第八章 8.5.3 平面与平面平行 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第七章
8.5.3 平面与平面平行
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过实例，抽象出几何模型，通过直观感知，归纳平面与平面平行的判定定理； 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理； 2.空间想象素养和数学抽象素养.
3.能运用平面与平面平行的判定定理及性质定理证明一些简单的空间线面关系问题. 3.逻辑推理素养和空间想象素养.
温故知新
1.直线与平面平行的判定定理
2.直线与平面平行的性质定理
用符号语言表示为
定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
， 且.
定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号语言表示
a//α，b β ，α∩β=b a//b.
α
a
b
β
温故知新
平面与平面的位置关系有几种，分别是什么？
文字语言 交点个数 图形语言 符号语言
有无数个公共点
没有公共点
两平面相交
α∩β=l
两平面平行
α
β
α//β
知新引入
我们首先讨论平面与平面平行的判定问题.
类似于研究直线与平面平行的判定，我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义，可以发现，因为两个平行平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.也就是说，如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
因为这个定义给出了两个平面平行的充要条件，所以可以想到，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
如何判定一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？
知新引入
根据基本事实的推论2 , 3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条相交或平行直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？
我们可以借助以下两个实例进行观察. 如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线 , 它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗
平面与平面平行的判定定理
如图 ⑵, c和d分别是三角尺相邻两边所在直线, 它们都和桌面平行, 那么三角尺和桌面平行吗
⑴
⑵
知新探究
平面与平面平行的判定定理
⑴
D′
C′
B′
A′
D
C
B
A
E
F
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行, 这两个平面不一定平行.
我们借助长方体的模型来说明. 如图，在平面A′ADD′内画一条与A′A平行的直线EF，显然A′A与EF都平行于平面D'DCC'，但这两条平行直线所在的平面 A′ADD′与平面D'DCC'相交.
知新探究
平面与平面平行的判定定理
⑵
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的.
如图，在长方体模型中，若平面ABCD内两条相交直线AC、BD分别与平面A'B'C'D'内两条相交直线A'C'、B'D′平行.
由直线与平面平行的判定定理可知,这两条相交直线AC、BD都与平面A'B'C'D′平行. 此时, 平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.
知新探究
平面与平面平行的判定定理
两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面，为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢 你能从向量的角度解释吗
平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量可以表示为它们的线性组合，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；
而两条平行直线所表示的向量是共线的，用它们不能“表示”这个平面上的任意一条直线．
知新探究
一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理：
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
用符号语言表示
图形语言表示
β//α.
平面与平面平行的判定定理
定理中必需同时满足三个条件
① a,b在平面β内，即a β,b β;
② a,b相交，即a∩b=P;
③ 平行，即a//α,b//α.
三个条件，缺一不可.
线面平行 面面平行
知新探究
一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理：
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
平面与平面平行的判定定理
这个定理告诉我们，可以由直线与平面平行判断平面与平面平行.
如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的.就是应用了这个判定定理.
知新探究
一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理：
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
平面与平面平行的判定定理
推论:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
α
β
a
b
P
a’
b’
你能给出这个推论的证明吗？请你试一试.
知新探究
【例1】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1（如图）．求证：
平面AB1D1//平面BC1D．
证明：
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体.
∴D1C1BA是平行四边形，
∴D1A∥C1B，
平面与平面平行的判定定理
∴ D1C1 A1B1 ，AB A1B1 .
∴D1C1 AB.
又D1A 平面C1BD,CB 平面C1BD.
∴D1A∥平面C1BD，
同理 D1B1∥平面C1BD,
又 D1A∩D1B1=D1,
∴平面AB1D1//平面BC1D．
知新探究
平面与平面平行的判定定理
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB.
证明：
连接B1D1,
∵M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，
∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,
∴MN∥EF,
又∵MN 平面BDFE,EF 平面BDFE.
∴MN∥平面BDFE.
连接MF，则MF AD,
∴四边形ADFM为平行四边形.
∴AM∥DF,
B
D
D1
A1
B1
M
N
F
E
A
C
C1
又∵AM 平面BDFE,DF 平面BDFE.
∴AM∥平面BDFE.
又 MN∩AM=M,
∴平面AMN//平面EFDB.
