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2023-2024人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》
单元综合测试（原卷版）
一、选择题
1． 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOE的度数是（ ）
A．145° B．135° C．35° D．120°
2．2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移左图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
4．如图，在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③④
5．下列说法中正确的是（ ）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
6．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（）
①∠1=∠4②∠2=∠3③∠5=∠B④∠DCB+∠B=180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
7．如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
8．如图：已知 ， 度， 度，则 等于（ ）度．
A．50 B．60 C．80 D．90
9．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．48°
10．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，O是直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1= .
12．在如图所示的方格纸中，AB∥ ，AB⊥ .
13．如图，口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是 .
14．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m .
15．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为 ．（填序号）
三、解答题
16．已知：如图，直线 ， 相交于点O， ， 平分 ，求 的度数．
17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在D'，C的位置上，ED'的延长线与BC交于点G．若∠EFG= 63°，求∠1，∠2的度数．
18．如图，，．求证：．
证明：∵（ ），（ ），
∴（ ），∴（ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
19．如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
20．如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
21．如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
22．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.
（1）如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.
23．（感知）已知：如图①，点E在AB上，且CE平分，．求证：．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分（已知），
∴ ▲ （角平分线的定义），
∵（已知），
∴ ▲ （等量代换），
∴（ ▲ ）．
（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分，．求证：．
（应用）如图③，BE平分，点A是BD上一点，过点A作交BE于点E，，直接写出的度数．
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2023-2024人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》
单元综合测试（答案解析版）
一、选择题
1． 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOE的度数是（ ）
A．145° B．135° C．35° D．120°
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A中的两个角虽有公共顶点，但它们的两边不是互为反向延长线，故不是对顶角；
B、D中两个角均没有公共顶点，故不是对顶角；
C中的两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故是对顶角．
故答案为：
2．2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移左图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：能通过平移吉祥物“冰墩墩”得到的图形是B中的图形.
故答案为：B.
【分析】根据平移不会改变图形的方向、形状和大小，只会改变图形的位置，即可一一判断得出答案.
3．如图，，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
即∠BOC+∠AOC=90°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-40°=50°，
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义可得∠BOC+∠AOC=90°，则∠AOC=90°-∠BOC=50°。
4．如图，在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③④
【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2不是同位角，图①中的∠1与∠2是同位角，图①中的∠1与∠2不是同位角，
∴ 在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是①③.
故答案为：C.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、经过一点有一条直线与已知直线平行，不正确，故A不符合题意；
B、经过一点有无数条直线与已知直线平行，不正确，故B不符合题意；
C、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，故C不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D符合题意；
故答案为：D.
6．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（）
①∠1=∠4②∠2=∠3③∠5=∠B④∠DCB+∠B=180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①符合题意；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②不符合题意；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③符合题意；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
7．如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，
然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：C．
8．如图：已知 ， 度， 度，则 等于（ ）度．
A．50 B．60 C．80 D．90
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
过点O作OH//AB
∵AB//CD
∴OH//AB//CD
∴∠ABO+∠BOH=180°
∠CDO+∠HOD=180°
∵∠B=120°，∠D=150°
∴∠BOH=60°，∠HOD=30°
∴∠BOD=60+30=90°
故答案为：D
9．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．48°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
10．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
二、填空题
11．如图，O是直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1= .
【答案】150°
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵∠COB=30°，
∴∠1=180°-30°=150°．
故答案为150．
12．在如图所示的方格纸中，AB∥ ，AB⊥ .
【答案】CD；AE
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】解：由图可得：AB∥CD，∠BAE=90°，
∴AB⊥AE.
故答案为：CD；AE.
13．如图，口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是 .
【答案】点到直线的距离垂线段最短
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是点到直线的距离垂线段最短.
故答案为： 点到直线的距离垂线段最短.
14．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m .
【答案】(ab-a-2b+2)
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图片可看出，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为(a-2)m，这个长方形的宽为(b-10)m，
∴草坪的面积为：(a-2)(b-1)=(ab-a-2b+2)m2.
故答案为：(ab-a-2b+2).
