(共44张PPT)
相似三角形的性质及应用
测素质
课题
集训课堂
下列说法正确的是( )
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯(手术用的)是平行投影
C．太阳光线下的投影是中心投影
D．月食是太阳光所形成的投影现象
1
一、选择题(每题4分，共32分)
D
2
【2023·南通海门区期末】如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为( )
B
3
如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则C1D1：CD等于( )
A．1：2
B．1：3
C．3：1
D．4：1
【点拨】
【答案】
C
由题意可得五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为1：3.
∴CD：C1D1＝1：3，即C1D1：CD＝3：1.
4
【点拨】
【答案】
B
5
如图，已知点E(－4，2)，F(－1，－1)，以点O为位似中心，按1：2的比把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为( )
A．(－2，1)
B．(2，－1)
C．(2，－1)或(－2，－1)
D．(－2，1)或(2，－1)
【点拨】
【答案】
D
6
【2023·嘉兴一模】在平面直角坐标系中，点P(2，4)是一个光源，木杆AB两端的坐标分别是(1，2)，
(4，1)，则木杆AB在x轴上的投影A′B′的长为( )
【点拨】
如图所示．
设直线PA的表达式为yPA＝k1x＋b1，直线PB的表达式为yPB＝k2x＋b2，
∵P(2，4)，A(1，2)，B(4，1)，
【答案】
C
7
【点拨】
【答案】
B
构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
8
【2023·无锡金桥双语实验学校月考】如图，A
(－1，1)，B(－1，4)，C(－5，4)，点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角三角形OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【点拨】
【答案】
B
9
二、填空题(每题5分，共20分)
如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为________．
(1，0)
10
【2023·长春】如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若
OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为________．
1：3
11
如果两个相似三角形的最长边分别是35 cm和14 cm，它们的周长之差为60 cm，那么这两个三角形的周长分别是________________．
100 cm和40 cm
【点拨】
6
12
【点拨】
13
(12分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格的格点上，且
A(2，8)，B(4，4)，C(8，4)．
三、解答题(共48分)
(1)以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
解：△A1B1C1如图所示．
(2)在(1)的条件下，写出△A1B1C1与△ABC的面积比．
解：△A1B1C1与△ABC的面积比为1：4.
14
(12分) 【2023·盐城建湖期末】元宵节晚上，小王与爸爸妈妈看灯会，他想了解路边路灯的大致高度．具体做法如下：如图，先从路灯灯柱MN底部M向东走25步到A处，发现自己的影子端点落在B处，作标记后，继续沿刚才自己的影子走5步恰好到达点B处，此时影子的端点在C处，已知
小王和灯柱的底端在同一水平线上，
且小王每步的间距相同．
解：如图，点O和点C即为所求．
若小王的身高是1.72 m，请帮他解决问题：
(1)在图中画出路灯O和影子端点C的位置；
(2)估计路灯MO的高，并求影长BC的步数．
15
(12分)如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.
(1)求证：AG＝BG；
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC.∴∠ABC＝2∠ABG.
又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAG＝∠ABG.
∴AG＝BG.
(2)若M为BC的中点，S△BGM＝1，求△ADG的面积．
16
(12分)【2023·盐城二模】(1)【问题探究】如图①，点B，C分别在AM，AN上，AM＝12米，AN＝20米，AB＝2米，BC＝2.6米，AC＝1.2米．
①探究△ABC与△AMN是否相似并说明理由；
②求MN的长．
(2)【问题解决】如图②，四边形ACBD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知AB＝60米，四边形ACBD的面积为2 400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在BC，AC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内
种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时，花卉种植区域的面积．(共44张PPT)
测素质
相似三角形的判定
集训课堂
下列条件中的两个三角形，不一定相似的是( )
A．底角相等的两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．两个等腰直角三角形
D．有一个角是40°的两个等腰三角形
D
1
一、选择题(每题4分，共32分)
D
2
如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD交AG于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是( )
A．△ACD∽△ABC
B．△ADE∽△ACG
C．△ACE∽△ABG
D．△ADE∽△CGE
3
【母题：教材P67习题T12】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
【答案】 B
【点拨】
根据勾股定理计算三角形三边长，利用三边成比例时两个三角形相似进行判断．
4
【答案】 C
【点拨】
5
【2023·常州二十四中一模】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点A为顶点作三角形(阴影部分)，使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是( )
【点拨】
【答案】 A
如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6
【点拨】
设BD和CE相交于O点，如图，
∵∠A＝∠A，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴△ABD∽△ACE.
∵∠OBE＝∠ABD，∠BEO＝∠BDA，
∴△OBE∽△ABD.
∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO，
∴△OBE∽△OCD.
【答案】 B
∴△ABD∽△ACE∽△OBE∽△OCD.
∴图中相似三角形有△OBE∽△ABD；△ABD∽△ACE；△ABD∽△OCD；△OBE∽△ACE；△OBE∽△OCD；△ACE∽△OCD，共6对相似三角形．
故选D.