知新探究
平面与平面平行的判定定理
证明两个平面平行基本思路
线线平行 线面平行 面面平行
证明两个平面平行一般步骤
一：在一个平面内找出两条相交直线
二：证明两条相交直线分别平行于另一个平面
三：利用判定定理得结论
初试身手
平面与平面平行的判定定理
1.如图所示，E，F，H分别为三棱锥AB，AC，AD棱上的中点.
求证：平面EFH∥平面BCD.
证明：
∵在三棱锥A-BCD，A1D1，B1C1，C1D1的中点，E，F是棱
AB，AC，
∴EF∥BC,
又∵EF 平面EFH,FH 平面EFH,EF∩FH=F.
∴EF∥平面BCD.
又∵EF 平面BCD,BC 平面BCD,
同理可证 FH∥平面BCD.
∴平面EFH∥平面BCD.
A
B
C
D
E
F
H
知新探究
下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论.
如图，借助长方体模型，我们看到B'D'所在的平面A'C'与平面AC平行, 所以B'D′与平面AC没有公共点.
平面与平面平行的性质定理
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.
也就是说，B'D'与平面AC内的所有直线没有公共点.
因此，直线B'D'与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
由此可知，两个平行平面内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
知新探究
我们仍然依据基本事实的推论进行分析：
如果α//β，a α，b β，且a//b，那么过a、b有且只有一个平面γ.
这样，我们可以把直线a、b看成是平面γ与平面α、β的交线.
于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
平面与平面平行的性质定理
分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢
下面，我们来证明这个结论.
知新探究
如图，已知平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a, β∩γ=b，
求证：a//b.
证明：
∵α∩γ=a，β∩γ=b，
∴a α,b β,
又α//β，
∴a与b没有公共点.
又a γ ，b γ，
∴a//b.
平面与平面平行的性质定理
猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理.
知新探究
符号语言表示
a//b.
定理 两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
图形语言表示
简记：面面平行，则线线平行.
作用：
平面与平面平行的性质定理
这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
面面平行 线线平行
②判定直线与直线平行的重要依据.
①作平行线的方法；
知新探究
平面与平面平行的性质定理
如果直线不在两个平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交.以两个平面平行为条件，你还能得出那些结论？
若一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，并且不在这两个
平行平面内，则这条直线也平行于另一个平面.
l
若l∥β,α∥β,且l α,l β，则l∥α.
如图，作过直线l的平面γ，α∩γ＝a, β∩γ=b，利用已知条件l∥β,α∥β,且l α,l β，就可以证得l∥α.请你写出证明过程.
若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，则这个平面也平行于另一个平面.
α
β
γ
若α∥β，γ∥β，则γ∥α.
试利用本节所学知识，给出证明过程.
知新探究
【例2】求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
平面与平面平行的性质定理
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α,B∈β，D∈β，求证:AB=CD.
证明：
过平行线AB,CD作平面γ，与平面α和平面β相交于AC和BD.
∵α∥β，
∴AC∥BD，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.
知新探究
解：
∴经过AC与BD可确定平面PCD,
∴,即.
∴AB∥CD.
∴BD=.
∵AC∩BD=P.
平面与平面平行的性质定理
变式：如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
∵α∥β，α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD.
知新探究
平面与平面平行的性质定理
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
①定条件：审题看是否有平面与平面平行；
②找平面：找（或作）第三个平面与已知两个平面相交；
③定交线：审确定交线位置；
④得平行：得两条交线相互平行.
初试身手
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
⑴求证：四边形BFD1E为平行四边形；
证明：
⑴在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
∴BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
初试身手
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
⑵试确定点F的位置.
解：
⑵如图，取BB1的中点M，连接MC1，ME，
∴D1E∥MC1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形.
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴BM C1F，即F为棱CC1的中点.
又 A1B1 C1D1 ，
∴ME C1D1 ，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，
又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴ME A1B1，
新知探究
从本节的讨论可以看到：
①由直线与直线平行可以判定直线与平面平行 ；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;
②由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.
这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
面面平行
判定
定义
线线平行
线面平行
判定
性质
性质
课堂小结
1.平面与平面平行的判定定理
2.平面与平面平行的性质定理
用符号语言表示
符号语言表示
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
β//α.
线面平行 面面平行
定理 两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
a//b.
面面平行 线线平行
作业布置
作业： P144-145 习题8.5 第8，9,12,13题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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