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比例教学设计
课题 用比例解决问题（1） 单元 4 学科 数学 年级 六年级
学习 目标 1.学习目标描述：能正确判断情境中的两种量是否成正比例关系，并能利用正比例的意义解决实际问题。 2.学习目标描述：经历用正比例知识解答问题的过程，体验解决问题的策略，培养和发展学生的发散思维。 3.学科核心素养分析：感受数学知识与实际生活的密切关系，提高应用数学的能力。
重点 掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
难点 多种方法解决有关正比例的实际问题。
教学环节 教师活动 设计意图
导入新课 一、复习导入 师：比例的意义？ 生：表示两个比相等的式子 师：什么是正比例？ 生：如果两种相关联的量的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 师：什么是反比例？ 生：如果两种相关联的量的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 师：谁能说一说生活中有哪些成正比例关系的量？ 生：速度一定，路程与时间成正比例关系。 生：底面积一定，圆柱的体积和高成正比例关系。 生：单价一定，总价与数量成正比例关系。 生：底面周长一定，圆柱的侧面积和高成正比例。 生：工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系。 师：判断两种相关联的量是不是成正比例关系的关键是什么？ 师：两种相关联的量的比值一定，这两种量就成正比例关系。 师：生活中成正比例的量有很多很多，今天这节课我们来学习用正比例知识解决生活中的实际问题。 学生对旧知识的回忆，巩固判断两个量成正比例关系的关键要素，同时为新知的学习作准备。
讲授新课 二、新知探究 任务一：探索用正比例知识解决问题 1.课件出示教科书P59例5。 师：从题中你知道了哪些数学信息？要解决什么问题？ 生：张阿姨家上个月用了8t水，水费是40元； 生：李奶奶家用了10t水。 生：要求李奶奶家上个月的水费是多少钱。 生：要解决水费的问题就是要知道水费的单价。 生：水价虽然不知道，但它是一定的。 生：总价÷数量=单价（一定） 生：总价和数量成正比例。 师：同学们分析得很到位，现在请同学们尝试解决这个问题吗？ 学生独立思考，完成解答后跟同桌交流。 学生汇报： 生：我先算出每吨水的价钱，再算10t水的总价。 40÷8×10 =5×10 =50(元) 生：我先求出用水量的倍数关系，再求总价。 10÷8×40 =1.25×40 =50(元) 师：除了可以用以前的方法解外，我们还可以用比例来解，请同学思考一下以下问题。 课件出示思考： 1.题目告诉我们哪三个量？ 2.哪个量是固定不变的？ 3.哪两个量是相关联的量？ 4.你能根据比例关系列出等式吗？ 题目中相关联的两种量是（ ）和 （ ）（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例关系，用关系式表示是（ ）。 学生独立思考，小组交流。 学生汇报 师： 因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水的吨数成正比例关系。也就是说，两家的水费和用水吨数的比值相等。请根据比值一定，请你试着列出方程。 教师板书展示学生用正比例知识解决问题的方法。 师：还可以列出其他比例式解决这个问题吗？ 尝试列出其他比例解决问题。 学生汇报： 教师展台展示 师：同学们真是聪明，用比例解决这个问题的关键是什么？谁来说一说？ 生：解这个问题的关键是找到不变的量 生：只要两个量的比值一定，就可以用正比例关系解答。 师：比较“算术法”与“比例法”，你有什么发现？ 生:算术法：要先求出水的单价，再根据不变的单价和用水量求出总价。 生：比例法：先判断两个量成正比例关系，再解比例。 师小结：两种方法在计算求解时殊途同归，但算术法必须求出那个不变的量的具体值，而比例法只需要根据数量关系表示出这个不变量即。 师：同学们我们一起来总结一下用正比例知识解决问题的解题步骤？ ①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例关系。 ②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。 ③解比例。 ④检验并写出答语。 先让学生独立思考，并利用已有的知识解决问题，激活学生已有的解决问题的经验，为用比例解决问题做准备。 引导学生多角度去思考问题，寻求解决问题的不同策略。总结归纳用正比例解决问题的步骤，初步积累解决此类问题的经验。
课堂练习 实践应用，巩固提升 1.完成教材第62页“做一做”第1题。 学生独立完成后，在小组内交流再汇报。1.课件出示答案， 2.完成教科书P61“练习十一”第3、4.8题。 学生独立完成后，在小组内交流再汇报。 师：你能解决这三个问题吗？赶紧动手试一试吧！ 学生独立完成后，集体交流订正。 通过练习，使学生能灵活地解决这一类问题先找到题目中的不变量，确定哪两种量成正比例关系，再根据正比例关系列比例解答。
课堂小结 通过这节课你有何收获？