7
如图，正三角形ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图像大致是( )
【答案】 C
【点拨】
8
【2023·安徽】如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝( )
【点拨】
【答案】 B
9
【 新视角 条件开放题】如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________________，
可以使得△FDB与△ADE相似．
(只需写出一个即可)
二、填空题(每题5分，共20分)
∠BFD＝∠EDA(答案不唯一)
4
10
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝______.
【点拨】
11
【 新视角 等比求值法】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，
且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________．
【点拨】
12
【 2023 泰州海军中学二模】 【 新视角 最值探究法】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，点D是边AC上一动点，连接BD，以BD为斜边作Rt△BDE，使∠BDE＝30°，∠BED＝90°，
连接CE.则△CDE面积的最大值是________．
【点拨】
13
三、解答题(共48分)
(10分)【2023·宿迁一模】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是AC的中点，弦BD交AC于点E.
△CDE与△BDC相似吗？为什么？
︵
解：相似．理由如下：
∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，
∴∠ECD＝∠DBC.
又∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC.
︵
︵
︵
14
(12分) 【 2023 湘潭】 【 母题 教材P65习题T5】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.
又∵∠B＝∠B.
∴△ABD∽△CBA.
(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
15
(12分)【2023·镇江三中模拟】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G.
(1)求证：BF＝CF；
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
16
(14分)【2023·淮安一模】【基础模型】如图①，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB.
【尝试应用】如图②，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A，若BF＝6，BE＝4，求AD的长．
【点拨】(共37张PPT)
测素质
平行线分线段成比例
集训课堂
【2023·常州二十四中模拟】在比例尺是1：8 000的地图上，延陵西路的长度约为25 cm，该路段的实际长度约为( )
A．3 200 m B．3 000 m
C．2 400 m D．2 000 m
D
1
一、选择题(每题4分，共32分)
C
2
下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．4 cm，5 cm，6 cm，7 cm
B．3 cm，4 cm，5 cm，8 cm
C．5 cm，15 cm，3 cm，9 cm
D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
B
3
C
4
如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则C1D1的长是( )
5
【答案】 A
【点拨】
6
【答案】 C
【点拨】
7
【2023·内江】如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点，若AC＝12，则DH的长为( )
【答案】 C
【点拨】
首先根据点D，E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
8
【点拨】
如图，设AD交y轴于点J，交BE于点K，设DE＝m，DK＝b，则AB＝OJ＝CD＝2m.
【答案】 B
9
二、填空题(每题4分，共16分)
【点易错】
注意x的值有正、负两种情况．
10
【2023·连云港一模】如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点 (点A，B，P在同一直线上)，且BP>AP，那么B到P之间的距离是_____________米(结果保留根号)．
【点拨】
11
【点拨】
是
12
一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图．
(1)DE与BC是否平行？________(填“是”或“否”)；
(2)BC＝________.
48
【点拨】
13
三、解答题(共48分)
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
14
(12分) 【母题：教材P54练习T1】如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.
(1)若AB＝6，BC＝10，DE＝8，求EF的长；
(2)若AB：BC＝2：5，DF＝10，求EF的长．
15
(12分) 【新考法 建立方程模拟法】如图， ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF.
(1)求证： ABEF是菱形；
证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠EAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAF＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.
同理，AB＝AF. ∴BE＝AF.
又∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形．
【点拨】
由(1)知，四边形ABEF是菱形，
∴AB＝BE＝EF＝FA.
易知四边形CDFE是平行四边形，
∴FD＝CE，EF＝CD，∴AB＝BE＝EF＝FA＝CD，设FD＝CE＝x，AF＝EF＝BE＝CD＝y，则BC＝AD＝x＋y.
16
(12分)【2023·岳阳】如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.
(1)若∠A＝30°，AB＝6，则BC的长是________(结果保留π)；
π
︵
︵
【点拨】
︵
【点拨】
︵
︵
︵(共18张PPT)
6.7 用相似三角形解决问题
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行投影的概念和性质
中心投影的概念和特征
知识点
平行投影的概念和性质
知1－讲
1
1. 概念 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行 投影.
2. 性质 在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例．即在太阳光的照射下，甲物高、甲影长、乙物高、乙影长满足比例式：＝．
知1－讲
3. 应用 如图6.7-1，测量不能直接到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物体及其影子、被测物体及其影子构造相似三角形模型，
利用“相似三角形对应边成比例”
的性质解决.
知1－讲
特别解读
1. 通常，我们把太阳光看成平行光.
2. 在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越长．
3. 利用影长测量物体高度时，要注意两个物体的影长是在同一时刻测量的.
知1－练
例 1
[模拟·北海] 如图6.7-2，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
知1－练
解题秘方：紧扣“太阳光线是平行的”画木杆AB的影子BF；
(1)画出太阳光线CE和AB的影子BF；
解：太阳光线CE和AB的影子BF
如图6.7-2 所示.
