2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷01（测试范围：6.1-8.3）
一、单选题
1．已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得，然后求得，由此求得.
【解析】因为复数z在复平面内所对应的点为，
所以，故，故．
故选：A
2．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解.
【解析】由题意是两个单位向量，且，
所以，解得，
由，所以.
故选：C.
3．如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是多少？（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【解析】由题意正方形边长为，
则其面积为，
根据直观图面积和原图面积之间的关系，
可得原图形的面积是,
故选：D
4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【解析】
.
故选：B
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】先借助正弦定理求出，再借助余弦定理求出b即可.
【解析】由正弦定理得，得.由余弦定理，得
，即.
故选：A.
6．已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．最大值为
C．若则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义求得在上的投影向量判断A，求出向量的模，由函数性质得最小值判断B，计算，根据其正负确定的范围，然后判断的正负，从而判断CD．
【解析】对A，，
在上的投影向量为，A错误；
对B，，
，
所以时，取得最小值，B错误；
对C，，，则，
则，C正确；
对D，，，无法判断的符号，D错误．
故选：C．
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为π
【答案】D
【解析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圆台的母线长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝＝2，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正确；圆台的体积V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D错误．故选D.
8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【解析】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
二、多选题
9．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】CD
【分析】
由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D.
【解析】
对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；
对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
但是这样的多面体不是棱台，故B错误；
对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；
对于D，根据圆锥的定义可知D正确.
故选：CD
10．下列命题正确的是（ ）.
A．若向量，满足，则，为平行向量.
B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底.
C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等.
D．若是等边三角形，则.
【答案】ABD
【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量、单位向量的定义知C错误；由向量夹角的定义知D错误.
【解析】对于A，，、是平行向量，故A正确；
对于B，，为一组基底，，不共线，
若存在实数使得，则，显然方程无解，即，不共线，
，也可以作为一组基底，故B正确；
对于C，虽然单位向量模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，故C错误；
对于D，为等边三角形，，故D正确.
故选：ABD.
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a>c C．c>a D．
【答案】ACD
【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.
【解析】由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确.
故选：ACD
12．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，的取值范围是
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
【答案】BD
【分析】定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D.
【解析】中，内角所对的边分别为，
若，则，A选项错误；
当时，
，
当时等号成立，所以最小值为，B选项正确；
由正弦定理，，当有两个解时，
且，的取值范围是，C选项错误；
，，当为锐角三角形时，，
解得，则，，
，所以的取值范围是，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ．
【答案】/
【分析】
根据给定条件，利用共线向量定理求出即得.
【解析】由向量，不共线，得，由向量与共线，
得，则，所以.
故答案为：
14．已知复数z满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解.
【解析】设复数，则，且.
，
当时，取到最大值16，
所以.
故答案为：4.
15．已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 .
【答案】
【分析】以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解.
【解析】
如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.
因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,.
因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中.
所以,,
所以.
因为，所以.
故答案为：
16．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
【答案】/
【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．
【解析】如图所示：
依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
故答案为：.
四、解答题
17．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；
（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.
【解析】（1），，解得：或，
当时，，；
当时，，；
综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，则，解得：且，
的取值范围为.
18．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．
(1)求复数；
(2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.
（2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围．
【解析】（1）设复数，是实数，
所以，则，
所以，
因为为纯虚数，
所以且，解得，
所以.
（2）由（1）知，,
在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，
所以，解得，即实数m的取值范围为.
19．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.
（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.
【解析】（1）依题意，，
由余弦定理得，
整理得，
由于三角形是锐角三角形，所以，则.
（2）由，
得，
，当且仅当时等号成立，
则，所以，
由于为锐角，所以，此时，
所以三角形是等边三角形，所以.
20．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．
(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【答案】(1)12
(2)表面积为，体积为
【分析】
（1）根据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解；
（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的表面积和体积公式求解．
【解析】（1）还原平面图形ABCD，如图，
因为，，，且，
所以，，，且，，
原平面图形ABCD为直角梯形，故；
（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，
其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，
所以几何体的表面积为，
几何体的体积为
21．如图在四边形中，，，，.
(1)当平分四边形面积时，求长度：
(2)问是定值吗 为什么
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，设，，在中，利用余弦定理得到，然后再结合题意平分四边形面积，利用三角形面积公式可得则有，两式联立即可求解；
（2）建立平面直角坐标系，设，利用得到，然后利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【解析】（1）设，，
因为，，，所以，
在中，由余弦定理可得，，
也即，整理可得， ①
又因为平分四边形面积，所以，
也即，整理可得， ②
①②可得，，则，
由可得，
整理可得，，解得或（舍去），
将代入①可得，则，
所以当平分四边形面积时，求长度为.
（2）是定值，理由如下：
分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
由题意可得，，设，
由可得，，
整理可得，，
则，，
所以.
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①②存在，，
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；
（2）①设，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在实常数，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解.
【解析】（1）证明：在中，因为，
且，
所以，
即，
所以或者.
当时，即，所以为直角三角形；
当时，，
从而，因此，所以为直角三角形.
综上所述，是直角三角形.
（2）解：①因为，所以，
又，，所以，.
如图，设，，
则在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，
都有成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有.
由题意，是定值，
所以，是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有，
因为，从而，
即，
因为为的内角，所以，
从而，.2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷01（测试范围：6.1-8.3）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是多少？（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
6．已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．最大值为
C．若则
D．若，则
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为π
8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．10
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）
9．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
10．下列命题正确的是（ ）.
A．若向量，满足，则，为平行向量.
B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底.
C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等.
D．若是等边三角形，则.
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a>c C．c>a D．
12．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，的取值范围是
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ．
14．已知复数z满足，则的最大值为 ．
15．已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 .
16．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.
18．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．
(1)求复数；
(2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
19．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
20．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．
(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
21．如图在四边形中，，，，.
(1)当平分四边形面积时，求长度：
(2)问是定值吗 为什么
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