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《比例》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比例》单元是数与代数领域第三学段“数与代数”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”提出了：
1.在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。
2.通过具体情境，认识成正比的量(如=5)(例 20);能探索规律或变化趋势(如y=5x)(例 21)
《课程标准》在“学业要求”中指出：
1.能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。
2.能在具体情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的实例;能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值。
（二）单元教材内容分析
本单元的内容主要包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例、比例的应用三个部分。
（三）学生认知情况
学生在学习比例这一单元时，已经学习了比、除法的意义和分数的意义,以及分数的基本性质、分数与除法的关系、分数乘除法的计算方法等，这些都是学习本单元内容的基础知识。
二、单元目标拟定
1.理解比例的意义和比例的基本性质。
2.理解相关联的量，理解正比例、反比例的意义， 掌握成正比例的量和反比例的量的变化规律。
3.认识正比例关系图象，能根据给出的正比例关系的数据在坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图象中找出另一个量的值。
4.理解比例尺的意义，数值比例尺和线段比例尺能互相转化。能正确地求图上距离、实际距离和比例尺。
5.能利用方格纸按一定的比例将简单图形放大与缩小，发现放大与缩小变与不变的特点。
6.运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
理解比例的意义；探索并掌握比例的基本性质；知道什么叫解比例；理解正、反比例的意义，探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解；理解比例尺的含义；能根据比例尺的意义解决简单的实际问题；理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图；能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小；掌握用正、反比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
教学难点
能运用比例的意义或者比例的基本性质判断两个比能否组成比例；会根据比例的基本性质正确解比例；会判断两种量是否成正、反比例关系；会利用正比例关系图象解决简单的问题；能灵活运用比例尺知识解决作图问题，体会图形相似的特点；能用多种方法解决有关正、反比例的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。体会比例知识与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题，
从具体编排来说，
(1)重视呈现真实的问题情境，体现数学与生活的密切联系，展示数学知识的抽象和建模过程，促进基础知识的建构。
(2)重视培养学生的基本技能，要让学生会应用比例的知识解决实际问题，前提是会解比例。教材编排的习题，题量丰富，有针对性，有层次性。
重视用直观形象的图形或图象来揭示知识的本质属性，展现量的变化规律。
强调知识的应用，重视创设真实的应用情境，展现问题解决的思维过程和完整步骤教材在编写时充分体现了对知识应用的重视。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 比例的意义 3
正比例和反比例 3
比例的应用 6
自行车的数学 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
比例的意义 目标：使学生理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。 任务一：求比值，探规律。 任务二：归纳概念，理解比例的意义。 1.通过自主学习，探索什么是比例。 2.通过求比值，知道比例的意义是什么。
比例的基本性质 目标：探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，会把乘积相等的式子转化成比例。 任务一：认识比例各部分的名称。 任务二：合作探究比例的基本性质。 通过自主学习，知道比例各部分的名称。 通过小组合作探究，归纳总结出比例的基本性质。
解比例 目标： 知道什么叫解比例，会根据比例的基本性质正确解比例。 任务一：用解比例的知识解决问题。 任务二：学习解分数形式的比例。 通过小组合作学习，会列比例解决实际问题。 2.能解出分数形式的比例问题。
正比例 目标： 理解正比例的意义会判断两种量是否成正比例关系。 任务一：合作学习，探究成正比例的量。 任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。 1.通过小组合作探究活动，知道正比例的意义。 2.通过对比辨析活动，会判断两个相关联的量是否成正比例。