知1－练
解题秘方：根据“在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”求解．
(2)若AB＝10 米，CD＝6 米，CD到PQ的距离(DQ的长)为 8 米，求此时木杆AB的影子BF的长．
知1－练
解：设木杆AB的影子BF的长是x 米，
由题意可知DE＝DQ＝8 米.
由平行投影的性质，得＝ ，即＝，解得x＝．
经检验，x＝是方程的解且符合题意.
答：此时木杆AB的影子BF的长是米．
知1－练
方法点拨
1. 根据“木杆CD的影子刚好不落在广告墙上”可知，此时的太阳光线CE即为CQ，根据“太阳光线是平行的”可知，过A作AF∥CE，交BQ于点F，可得到木杆AB的影子BF；
2. 此题也可利用“木杆及其影子”构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的性质解决.
知2－讲
知识点
中心投影的概念和特征
2
1. 概念 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心 投影．
2. 特征 一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例．
知2－讲
3. 应用 中心投影的对应点所在的直线都经过一点，这一点就是点光源的位置，如图6.7-3 所示，点A就是点光源的位置.
根据△ABD∽△MCD，得＝，
根据△ABF∽△NEF，得＝，
当MC＝NE时，则有＝.
知2－讲
特别提醒
1. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的；
2. 物体的投影的大小是随着点光源距离物体的远近而变化的，或者是随着物体距离投影面的远近而变化的；
3. 运用相似三角形的知识，建立中心投影的数学模型，解决实际问题.
知2－练
如图6.7-4，路灯(P点)距地面8 米，身高1.6 米的小明从距路灯的底部(O点)20 米的A点，沿AO所在的直线行走14 米到B点时，身影变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
例 2
知2－练
解题秘方：易得△MAC∽△MOP，△NBD∽ △NOP，即可由相似三角形的性质求解．
知2－练
解：易得△MAC∽△MOP，所以MA∶MO＝AC∶OP ，
即MA∶(20＋MA)＝1.6∶8，解得MA＝5.
经检验，MA＝5 是方程的解且符合题意.
易得△NBD∽△NOP，所以NB∶NO＝BD∶OP，即
NB∶(NB＋20－14)＝1.6∶8，解得NB＝1.5.
经检验，NB＝1.5 是方程的解且符合题意.
5－1.5＝3.5(米)．故身影变短了，变短了3.5 米.
知2－练
解题通法
利用中心投影求物高、距离的策略：
⑴寻找点光源，点光源一般是由两个影子与物高决定的；⑵ 构造相似三角形；⑶建立方程，利用相似三角形的性质建立比例式代入计算，注意分式方程需要检验，既要满足方程，又要满足题意.
用相似三角形解决问题
用相似
三角形
解决问题
平行投影
中心投影
相似
三角形
作图
测量方法
计算高度或宽度(共27张PPT)
6.6 图形的位似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
位似多边形
位似图形的画法
平面直角坐标系中的位似
知识点
位似多边形
知1－讲
1
1. 定义 如图6.6-1，两个多边形的顶点A与A'、B与B'、C与C'...... 所在的直线都经过同一点O，并且＝＝＝......
像这样的两个
多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心.
知1－讲
2. 位似与相似的关系
(1)相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点所在的直线相交于一点.
(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此,位似是相似的特殊情况.
知1－讲
3. 位似图形的性质
(1)位似图形每组对应顶点所在的直线必过位似中心.
(2)位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.
(3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上)，且对应边之比等于相似比.
(4)(拓展)若两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
知1－讲
特别解读
1. 两个位似图形的位似中心有且只有一个.
2. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，
也可能位于两个位似图形之间，还可能
位于两个位似图形的内部、边上或某一
个顶点处，常见位似图形的构成如图6.6-2
所示．
知1－练
例 1
下列图形中，不是位似图形的是( )
解题秘方：紧扣“位似多边形的定义”进行判断．
知1－练
解：选项A、B、C 三组图形中的两个图形都是相似图形，它们的对应顶点所在的直线都相交于一点，且任意两组对应点到位似中心的距离之比都相等，故都是位似图形；
选项D 中的两个图形不符合位似多边形的定义，故不是位似图形．
答案：D
知1－练
解题通法
判断两个图形是否为位似图形的方法：
1. 对应点所在的直线都经过同一点；
2. 任意两组对应点到位似中心的距离之比都相等.
知2－讲
知识点
位似图形的画法
2
画位似图形的步骤
(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)；
(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；
(3)根据相似比确定所画位似图形的关键点的位置；
(4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
知2－讲
特别提醒
位似中心的选取一般要考虑使画图方便且符合要求.
以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下, 同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.
知2－练
如图6.6-3，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．
例 2
知2－练
(1)在给定网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；
解题秘方：利用位似图形的性质和图中网格长度画图；
知2－练
解：如图6.6-3 所示.
