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分课时教学设计
第一课时《19.2.2.1一次函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是一次函数的概念，在学习本节课之前，学生已经学习了正比例函数的概念，这为本节课的学习打下了基础．一次函数既为前面学过的正比列函数知识得以概括和升华，也为后面学习函数知识打下了坚实的基础，因此，一次函数的概念学习起到了承上启下的作用．
学习者分析 学生已经学习了正比例函数的概念和图象的性质，对函数的知识有了初步的认识。知道正比例函数的概念是根据实际问题，列出有共同特点的解析式归纳出来的。我们可以类比于学习正比例函数的概念的方法来学习一次函数的概念，但是学生的理解能力差，从实际问题列出解析式有一定困难，还有在运用一次函数概念解决问题时，容易忽略解析式中比例系数 k≠0的条件。因此，本节的难点是：依据数量关系确定一次函数关系式。
教学目标 1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系； 2.能利用一次函数解决简单的实际问题
教学重点 1.一次函数的概念． 2．根据已知信息写出一次函数的解析式．
教学难点 理解一次函数的概念及与正比例函数的关系
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为 y=5-6x 这个函数也可以写为 y=-6x+5 当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值， 即 y=-6×0.5+5=2(℃) 思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过生活中的例子，引出本节课的内容，通过设问引发思考，激发学习兴趣．环节二：新知探究教师活动2： 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同点？ (1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差.____________________. (2)一种计算成年人标准体重m(单位:kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是m的值.___________. (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话 x min的计时费(按0.1元/min收取).____________. (4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积y(单位:cm2)随x的变化而变化.______________________. 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) c = 7t-35 (20≤t≤25) (2) m = h-105 (3) y = 0.1x+22 (4) y = -5x+50 (0≤x＜10) 正如函数 y=-6x+5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 归纳总结： 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.特别注意：k≠0，自变量x的指数是1. 讨论:当b=0时,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)是之前学过的什么函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数学生活动2： 学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程．活动意图说明：从大量生动有趣的实际问题情景出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念．环节三：典例精析教师活动3： 例、已知函数y＝(k－2)x＋k2－4. (1)当k取何值时，y是x的一次函数？k≠2时，y是x的一次函数. (2)当k取何值时，y是x的正比例函数？ 解：(1)由题，得k－2≠0，k≠2. (2)由题，得解得k＝－2. ∴当k＝－2时，y是x的正比例函数.学生活动3： 学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法活动意图说明：通过例题和变式训练，进一步巩固对一次函数的概念及在实际问题中建立一次函数模型的掌握
板书设计 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列函数中,是一次函数的是( ) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝3x－5 D．y＝ 2.若函数y＝(m－1)x|m|＋2是一次函数,则m的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．2 3.若函数y= (m-2)x+5-m是关于x的一次函数，则m______；若函数是关于x的正比例函数，则m的值是______，此时函数解析式为__________. 4.若y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的____________. 5.根据图中的程序，当输入数值x为-2时，输出数值y为______. 选做题： 6.一个弹簧不挂重物时长14．2 cm,挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1 kg的物体后,弹簧伸长0.7 cm. (1)求弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式; (2)求所挂物体质量为5 kg时弹簧的长度. 【综合拓展类作业】 7.如图，已知点A(8，0)及在第一象限的动点P(x， y)，且x＋y＝10，△OPA的面积为S. (1)求S关于x的函数表达式； (2)求x的取值范围； (3)当S＝12时，求点P的坐标； (4)△OPA的面积能大于40吗？为什么？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于x的函数是一次函数的是( ) A．y＝ B．y＝ C．y＝x2－1 D．y＝3x 2．函数y＝(2m－1)＋(m－5)是关于x的一次函数的条件为( ) A．m≠5且n＝－2 B．n＝－2 C．m≠且n＝－2 D．m≠ 3．等腰三角形的周长是40 cm,腰长y(cm)关于底边长x(cm)的函数解析式是( ) A．y＝－0.5x＋20( 0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20) C．y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20) 4．若函数y＝2xm＋3是一次函数,则m的值为___. 选做题 5．已知函数y＝(k－3)x＋k2－9． (1)当k取何值时,y是x的一次函数; (2)当k取何值时,y是x的正比例函数 【综合拓展类作业】 6.甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值．
教学反思 本节课我用了希沃白板课件教学，整节课紧扣重难点开展，课堂设置问题，学生进行小组讨论，学生参与度高，充分调动了学生学习的积极性。通过生活中四个实例，学生思考后写出解析式，观察四个函数解析式的特点，得出一次函数的概念，主要是一次函数的基本形式y=kx+b（k≠0），及其特例正比例函数。
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19.2.2.1一次函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题
新知导入
问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系.
