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分课时教学设计
第一课时《19.2.1.2正比例函数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在学习本节课之前，学生已经学面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图象的方法为后面学习一次函数、反比例函数的图象和二次函数打下良好基础．通过观察图象的变化得到其性质是学习函数性质的通用方法．因此，本节课具有承上启下的重要作用．
学习者分析 学生在前面的学习中已经掌握了函数图象的作图步骤，能通过描点法实现函数解析式与函数图象的转化，但在《函数的图象》的学习中发现学生普遍存在作图慢的问题，本节多个函数作图可能会耗费较长时间，除此以外，我所教授的班级，学生分析图形的能力不强，难以建立形与数的联系，基于以上事实，本节课的教学难点是画正比例函数图象和由正比例函数图象概括其性质
教学目标 1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象． 2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．
教学重点 理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象
教学难点 掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 问题1：什么是正比例函数？ 下列函数哪些是正比例函数？ （1）y=－3x ； （2）y= x + 3； （3）y= 4x； （4）y= x2. 问题2：描点法画函数图象的三个步骤是______、______、______.学生活动1： 学生思考回答活动意图说明： 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．环节二：教师活动2： 画出下列正比例函数的图象： （1）y = 2x，y =x； 解：函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数. 列表如下： y=x 描点（在直角坐标系中描出表格中数对对应的点）； 连线（连接直角坐标系中的点），如图. 思考1 对于正比例函数y=kx, 当k>0时，它的图象形状是什么？位置怎样？ 观察发现：当k>0时，函数图像是经过原点的 ．而且都经过第 象限. 学生活动2： 在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．活动意图说明：学生自己动手作图，建立数与形的联系，初步感受正比例函数的图象和变化规律，为后面的观察图象特征，引导学生观察图象，从形状、位置、增减性描述函数的性质，为以后函数性质的学习提供探究的角度.环节三：教师活动3： （2）y = -1.5x，y = -4x； ①列表：自变量x的取值范围为任意实数 y = -1.5x y = -4x ②描点； ③连线. 观察发现：当k<0时，函数图像是经过原点的 ．而且都经过第 象限. 归纳总结： 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.学生活动3： 学生独立完成作图过程，教师针对个别学生进行指导，然后学生观察、分析图象，概括性质.教师通过几何画板进行演示，类比刚刚的结论，概括当k<0时正比例函数的性质.活动意图说明：让学生模仿前面的步骤，根据刚刚积累的经验，由前面的探究过程，学生自然而然的能认识到，k值不同，函数图象就不同，经过的象限、增减性也不同，渗透分类讨论思想.环节四：教师活动4： 经过原点与点（1，k）（k 是常数，k ≠ 0）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k 是常数，k ≠ 0) 的直线，即正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象. 学生活动4： 学生合作探究交流得出结论活动意图说明：简化作图步骤，知道两点法作图的原理
板书设计 1.正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线. 2.两点作图法： 两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)（k是常数，k≠0），连线即可. 3.正比例函数的性质 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象,当k>0时,直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时,直线经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．正比例函数y＝2x的大致图象是( ) 2．若正比例函数y＝kx的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( ) A．1 B．0或1 C．±1 D．－1 3．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(3，m)，B(n，－2)，那么一定有( ) A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 4．若正比例函数y＝kx的图象经过三点A(－2，6)，B(－3，1)，C(1，－3)中的两点，则k的值为 __________． 选做题： 5.已知 y = y1+y2，y1与 x 成正比例，y2 与 x-1 成正比例，且当 x = 3 时，y = 4；当 x = 1是，y = 2. 求 y 关于 x 的函数解析式. 【综合拓展类作业】 6．如图，在平面直角坐标系中，点A(3，7)在正比例函数的图象上． (1)求正比例函数的解析式； (2)若点B(1，0)和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为( ) A.- B. C.- D. 2.若正比列函数的图象经过点(-2，1)， 则这个图象必经过点( ) A. (2，1) B. (-1，-2) C. (2，-1) D. (1， -2) 3.已知关于 x 的正比例函数 y = (m+1) ，若 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为______. 4.若正比例函数y=(m-1)x的图像经过点A(x1,y1)和B（x2,y2),当x1＜x2时， y1 ＞y2,则m的取值范围是 。 选做题： 5.已知正比例函数图像经过点，求： (1)这个函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数图像上； (3)图像上两点，，如果，比较，的大小． 【综合拓展类作业】 6. 某商品的售价 y（单位：元）与质量 x（单位：kg）之间的关系如下表： （1）由上表写出售价 y 随质量 x 变化的函数解析式，并画出函数的图象； （2）购买 5.5 kg 这种商品应付多少元？
教学反思 本节课的教学中，渗透数形结合思想和分类讨论思想很重要，因此在设计本节课时，让学生通过亲手作图，实现数与形的转化，再历经观察、分析、概括等过程，总结出正比例函数的图象特征和性质，体会k值不同，正比例函数的图象与性质就不同.借助几何画板软件，动态演示变化过程，使学生直观感受到y随x的变化规律和k值对函数图象的影响，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，促进了信息技术与数学课程的融合.为防止学生在作图上浪费太长时间，让学生在上课前准备好了方格纸，省去了画直角坐标系的过程，加快描点的速度，避免了不必要的时间浪费.表格式的板书设计清晰有条理，很好的展示了本节课的所有知识点.