①画射线OA、OB、OC；
② 在射线OA、OB、OC上分别取点
A′、B′、C′， 使OA′＝3OA，OB′＝
3OB，OC′＝3OC；
③连接A′B′、B′C′、A′C′，则△A′B′C′即为所求；
知2－练
(2)B'C'的长度为______个单位长度，△A'B'C'的面积为______个平方单位．
3
解题秘方：利用勾股定理和三角形的面积公式计算即可．
9
知2－练
方法提醒
在网格图中作位似图形的方法：
1. 确定位似中心，画出以位似中心为端点且经过原图关键点的射线；
2. 确定对应点，利用网格长度和放大的倍数(或缩小的分数)，在射线上截取符合条件的长度，找出对应点；
3. 确定位似图形，依次连接对应点即可.
知3－讲
知识点
平面直角坐标系中的位似
3
1. 位似变换时对应点的坐标变化规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky) 或(－kx，－ky).
知3－讲
2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换.
知3－讲
(2)在平面直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；
②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
知3－讲
③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；
④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于变换后的图形与变换前的图形的相似比.
知3－讲
特别解读
当位似图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)；当位似图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky).
当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；
当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k.
知3－练
如图6.6-4，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分
别为(3，－1)，(2，1).
例 3
知3－练
解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换时对应点的坐标的变化规律求对应点的坐标.
知3－练
解：如图6.6-4，△OB′C′
即为所求.
(1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2 倍(即新图形与原图形的相似比为2∶1)的位似图形△OB′C′；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的对应点M′的坐标.
知3－练
解：点B′、C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2).
点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x，－2y).
知3－练
特别提醒
以原点为位似中心的位似图形的坐标变化一定要注意坐标符号的变化. 简单地说，若两图形在原点同侧，则坐标符号不变，若两图形在原点异侧，则坐标符号相反.
图形的位似
位似图形
画法
坐标规律
定义
性质(共16张PPT)
6.5 相似三角形的性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的性质
知识点
相似三角形的性质
知1－讲
1
1. 定理 相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2. 符号语言 如图6.5-1，若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则＝
k，＝k2 .
知1－讲
3. 相似多边形的性质定理
(1)相似多边形周长的比等于相似比；
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知1－讲
特别解读
1. 相似三角形的性质还有对应角相等、对应边成比例；
2. 相似三角形周长的比与面积的比不能混淆，相似比等于周长的比，等于面积比的算术平方根．
知1－练
例 1
[期末·南京] 如图6.5-2，在△ABC中，DE∥BC， ＝，则下列结论中正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
知1－练
解题秘方：紧扣相似三角形的判定与性质逐一判断．
解：由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，所以＝＝＝，故选项A，B错误；＝，故选项C正确；＝2＝，故选项D 错误．
答案：C
知1－练
方法点拨
利用相似三角形的性质进行计算时，先要确定两个三角形的相似比，然后再利用相似三角形的性质写出线段(或周长、面积等)的比例式.
●注意：运用性质不仅可以计算周长、面积，还可以表示对应角相等、对应边成比例.
知2－讲
知识点
相似三角形对应线段的性质
2
1. 定理 相似三角形对应线段的比等于相似比.
2. 符号语言
(1)相似三角形对应高的比等于相似比(k). 如图6.5-3，如果△ABC∽△A′B′C′，AD、
A′D′分别为对应边BC、B′C′
上的高，则＝k.
知2－讲
(2)相似三角形对应边上中线的比等于相似比(k). 如图6.5-4，如果△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别为对应边BC、B′C′上的中线，则＝k.
知2－讲
(3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比(k). 如图6.5-4，如果△ABC∽△A′B′C′，BE、B′E′分别为对应角∠ABC、∠A′B′C′的平分线，则＝k.
知2－讲
特别解读
1. 相似三角形的“对应线段”一般指三角形的“对应高线”“对应中线”“对应角平分线”，但实际上还包括相似三角形中处在对应位置的所有对应线段，如相似三角形对应边的中位线等；
2. 书写符号语言时，要找准对应线段，注意符号的顺序性，要写在对应位置，不能颠倒相似三角形中元素的顺序.
知2－练
[模拟·南通] 如图6.5-5，D、E分别是AC、AB上的点，且∠CDE＋∠B＝180°，F、G分别是DE、BC的中点. 若AD＝3，AB＝5，AG＝4，
则AF的值为( )
A. B.
C. D.
例 2
知2－练
解题秘方：首先根据相似三角形的判定得出△EAD ∽ △CAB，进而得出＝，即可得出答案.
解：∵∠CDE＋∠B＝180°，∠ADE＋∠CDE＝180°，∴∠ADE＝∠B.
又∵∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，
∴ ＝，∴＝，∴ AF＝.
答案：A
知2－练
特别警示
利用相似三角形的性质求线段长度的前提是两个三角形必须相似. 若已知条件没有相似，则先证明与已知(或待求)的边有关的三角形相似，然后再运用相似三角形的性质进行计算.