分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加
x km时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为
y=5-6x
这个函数也可以写为 y=-6x+5
新知导入
当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值，
即 y=-6×0.5+5=2(℃)
思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什
么不同？
新知讲解
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同点？
(1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差.____________________.
(2)一种计算成年人标准体重m(单位:kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是m的值.___________.
c=7t-35(20≤t≤25)
m=h-105
新知讲解
(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话 x min的计时费(按0.1元/min收取).____________.
(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积y(单位:cm2)随x的变化而变化.______________________.
y=0.1x+22
y=-5x+50(0≤x＜10)
新知讲解
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) c = 7t-35 (20≤t≤25) (2) m= h-105
(3) y = 0.1x+22 (4) y = -5x+50 (0≤x＜10)
正如函数 y=-6x+5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
归纳总结
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.
特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
讨论:当b=0时,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)是之前学过的什么函数
正比例函数.
正比例函数是一种特殊的一次函数
典例精析
例、已知函数y＝(k－2)x＋k2－4.
(1)当k取何值时，y是x的一次函数？k≠2时，y是x的一次函数.
(2)当k取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)由题，得k－2≠0，k≠2.
(2)由题，得解得k＝－2.
∴当k＝－2时，y是x的正比例函数.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列函数中,是一次函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝3x－5 D．y＝
2.若函数y＝(m－1)x|m|＋2是一次函数,则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.若函数y= (m-2)x+5-m是关于x的一次函数，则m______；若函数是关于x的正比例函数，则m的值是______，此时函数解析式为__________.
4.若y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的____________.
5.根据图中的程序，当输入数值x为-2时，输出数值y为______.
≠2
5
y=3x
一次函数
6
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.一个弹簧不挂重物时长14．2 cm,挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1 kg的物体后,弹簧伸长0.7 cm.
(1)求弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式;
(2)求所挂物体质量为5 kg时弹簧的长度.
解:(1)∵弹簧总长y＝弹簧不挂重物时的长度＋挂上重物后伸长的长度,
∴y关于x的函数解析式为y＝0.7x＋14.2．
(2)当x＝5时,y＝0.7×5＋14．2＝17.7．
答:当所挂物体的质量为5 kg时弹簧的长度为17.7 cm.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，已知点A(8，0)及在第一象限的动点P(x， y)，且x＋y＝10，△OPA的面积为S.
(1)求S关于x的函数表达式；
解：(1)由题，得S＝OA·yp＝－4x＋40.
(2)求x的取值范围；
(3)当S＝12时，求点P的坐标；
(2)∵点P在第一象限，
∴x＞0，y＞0.
∴0＜x＜10.
(3)当S＝12时，－4x＋40＝12，
解得x＝7.∴点P(7，3).
(4)△OPA的面积能大于40吗？为什么？
(4)不能，理由如下：
∵0＜x＜10，
∴当x＝0时，Smax＝40.
∴S△OPA不能大于40.
课堂总结
概念
一次函数
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.
注意
k≠0，自变量x的指数是1.
板书设计
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.
特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列关于x的函数是一次函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2－1 D．y＝3x
2．函数y＝(2m－1)＋(m－5)是关于x的一次函数的条件为( )
A．m≠5且n＝－2 B．n＝－2
C．m≠且n＝－2 D．m≠
D
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．等腰三角形的周长是40 cm,腰长y(cm)关于底边长x(cm)的函数解析式是( )
A．y＝－0.5x＋20( 0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)
C．y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20)
4．若函数y＝2xm＋3是一次函数,则m的值为___.
A
1
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5．已知函数y＝(k－3)x＋k2－9．
(1)当k取何值时,y是x的一次函数;
(2)当k取何值时,y是x的正比例函数
解:当 k－3≠0,即k≠3时,y是x的一次函数.
解:当k2－9＝0且k－3≠0,即k＝－3时,y是x的正比例函数.
作业布置
【综合拓展类作业】
6.甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；
当火车到达甲地时，即
∴，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得：．
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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