15．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为 ．（填序号）
【答案】①②③⑤
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故②符合题意；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，故④不准确；
设 ，由④可知 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
，故⑤符合题意；
故正确的是①②③⑤；
故答案是①②③⑤．
三、解答题
16．已知：如图，直线 ， 相交于点O， ， 平分 ，求 的度数．
【答案】解：∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】利用邻补角的定义得出，根据角平分线得出 ，利用邻补角的定义得出.
17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在D'，C的位置上，ED'的延长线与BC交于点G．若∠EFG= 63°，求∠1，∠2的度数．
【答案】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=63°，由折叠知∠D'EF=∠DEF=63°，
∴∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°.∵AD∥BC，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF=∠EFG=63°，再根据折叠性质可得∠D'EF=∠DEF=63°，即可求得∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°；两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2=180°，即可求出∠2.
18．如图，，．求证：．
证明：∵（ ），（ ），
∴（ ），∴（ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】证明：∵（已知），
（平角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
19．如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
【答案】（1）解：理由：如图，过点E作，
∴∠ABF=∠GEF=50°，∵∠CEF=90°，，∵∠C=40°，∴∠GEC=∠C，∴EG∥CD，∴；
（2）∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH∥AB，
则∠ABE+∠HEF=180°①，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠C=∠CEH，∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°，∴∠C+∠HEF=120°②，①-②得，∠ABE-∠C=60°．故答案为：∠ABE-∠C=60°．
【分析】（1）先求出 ∠ABF=∠GEF=50°， 再求出 ∠GEC=∠C， 最后证明求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
20．如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=∠AOC=40°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=130°；
（2）解：∵∠AOE+30°=∠BOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=75°，∠BOE=105° ，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠AOE= 37.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-37.5°= 52.5°．
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再利用垂直的定义求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，代入计算求出∠AOD的度数.
（2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出∠AOE，∠BOE的度数，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；然后根据∠BOD=90°-∠AOC，代入计算求出∠BOD的度数.
21．如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴平分，又平分，∴；
（3）解：不变．∵，∴，，∴，又∵，∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，从而得到；
（2）利用角平分线的定义及角的运算可得；
（3）先求出，再求出即可。
22．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.
（1）如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.
【答案】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：
∵AB∥CD，EH//AB，
∴AB∥EH//CD，
∴∠APE=∠PEH,∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：
过点E作EG//AB，
∵AB∥CD，EG//AB，
∴AB∥EG//CD，
∴∠APE+∠PEG=180°，
∠CQE+∠QEG=180°，
∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG=360°，
即∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°；
（3）∠PFQ=110°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）根据（1）（2）可得，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：根据二直线平行，内错角相等可知：∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，再结合∠PEQ=∠PEH+∠QEH，证明即可；
（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：过点E作EG//AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得平行线的性质可得AB∥EG//CD，由二直线平行，同旁内角互补得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°，将两式相加即可得出结论；
（3）根据（1）（2）的结果证明即可；
23．（感知）已知：如图①，点E在AB上，且CE平分，．求证：．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分（已知），
∴ ▲ （角平分线的定义），
∵（已知），
∴ ▲ （等量代换），
∴（ ▲ ）．
（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分，．求证：．
（应用）如图③，BE平分，点A是BD上一点，过点A作交BE于点E，，直接写出的度数．
【答案】解：感知
∵CE平分（已知），
∴ECD（角平分线的定义），
∵（已知），
∴ECD（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ECD；ECD；内错角相等，两直线平行
探究
∵CE平分，
∴，
∵，
∴，
∵；
应用
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：应用
∵BE平分∠DBC，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠CBE=∠E，∠BAE+∠ABC=180゜，
∴∠E=∠ABE，
∵，
∴∠ABC=80゜
∴
∴
【分析】（感知）根据角平分线的定义及等量代换可得∠1=∠ECD，即可证明AB//CD；
（探究）先利用平行线的性质可得∠1=∠ECD，再利用角平分线的定义可得就爱哦2=∠ECD，最后利用等量代换可得∠1=∠2；
（应用）利用平行线的性质和判定，再结合角的运算求解即可。
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