相似三角形的性质
相似
三角
形的
性质
边、角
对应边成比例，对应角相等
周长
周长的比等于相似比
面积
面积的比等于相似比的平方
对应线段
对应线段的比等于相似比(共35张PPT)
6.4 探索三角形相似的条件
第6章 图形的相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行线分线段成比例
利用角的关系判定两个三角形相似
利用边角关系判定两个三角形相似
利用三边关系判定两个三角形相似
三角形的重心
知识点
平行线分线段成比例
知1－讲
1
1. 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线
被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言： 如图6.4-1 所示，
∵ l3∥l4∥l5，∴＝，＝，＝ .
可简记为：＝，＝，＝.
平行线分线段成比例
知1－讲
2. 平行线法 平行于三角形一边的直线与其他两边(所在直线)相交，所截得的三角形与原三角形相似.
符号语言：
如图6.4-2 所示，
∵ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
知1－讲
要点解读
1. 一组平行线(如图6.4-1 l3、l4、l5)两两平行，被截直线(如图6.4-1 l1、l2)不一定平行；
知1－讲
2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；
3. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
知1－练
例 1
[一模· 淮安] 如图6.4-3， 已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，
且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为______．
3.6
知1－练
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解决问题即可．
解：∵ a∥b∥c，∴＝(两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例)．
∵ AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，
∴＝，解得DE＝3.6．
知1－练
解法提醒
在题目中，遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：
一是角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；
二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.
知2－讲
知识点
利用角的关系判定两个三角形相似
2
1. 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似.
2. 符号语言
如图6.4-4 所示，在△ABC和
△DEF中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.
知2－讲
3. 常见的相似三角形的类型
(1)平行线型：如图6.4-5 ①， 若DE∥BC， 则△ADE∽△ABC.
(2)斜交型：如图6.4-5 ②， 若∠AED＝∠B， 则△AED∽△ABC.
知2－讲
(3)“子母”型：如图6.4-5 ③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
知2－讲
(4)“K”型：如图6.4-5 ④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.
(5)旋转型：如图6.4-5 ⑤， 若∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC，则△ADE∽△ABC.
知2－讲
特别提醒
由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
知2－练
如图6.4-6，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是________________________．
例 2
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明与△AOE相似的三角形．
△BOD或△BCE或△ACD
知2－练
解：由∠AEO＝∠BDO＝90°，∠AOE＝∠BOD，
可得△AOE∽△BOD，所以∠OAE＝∠CBE.
又因为∠AEO＝∠BEC＝90°，
所以△AOE∽△BCE.
因为∠AEO＝∠ADC＝90°，∠OAE＝∠CAD，
所以△AOE∽△ACD．
知2－练
思路点拨
用两角分别相等来判定三角形相似是中考中最常见的题型，应掌握好寻找等角的方法，同时要注意图形中隐含的等角条件，如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等.
知3－讲
知识点
利用边角关系判定两个三角形相似
3
1. 相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2. 符号语言 如图6.4-7 所示，
在△ABC和△DEF中，
∵＝，且∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DEF.
知3－讲
特别提醒
运用该定理判定两个三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
知3－练
如图6.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP.
例 3
解题秘方：紧扣“利用边角关系判定两个三角形相似的定理”证明即可.
知3－练
证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵ Q是CD的中点，BP＝3PC，∴ DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴＝＝2. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°. 在△ADQ和△QCP中， ＝，∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
知3－练
技巧点拨:
利用两边成比例且夹角相等证两个三角形相似的方法：
先找出两个三角形中相等的角；
再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；
最后看这两组对应边是否成比例，若成比例, 则两个三角形相似，否则不相似.
知4－讲
知识点
利用三边关系判定两个三角形相似
4
1. 相似三角形的判定定理 三边成比例的两个三角形相似.
2. 符号语言 如图6.4-9 所示，在△ABC和△DEF中，
∵＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
知4－讲
特别提醒
应用时要注意比的顺序性，同时要注意边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路找对应边.
知4－练
图6.4-10、图6.4-11 中小正方形的边长均为1，则图6.4-11 中的哪一个三角形(阴影部分)与图6.4-10 中的△ABC相似？
例 4
知4－练
解题秘方：利用网格的特征及勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”进行判断.
解：易知AC＝，BC＝2，AB＝ .
图6.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1，，2；
图6.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1，，；
图6.4-11 ③中，三角形的三边长分别为，，3；
图6.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2，，.
∵＝＝＝ ，
∴图6.4-11 ②中的三角形与图6.4-10 中的△ABC相似.
知4－练
知4－练
方法规律
利用三边成比例判定两个三角形相似的方法：
1. 排：把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；
2. 算：分别计算小、中、大三组对应边的比;
3. 定：最后看三组比是否相等，若相等，则判定两个三角形相似，否则不相似.