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19.2.1.2正比例函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．
新知导入
问题1：什么是正比例函数？
下列函数哪些是正比例函数？
（1）y=－3x ； （2）y= x + 3；
（3）y= 4x； （4）y= x2.
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是______、______、______.
(1)(3)
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数
列表
描点
连线
新知讲解
画出下列正比例函数的图象：
（1）y = 2x，y =x；
解：函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数. 列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
y=x
x … -3 -6 0 3 6 …
y … -1 -2 0 1 2 …
新知讲解
描点（在直角坐标系中描出表格中数对对应的点）；
连线（连接直角坐标系中的点），如图.
y = 2x
y = x
新知讲解
9
思考1 对于正比例函数y=kx,
当k>0时，它的图象形状是什么？位置怎样？
观察发现：当k>0时，函数图像是经过原点的 ．而且都经过第 象限.
一、三
直线
典例精析
9
9
18
（2）y = -1.5x，y = -4x；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 3 1.5 0 -1.5 -3 -4.5 …
x … -1 0 1 …
y … 4 0 -4 …
y = -1.5x
y = -4x
①列表：自变量x的取值范围为任意实数
新知讲解
y = -1.5x
y = -4x
②描点；
③连线.
观察发现：当k<0时，函数图像是经过原点的 ．而且都经过第 象限.
直线
二、四
归纳总结
一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.
新知讲解
经过原点与点（1，k）（k 是常数，k ≠ 0）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k 是常数，k ≠ 0) 的直线，即正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．正比例函数y＝2x的大致图象是( )
2．若正比例函数y＝kx的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( )
A．1 B．0或1 C．±1 D．－1
B
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(3，m)，B(n，－2)，那么一定有( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
4．若正比例函数y＝kx的图象经过三点A(－2，6)，B(－3，1)，C(1，－3)中的两点，则k的值为 __________．
B
－3
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知 y = y1+y2，y1与 x 成正比例，y2 与 x-1 成正比例，且当 x = 3 时，y = 4；当 x = 1是，y = 2. 求 y 关于 x 的函数解析式.
解：设 y1 = mx (m ≠ 0)，y2 = n(x-1) (n ≠ 0)，则 y = y1 + y2 = (m+n)x-n.
根据题意，
3(m+n)-n = 4，
m+n-n = 2，
m = 2，
n = -1.
得 解得
因此，y 关于 x 的函数解析式是 y = x + 1.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．如图，在平面直角坐标系中，点A(3，7)在正比例函数的图象上．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若点B(1，0)和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)设正比例函数的解析式为y＝kx，
∵点A(3，7)在正比例函数的图象上，
∴7＝3k，
∴k＝，
∴正比例函数的解析式为y＝x
(2)设点C(a，0)，
∵△ABC的面积是17.5，点B(1，0)，
∴·|1－a|·7＝17.5，
∴a＝6或a＝－4，
∴点C的坐标为(－4，0)或(6，0)
课堂总结
正比例函数的图象和性质
图象：
性质：
经过原点的直线
当 k > 0 时，经过第三、第一象限
当 k < 0 时，经过第二、第四象限
当 k > 0 时，直线 y = kx 从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当 k < 0 时，直线 y = kx 从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小；
板书设计
1.正比例函数的图像
3.正比例函数的性质
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象,当k>0时,直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时,直线经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
2.两点作图法：
两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)（k是常数，k≠0），连线即可.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为( )
A.- B. C.- D.
2.若正比列函数的图象经过点(-2，1)， 则这个图象必经过点( )
A. (2，1) B. (-1，-2) C. (2，-1) D. (1， -2)
B
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.已知关于 x 的正比例函数 y = (m+1) ，若 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为______.
4.若正比例函数y=(m-1)x的图像经过点A(x1,y1)和B（x2,y2),当x1＜x2时，
y1 ＞y2,则m的取值范围是 。
-2
m<1
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.已知正比例函数图像经过点，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．
（1）解：正比例函数的图象经过点，
时，
解得
这个函数的解析式为；
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）解：将代入中得：，
点不在这个函数图象上；
（3）解： ，
随x的增大而减小，
又
．
作业布置
【综合拓展类作业】
6.某商品的售价 y（单位：元）与质量 x（单位：kg）之间的关系如下表：
（1）由上表写出售价 y 随质量 x 变化的函数解析式，并画出函数的图象；
（2）购买 5.5 kg 这种商品应付多少元？
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（1）由表中数据观察到质量 x 每增加 1 kg，售价就增加 2.4 元，这样的变化规律可以表示为 y = 2.4x（x ≥ 0）. 这个函数的图象如图所示.
（2）当 x = 5.5 时，y = 2.4×5.5 = 13.2，
所以购买 5.5 kg 这种商品应付 13.2 元.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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