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(总课时52)§6.4 多边形的内角和与外角和（2）
一.选择题：
1.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2.正十边形的外角和为（ ）A．180° B．360° C．720° D．1440°
3.正十边形的外角和为（ ）A．180° B．360° C．720° D．1440°
4.将正三角形、正四边形、正五边形按如图1所示的位置摆放，如果∠3=32°，那么∠1+∠2=（ ）
A．60° B．68° C．70° D．90°
5.如图2，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）
A．80米 B．160米 C．300米 D．640米
二.填空题：
6.正十边形的每个外角都等于____度
7.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图3，则∠AOB=____.
8.当一个多边形的边数增加时,其外角和____.
9.已知n边形的内角和是一个五边形的外角和的2倍，则n＝____．
10.如图4，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．
三.解答题：
11.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
12.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的内角和
13.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
14.（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O.①如图1，则△ABE______△ADC（填写：全等、不全等）；
②探究：如图1，∠BOC=________；如图2，∠BOC=_______；如图3，∠BOC=_______；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边：AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O.
①猜想：如图4，∠BOC= （用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想.
图1
图2
图3
图4
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(总课时52)§6.4 多边形的内角和与外角和(2)
【学习目标】探索多边形外角和公式,灵活的运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
【学习重难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
【导学过程】
一.知识回顾
1.多边形的内角和定理：_________________________________.
2.正八边形的每一个内角为_____度？
3.正n边形的每一个内角为__________
二.探究新知
1.情境引入：清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
（1）小刚从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图1上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考得出的：
∵1+EAB=_____，2+ABC=_____，3+BCD=_____，
4+CDE=_____，5+DEA=_____，
∴1+EAB+2+ABC+3+BCD+4+CDE+5+DEA=_____.
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°即EAB+ABC+BCD+CDE+DEA=540°，
∴1+2+3+4+5=_____-540°=_____.
2.猜想：如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？如果广场的形状是八边形呢？如果广场的形状是n边形呢？
六边形:6×180 -(6-2)×180 =_____ 八边形:8×180 -(8-2)×180 =_____
n边形:n×180 -(n-2)×180 =_____
3.归纳小结：①多边形内角的一边与另一边的__________所组成的角叫做这个多边形的外角.
②在每个顶点处取这个多边形的_____外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
③多边形外角和定理：多边形的外角和等于_____
注意：多边形一个顶点有_____外角，但求外角和的时候__________外角.
三.典例与练习
例1.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
练习1.某多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形是几边形
例2.如图2所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左传40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时:
1.求整个行走路线是什么图形 2.一共走了多少米？
练习2：一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A.正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
例3.如图3，∠BCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠B与∠D互为补角，那么∠BCE与∠A的大小相等吗？请说明理由．
练习3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图4所示，
若∠3=50°，则∠1+∠2=_____
练习4.一个多边形的每一个外角都相等，且内角和为2880°，
它的外角的度数是_____
四.课堂小结
1.多边形内角的一边与另一边的__________所组成的角叫做这个多边形的外角.
2.在每个顶点处取这个多边形的_____外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
3.多边形的外角和__________,多边形外角和与多边形的边数_____.
五.分层过关
1.下列多边形中，内角和与外角和相等得是（ ）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
2.如图5，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，
∠3，∠4相邻的外角的和等于210°，则∠BOD的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3.如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形
4.一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.在凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）
A. 4 B. n C. n-3 D. 3
6.每个外角都是60°的多边形是_____边形
7.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的每一个内角的度数．
8.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图：
正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______．
图1
图2
图3
图4
图5
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(总课时52)§6.4 多边形的内角和与外角和(2)
【学习目标】探索多边形外角和公式,灵活的运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
【学习重难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
【导学过程】
一.知识回顾
1.多边形的内角和定理：多边形内角和等于（n-2）×180°.
2.正八边形的每一个内角为135度？
3.正n边形的每一个内角为
二.探究新知
1.情境引入：清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
（1）小刚从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图1上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考得出的：
∵1+EAB=180°，2+ABC=180°，3+BCD=180°，
4+CDE=180°，5+DEA=180°，
∴1+EAB+2+ABC+3+BCD+4+CDE+5+DEA=900°.
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°即EAB+ABC+BCD+CDE+DEA=540°，
∴1+2+3+4+5=900°-540°=360°.