知5－讲
知识点
三角形的重心
5
1. 定义 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
2. 符号语言 如图6.4-12， 在△ABC中，
AD、BE、CF分别是△ABC的三条中
线，且它们相交于点G，则点G是
△ABC的重心．反之，也成立．
知5－讲
3. 特别解读 根据三角形相似的性质能得出：
三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2 的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点的对边中点的距离的2 倍.
知5－练
拓展提高
重心的性质：
如图6.4-12，点G是△ABC的重心，可得
(1)＝＝＝；
(2)S△ABG＝S△BCG＝S△ACG＝2S△AFG＝2S△BDG＝2S△CEG.
知5－练
如图6.4-13，已知点M是△ABC的重心，AB＝18，
MN∥AB，则MN＝_______．
例 5
解题秘方：紧扣三角形重心的性质，结合相似三角形的知识列式计算求解．
6
知5－练
解：∵点M是△ABC的重心，AB＝18，
∴ AD＝DB＝AB＝9，＝．
根据MN∥AB，易得△CMN∽△CDB．
∴＝＝，即＝．解得MN＝6．
知5－练
特别提醒
三角形重心的性质与“由平行，得相似”的结论在填空、选择题中可以直接应用，而在证明题中不能直接应用，需要增加适当的说理.
探索三角形相似的条件
相似三角
形的判定
平行线分线段成比例
相似三角形的判定定理
三角形的重心
平行线截对应
线段成比例
平行线截三
角形相似(共25张PPT)
6.3 相似图形
第6章 图形的相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
相似形
相似多边形
相似三角形
知识点
相似形
知1－讲
1
1. 定义 形状相同的图形叫做相似形.
2. 两个关系
(1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
知1－讲
(2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等.
知1－讲
特别解读
1. “形状相同”是判定相似图形的唯一条件.
2. 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关.
知1－练
例 1
[月考· 靖江] 观察下列图形，是相似图形的一组是( )
知1－练
解题秘方：紧扣相似图形的定义，对各选项依次分析，排除错误答案．
解：选项A、C、D 中的两个图形形状不相同，不符合相似图形的定义，选项B 中的两个图形虽然大小不同，但形状相同，符合相似图形的定义，此选项符合题意．
答案：B
知1－练
特别提醒
判断两个图形是否相似，只看其形状是否相同，而不考虑其他因素. 对于选项C，不要误认为都是矩形就相似.
知2－讲
知识点
相似多边形
2
1. 相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形.
2. 相似比的定义 相似多边形的对应边的比叫做相似比.
3. 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
知2－讲
相似多边形 图示
示例 若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，＝＝＝，则四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似.
知2－讲
相似多边形 记法 “四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似”记作“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.
读法 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1.
续表
知2－讲
要点提醒
1. 判定相似多边形的条件：
①所有的角分别对应相等；
②所有的边对应成比例.
2. 相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数.
3. 相似比与两个多边形的先后顺序有关.
知2－练
如图6.3-1， 梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥ BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°
例 2
解题秘方：紧扣“相似多边形的性质及相似比的定义”进行计算.
知2－练
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
解：k＝＝＝.
知2－练
(2)求A′B′和BC的长；
解：∵梯形ABCD与梯形A′B ′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝，∴ ＝，＝.
又∵ AB＝6，B′C′＝12，∴ A′B′＝9，BC＝8.
知2－练
(3)求∠D′的大小.
解：∵ AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.
由题意知∠D′＝∠D，∴∠D′＝120°.
知2－练
解法提醒
1. 求两个相似多边形的相似比时，要注意这两个多边形的先后顺序.
2. 利用相似多边形的性质求边长或角度时，找准对应边和对应角是解决问题的关键. 需要注意的是对应边是比相等，而对应角是相等.
知3－讲
知识点
相似三角形
3
1. 相似三角形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个三角形称为相似三角形.
知3－讲
2. 特别解读
(1)相似用符号“∽”表示，记两个三角形相似时，应把对应顶点的字母写在对应的位置上. 如图6.3-2，△ABC相似于△A′B′C′，记作△ABC∽△A′B′C′，对应边的比，如叫做相似比.
知3－讲
(2)相似比是有顺序的. 如图6.3-2，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是＝＝＝k，如果写成△A′B′C′∽△ABC，那么它们的相似比为＝＝＝k′，因此k＝.
(3)全等用符号“≌”表示，
对应边相等，此时相似比 “k＝1”.
知3－讲
要点提醒
1. 判断两个三角形相似的条件：
(1)三角形的三组角分别对应相等；
(2)三角形的三组边对应成比例.
2. 相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
3. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
知3－练
[期末·无锡] 如图6.3-3，AB∥CD，AD、BC相交于点O，AB＝6，CD＝9，AD＝10，OD＝6，BO＝3，OC＝4.5，求证：△ABO∽△DCO.
例 3
解题秘方：紧扣相似三角形的定义列出相似的条件求解.
