一条线段是另一条线段的2倍或.
由中点想到（构造）---中线、中位线.
三.典例与练习
例1.A、B两点被池塘隔开，如何测量AB之间的距离
解：如图4在池塘外取一点O，连接OA,BO.取它们的中点C,D.CD
是三角形的中位线，CD________AB______.测量CD________即可.
练习1.已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为___cm,面积为___cm2,为原三角形面积的____cm2.
例2.如图5,任意画一个四边形，顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论.
已知：如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图5，连接BD，则EH为△ABD_____，∴EH∥____，EH=_____．
∵FG为△BCD_____，∴FG∥___，FG=_____．EH___FG，EH___FG．
∴四边形EFGH为平行四边形（________________________________________）．
结论:顺次连结四边形各边的中点所得到的四边形是____________.
练习2.如图6，已知△ABC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点.
(1)若∠AEF=60°，则∠B=60°；(2)若BC=8cm，则EF=___cm；
(3)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是___cm
图中有3个平行四边形.
例3.如图7，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，
使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于( )
A．42° B．48° C．52° D．58°
练习3.如图8，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的
中位线，F在DE延长线上，EC＝EF，则线段DF的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
四.课堂小结
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．
2.三角形中位线定理：三角形中位线______________________________．
几何语言：∵点D、E分别是 ABC边AB、AC的中点，∴____________________．
3.顺次连接四边形各边中点的线段组成_______________.
五.分层过关
1.如图9，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
A. B．3 C．6 D．9
2.如图10，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
3.如图11，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为
AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ ）
A. B.10 C. D.12
4.如图12，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果EF=2，那么GH=___
5.如图13所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.
7.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
小明的思路是:在图①中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.
问题:如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,则△AGD的形状是：__________.
C
B
A
F
E
D
图1
图2
B C
A
D
E
F
图3
图4
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图12
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图9
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