2.猜想：如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？如果广场的形状是八边形呢？如果广场的形状是n边形呢？
六边形:6×180 -(6-2)×180 =360 八边形:8×180 -(8-2)×180 =360
n边形:n×180 -(n-2)×180 =360
3.归纳小结：①多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
②在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
③多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°
注意：多边形一个顶点有两个外角，但求外角和的时候只取一个外角.
三.典例与练习
例1.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以(n－2)·180°=3×360°，解得n=8．所以，这个多边形是八边形．
练习1.某多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形是几边形
方法一：根据题意，得（n-2） 180=150n，解得n=12．
方法二：因为每一个外角是180°-150°=30°，所以边数是360°÷30°=12.
例2.如图2所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左传40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时:
1.求整个行走路线是什么图形 2.一共走了多少米？
解：(1)设行走路线是正n边形，根据题意，得n==9.
所以行走路线是正九边形.
(2)8×9=72(米).答：一共走了72米
练习2：一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ C ）
A.正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
例3.如图3，∠BCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠B与∠D互为补角，那么∠BCE与∠A的大小相等吗？请说明理由．
解：∠BCE=∠A．理由如下：
∵四边形的内角和等于360°，∠B与∠D互为补角，
∴∠A+∠BCD=180°，
又∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠A．
练习3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图4所示，
若∠3=50°，则∠1+∠2=100°
练习4.一个多边形的每一个外角都相等，且内角和为2880°，
它的外角的度数是20°
四.课堂小结
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
3.多边形的外角和都等于360°,多边形外角和与多边形的边数无关.
五.分层过关
1.下列多边形中，内角和与外角和相等得是（ A ）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
2.如图5，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，
∠3，∠4相邻的外角的和等于210°，则∠BOD的度数是（ A ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3.如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是（ A ）
A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形
4.一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.在凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（D）
A. 4 B. n C. n-3 D. 3
6.每个外角都是60°的多边形是正六边形
7.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的每一个内角的度数．
解（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+ =180°,
解得:x=120°,=60°,
这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,
设内角为x,则外角为,由题意得: x+ =180°,
解得:x=120°,
答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．
内角和=（6﹣2）×180°=720°．
8.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图：
正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______．
解：如图，延长BA到F，
∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角，∴∠EAF=360°÷5=72°，
∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°，
∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB，∴α=∠EAF=72°，
同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°，
当正多边形的边数是n时，α=．
故答案为36°；60°；45°；
图1
图2
图3
图4
图5
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(总课时52)§6.4 多边形的内角和与外角和（2）
一.选择题：
1.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ B ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2.正十边形的外角和为（ B ）A．180° B．360° C．720° D．1440°
3.正十边形的外角和为（ D ）A．180° B．360° C．720° D．1440°
4.将正三角形、正四边形、正五边形按如图1所示的位置摆放，如果∠3=32°，那么∠1+∠2=（ C ）
A．60° B．68° C．70° D．90°
5.如图2，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ A ）
A．80米 B．160米 C．300米 D．640米
二.填空题：
6.正十边形的每个外角都等于36度
7.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，
其摆放方式如图3，则∠AOB=108 .
8.当一个多边形的边数增加时,其外角和不变.
9.已知n边形的内角和是一个五边形的外角和的2倍，则n＝6．
10.如图4，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．
解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中， ，∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中， ，∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中， ，∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），
∴CD为∠ACF的平分线，∠ACB＝74°，∴∠DCA＝53°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．
故答案为：30°
三.解答题：
11.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得
x+x=180°，x=108°．360°÷（×108°）=5．（5-2）×180°=540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．
12.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的内角和
解：（1）设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为0.5x，由题意得，x+0.5x=180°，
解得，x=120°，0.5x=60°，这个多边形的边数为： =6，答：这个多边形是六边形
（2）解：由（1）知，该多边形是六边形，∴内角和=（6﹣2）×180°=720°
答：这个多边形的内角和为720°．
13.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
14.（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O.①如图1，则△ABE______△ADC（填写：全等、不全等）；；
②探究：如图1，∠BOC=________；如图2，∠BOC=_______；如图3，∠BOC=_______；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边：AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O.
①猜想：如图4，∠BOC= （用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想.
解：（1）①证明：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，∴△ABE≌△ADC（SAS）；
②120°，90°，72°．
图1的求解：如图1，设AB与CD交于点M，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABE=∠ADC，
∵∠BMO=∠AMD，∴∠BOD=∠BAD=60°，∴∠BOC=120°；
图2与图3的求解仿图1的方法即得.
（2）①．
②如图4，依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠CAE﹣∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°，∴∠BOC+∠DAB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠DAB＝.
图1
图3
图2
图4
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