知3－练
证明：∵ AD＝10，OD＝6，∴ AO＝4．
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴ ＝ ＝．
∵ AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D．
又∵∠AOB＝∠DOC，∴△ABO∽△DCO．
知3－练
如果△ABO∽△DCO，则＝＝就是两个三角形的相似比，即k＝．
相似图形
相似
图形
相似三角
形的定义
相似三角
形的性质
相似多边
形的定义
相似多边形
的性质(共18张PPT)
6.2 黄金分割
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
黄金分割
黄金矩形(了解)
知识点
黄金分割
知1－讲
1
1. 定义 像图6.2-1那样，点B把线段AC分成两部分，如果＝， 那么称线段AC被点B黄金分割(golden Section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC与AB)的比称为黄金比，它们的比值为，
在计算时，通常取它的近似值0.618．
知1－讲
2. 黄金比通俗说法
如图6.2-2，则黄金比＝＝＝≈ 0.618.
知1－讲
特别解读
1. 黄金比是线段的比，是成比例线段的一个具体应用；
2. 一条线段的黄金分割点有两个；
3. 黄金比的值是一个无理数，没有单位.
知1－讲
知识拓展
黄金分割点尺规作图：如图6.2-3，
先作出AB的中点，然后过点B作BF⊥
AB，在BF上截取BD，使BD＝AB，
连接AD， 在线段AD上截取DE＝DB， 在线段AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的一个黄金分割点．
知1－练
例 1
[期末·盐城] 点B是线段AC的黄金分割点，且ABA. B. C. ＋1 D. －1
解题秘方：紧扣黄金分割的定义计算．
知1－练
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB∴＝，即BC＝AC．
∵ AC＝2，∴ BC＝－1．
答案：D
知2－讲
知识点
黄金矩形(了解)
2
定义 若矩形的两条邻边的长度的比值等于黄金比
(约为0.618)，就称这个矩形为黄金
矩形．
如图6.2-4，如果＝，则矩形ABCD为黄金矩形；反之，如果矩形ABCD为黄金矩形，则＝ ．
知2－讲
黄金三角形(拓展)：
我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形. 它的腰长与底边长的比或底边长与腰长的比等于．
知2－练
[模拟·南京] 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形. 如图6.2-5 ①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝ .
例2
知2－练
(1)求黄金矩形ABCD中BC边的长；
解题秘方：紧扣黄金矩形的定义列出比例式计算；
解：∵ 矩形ABCD为黄金矩形，宽AB＝，
∴＝＝，
∴ BC＝＝＝．
知2－练
黄金分割的计算，常与二次根式的运算有关．当分母中含有二次根式时，常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式的式子，把分母中的根号化去．
知2－练
(2)如图6.2-5 ②，将图6.2-5 ①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．
知2－练
解题秘方：先根据矩形的裁剪计算出BE、EC 的长，然后证明EC和DC的比值是即可．
知2－练
解：矩形DCEF是黄金矩形．证明：
由题可知，BE＝AF＝EF＝DC＝AB＝，
∴ EC＝BC－BE＝－＝，
∴＝＝＝．
∴矩形DCEF是黄金矩形．
知2－练
解题通法
证明黄金矩形有两种思路：
1. 根据黄金分割点的定义证明. 如此题可通过证明EC∶CD＝CD∶BC(即CD是CE和BC的比例中项)成立来证明；
2. 根据黄金矩形的定义证明， 如此题通过证明EC∶DC＝ 来证明．
黄金分割
黄金
分割
拓展
黄金矩形
黄金三角形
定义
黄金分割点
黄金比＝
(约为0.618)(共28张PPT)
6.1 图上距离与实际距离
第6章 图形的相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
线段的比
成比例线段
比例的性质
比例中项
知识点
线段的比
知1－讲
1
1. 定义 两条线段的长度的比叫做两条线段的比.
2. 特别提醒
(1)量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比可以写成AB∶CD＝m∶n，也可以写成＝. 若＝k，则＝k或AB＝k·CD.
知1－讲
(2)在量线段时，两条线段的长度应用同一长度单位表示，如果长度单位不同，应先化成同一长度单位，再求它们的比.
(3)两条线段的比值，没有单位，它与所采用的长度单位无关.
知1－讲
深度解读
AB∶CD＝m∶n ＝
两条线段的比具有顺序性，要明确比的前项和后项分别是哪一条线段.
前项
后项
前项
后项
知1－练
例 1
[期末·宿迁宿豫区] 如果在比例尺为1∶100的图纸上，某个工件的长为3.4 厘米，那么这个工件的实际长为 ________米.
解题秘方：紧扣比例尺的计算方法进行解答，但要注意统一单位．
3.4
知1－练
解：设这个工件的实际长为x米，3.4 厘米＝0.034米.
根据题意，得0.034∶x＝1∶100，
所以x＝3.4，即这个工件的实际长为3.4 米.
