2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：6.1-8.3）
一、单选题
1．已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算的坐标法则计算可得．
【解析】因为，，所以．
故选：D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．
【解析】，
所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，
故选：C．
3．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算可得答案.
【解析】因为，
所以，
故选：A
4．以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】C
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.
【解析】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.
故选：C
5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的表面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按圆柱表面积和球的表面积公式计算即可.
【解析】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的表面积 ，
球的表面积 ，
所以球的表面积和圆柱的表面积的比是.
故选：A.
6．已知单位向量，则下列命题正确的是（ ）
A．向量不共线，则
B．若，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
【答案】C
【分析】根据共线向量、向量的模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】A选项，是单位向量，方向可能相同或相反，所以可能共线，A选项错误；
B选项，，
而，或，且，
或， B选项错误；
C选项，，
，且，，
的最小值为，C选项正确；
D选项，在上的投影向量为，D选项错误.
故选：C
7．在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.
【解析】因为，为的中点，，如图，
在中，根据余弦定理可得，，
在中，根据余弦定理可得，，
又因为，所以
故有，得到，即，所以，
故选：C.
8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解.
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
又由正方形的边长为，可得，
则
，
正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
二、多选题
9．已知为虚数单位，，，则（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】CD
【分析】根据复数的定义和运算规则逐项分析.
【解析】对于A， ，错误；
对于B，复数不可以比较大小，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，正确；
故选：CD.
10．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则解的个数为0
【答案】ACD
【分析】利用三角形内角的特征、诱导公式、三角函数的性质、和差化积、二倍角公式及正弦定理一一判定选项即可.
【解析】对于A，因为为锐角三角形，所以，且，
而正弦函数在锐角范围内单调递增，所以，故A正确；
对于B，若，可知或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B正确；
对于C，由
，
易知，所以
根据余弦函数的性质可知：
若，则，
若（舍去），
若，则，所以都能得出为直角三角形，故C正确；
对于D，由正弦定理可知，显然C不存在，故D正确.
故选：ACD
11．已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．面积的最大值为
C．圆锥的外接球的表面积为
D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为
【答案】BCD
【分析】
对A：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C：根据题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D，利用圆锥的体积公式即可求解．
【解析】对于A：由题意可知：，
故圆锥的侧面积为，故A错误；
对于B：的面积，
在中，，故为钝角，
由题意可得，
故当时，面积的最大值为，故B正确；
对于C：由选项B可得：，则为钝角，
可得，
由题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，设其半径为，
则，即，
故圆锥的外接球的表面积为，故C正确；
对于D：当水的平面过的中点时，则水的体积为，故D正确．
故选：BCD．
12．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为6
C． D．若，
E．满足的点有一个
【答案】BCD
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；利用向量数量积的坐标表示转化为求三角函数的值域可判断B；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断C；根据得到可判断D；令，得到可判断E.
【解析】
由题意，以为原点，以平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
则，，，，
，
对于A，，故A错误；
对于B，，
，，，
的最大值为6，故B正确；
对于C，
，，，故C正确；
对于D，若，
则，
，故D正确；
对于E，当时，即，解得，
，或，即符合条件的点有两个，故E错误.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 ．(结果用数值表示)
【答案】
【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.
【解析】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，
所以，所以，
则．
故答案为：
14．已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 .
【答案】
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，依题意可得，即，再计算，由二次函数的性质求出最小值.
【解析】因为
，
又复数是实数，所以，即，
所以，
所以当，时.
故答案为：
15．在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】利用斜二测画法画出直观图四边形，再计算周长．
【解析】如图，画出直观图，过点作，垂足为
因为，，
所以，，，则，
故四边形的周长为．
故答案为：
16．的内角的对边分别为，若，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得，结合同角三角函数关系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时关系，进而求得的值.
【解析】由正弦定理将变形可得
，
即，
由可得，
而是锐角，所以，
则由余弦定理可得，
则，
当且仅当时，取得最小值，
故，故，
所以.
故答案为:
四、解答题
17．已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先求出，进而将展开，结合，的模，可求出答案；
（2）由，将展开，并结合的值，及，的模，进而可求出的值.
【解析】（1）由题意，，
∴.
（2）∵，∴，
∴，∴，∴.
【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量数量积为零表示垂直关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18．已知复数.
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出；
（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【解析】（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
（2）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．
20．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积
(2)求四棱锥的体积的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.
【解析】（1）如图：
连接BD，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，
所以，故圆柱的表面积；
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，又，
所以四棱锥的体积，
，
故四棱锥的体积的最大值为.
21．中，已知，点在边上，.
(1)证明：；
(2)若，求的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化即可证明结论；
（2）根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理可得，再根据平行线的性质与余弦定理即可求得的余弦值.
【解析】（1）证明：因为，所以由正弦定理得
因为，所以由正弦定理得，，
所以，又，所以.即为
（2）如图所示，
过点作交于点，
设，则
因为，所以，即，则，
所以，所以.
在中，，
在中，.
因为，所以，所以，
化简得，方程两边同时除以，得，
解得或.
当，即时，；
当，即时，（舍去）.
综上，.
22．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.
(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）解法一：通过余弦定理和勾股定理直接计算求解；
解法二：根据向量平方的转化进行计算求解；
（2）①由题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，，根据向量坐标公式以及辅助角公式计算即可；
②设，直线与直线相交与点，根据平面向量基本定理相关知识进行转化，得到当越大时，越小，进而得到.
【解析】（1）解法一：
由余弦定理：，
所以，即，
所以，所以
解法二：
由，
平方得，
所以
（2）① 如图建立平面直角坐标系，则，
设，则，
由，
得到，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设，，
则，
，
所以的取值范围为
②设，直线与直线相交于点，
则①，
设② ，
因为三点共线，
所以，③，
由②、③得④ ，
由①、④得，所以，
由于与同向，所以当越大时，越小，
当点与点重合时，最大，且，
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为：
（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；
（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；
（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：6.1-8.3）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的表面积的比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量，则下列命题正确的是（ ）
A．向量不共线，则
B．若，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
7．在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）
9．已知为虚数单位，，，则（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则解的个数为0
11．已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．面积的最大值为
C．圆锥的外接球的表面积为
D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为
12．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为6
C． D．若，
E．满足的点有一个
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 ．(结果用数值表示)
14．已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 .
15．在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
16．的内角的对边分别为，若，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
18．已知复数.
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
20．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积
(2)求四棱锥的体积的最大值
21．中，已知，点在边上，.
(1)证明：；
(2)若，求的余弦值.
22．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.
(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.