知1－练
方法技巧
比例尺＝图上距离∶实际距离．
图上距离＝实际距离×比例尺．
实际距离＝图上距离÷ 比例尺.
(注意统一单位)
知2－讲
知识点
成比例线段
2
1. 定义 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.
2. 注意 有四条线段a、b、c、d，若a∶b＝c∶d或＝，则a、b、c、d是成比例线段，a、b、c、d是比例的项，b、c是比例的内项，a、d是比例的外项.
知2－讲
特别提醒
线段a，b，c，d成比例线段，只可以写成＝或a：b＝c：d，即四条线段a，b，c，d成比例线段是有顺序的，不能随便更改位置，否则就容易出现错误.
知2－练
[期中·泰州] 下面四条线段中是成比例线段的是( )
A. a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
B. a＝3，b＝6，c＝9，d＝12
C. a＝1，b＝，c＝，d＝
D. a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
例 2
解题秘方：紧扣“成比例线段的定义”进行判断.
知2－练
答案：C
解：
选项 从小到大排列 计算 是否为成比例线段
A 1，2，3，4 ≠或1×4≠2×3 否
B 3，6，9，12 ≠或3×12≠6×9 否
C 1，，， =或1×=× 是
D 1，2，4，6 ≠或1×6≠2×4 否
知2－练
解题通法
判断四条线段是否是成比例线段的方法：
先将线段长度单位统一并按长度的大小排序，然后，
方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；
方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等.
若相等，则这四条线段是成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段.
知3－讲
知识点
比例的性质
3
1. 比例的基本性质 如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc.
(1)基本性质中的条件“a∶b＝c∶d”与结论“ad＝bc”是互逆的， 即如果ad＝bc(b ≠ 0，d ≠ 0) 成立， 那么a∶ b＝c∶d也成立.
(2)“＝”是比例式(或称为等比式)，“ad＝bc”是等积式.
知3－讲
2. 比例的相关性质(拓展)
(1)连比性质：a∶c∶m＝b∶d∶n ＝＝(a、b、c、d、m、n均不为0).
(2)合比性质：＝ ＝(b≠0，d≠0).
(3)等比性质：＝＝…＝ ＝(b＋d＋…＋n ≠ 0).
知3－讲
若a、b、c、d满足ad＝bc，且a、b、c、d均不为0， 则＝，＝，＝，＝.
知3－练
已知＝＝≠ 0，求的值.
例 3
解题秘方：紧扣“比例的性质”用消元法或参数法求解.
解：由＝，得b＝；由＝，得c＝.
∴原式＝＝＝.
知3－练
另解
设＝＝＝k(k ≠ 0)，则a＝3k，b＝4k，c＝5k.
原式＝＝ .
知3－练
如图6.1-1， 在△ABC中，AB＝12 cm，AE＝6 cm，
EC＝4 cm，且＝ .
例 4
知3－练
(1)求AD的长；
解题秘方：用AD表示出BD，代入＝中，解方程即可.
解：设AD＝x cm，则BD＝AB－AD＝(12－x)cm.
∵ ＝，∴＝，解得x＝7.2 . ∴ AD＝7.2 cm.
知3－练
(2)求证：＝.
解题秘方：根据等式的性质将比例式进行转化.
证明：∵ ＝，
∴＝ ，即＝ . ∴ ＝.
知3－练
方法规律
1. 在几何图形中求线段的长度，可以先设出未知线段的长度，然后将数据代入比例式，利用方程思想与比例的基本性质计算出未知线段的长度；
2. 在几何图形中证明比例式，既可以将数据代入证明，又可以利用比例的性质进行推理证明.
知4－讲
知识点
比例中项
4
1. 在比例式a∶b＝b∶c中，b叫做a和c的比例中项.
2. 根据比例中项的定义可得比例式a∶b＝b∶c或等积式b2＝ac，具体用哪种形式，要依据情况而定.
知4－讲
特别解读
如果a、c表示线段的长度，那么a、c的比例中项只有一个，是；如果a、c表示数(a、c同号)，那么a、c的比例中项有两个，它们是±.
知4－练
[期中·宿迁] 已知a∶c＝3∶2，且c是a、b的比例中项，则c∶b＝( )
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 9∶4 D. 4∶9
例 5
解题秘方：紧扣比例的基本性质和比例中项的定义列方程进行求解．
知4－练
解：由a∶c＝3∶2，得c＝a．
由c是a、b的比例中项，得c2＝ab，
则b＝＝2÷a＝a．所以c∶b＝∶a＝3∶2．
答案：A
知4－练
解法提醒
若线段x是线段a、b的比例中项，根据内项之积等于外项之积，可得x2＝ab， 根据比例的性质可得＝，＝，然后再根据已知条件，进行变形、代入求解即可．
图上距离与实际距离
图上距离
与实际距离
比例的
基本性质
比例中项
线段的比
成比例线段