正比例关系图象 目标：探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解。会利用正比例关系图象解决简单的问题。 任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征。 任务二：利用正比例关系图象解决问题。 1.通过自主学习，能画出正比例关系的图象。 2.通过小组讨论，会用正比例关系图象解决问题。
反比例 目标：理解反比例的意义能判断两种量是否成反比例关系。 任务一：构建反比例概念，理解反比例的意义。 任务二：归纳判断两种量是否成反比例关系的条件。 通过小组合作探究活动，探索反比例的意义。 通过归纳总结，归纳出两种量成反比例关系的条件。
比例尺（1） 目标：从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。会求一幅图的比例尺。 任务一：理解比例尺的意义。 任务二：求比例尺。 通过小组合作探究活动，知道什么是比例尺。 通过学习，会求简单的比例尺问题。
比例尺（2） 目标：根据比例尺的意义解决简单的实际问题。 任务一：合作探究，解决有关比例尺的实际问题。 1.通过合作探究活动，会解决更复杂的比例尺问题。
比例尺（3） 目标：在理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图。 任务一：自主探究，解决实际问题。 1.通过自主探究，学会用比例尺画平面图。
图形的放大与缩小 目标：能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小。 任务一：研究图形的放大现象。 任务二：研究图形的缩小现象。 通过操作实践，知道图形放大后的规律。 2.通过类比推理，知道图形缩小后的规律。
用比例解决问题（1） 目标：掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。 任务一：探索用正比例知识解决问题。 1.通过小组合作探究活动学生会特别是用正比例的意义解答基本应用题。
用比例解决问题（2） 目标：掌握用反比例知识解决问题的方法和步骤。 任务一：探索用反比例知识解决问题。 1.会用运用反比例知识解决实际问题。
自行车的数学 目标：综合运用排列组合、圆、比例等知识解决生活中有关自行车里的数学问题。 任务一：研究普通自行车的速度与内在结构的关系。 任务二： 探究变速自行车能变化出的速度. 通过小组合作探究活动学生探索出普通自行车的速度与内在结构的关系。 2.通过小组合作探究活动。探索出变速自行车的变速规律
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用比例解决问题（1）
人教版六年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
分层作业
06
目录
学习目标
学习目标描述：能正确判断情境中的两种量是否成正比例关系，并能利用正比例的意义解决实际问题。
学习目标描述：经历用正比例知识解答问题的过程，体验解决问题的策略，培养和发展学生的发散思维。
学科核心素养分析：感受数学知识与实际生活的密切关系，提高应用数学的能力
新知导入
1.比例的意义？
2.什么是正比例？
3.什么是反比例？
表示两个比相等的式子
如果两种相关联的量的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果两种相关联的量的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
乘积一定反比例，比值一定正比例，其它一定不成比例
新知导入
4、说说有哪些成正比例的量？
速度一定，时间和路程成正比例关系。
单价一定，总价和数量成正比例关系。
工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例关系。
底面积一定，圆柱的体积和高成正比例关系。
新知讲解
张阿姨家上个月用了8t水，水费是40元。李奶奶家上个月用了10t水，李奶奶家上个月的水费是多少
从题中你能找到哪些数学信息？
要解决什么问题？
要解决水费的问题就是要知道水费的单价
水价虽然不知道，但它是一定的。
总价÷数量=单价（一定）
总价和数量成正比例
任务一：探索用正比例知识解决问题
新知讲解
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t ？元
先算出每吨水的价钱，再算10t水多少钱。
40÷8×10
＝5×10
＝50（元）
答：李奶奶家上个月的水费是50元。
方法一：
新知讲解
先求出用水量的倍数关系，再算10t水多少钱。
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t ？元
10÷8×40
＝1.25×40
＝50（元）
答：李奶奶家上个月的水费是50元。
方法二：
新知讲解
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t ？元
思考：
1.题目告诉我们哪三个量？
2.哪个量是固定不变的？
3.哪两个量是相关联的量？
4.你能根据比例关系列出等式吗？
水费
水的吨数
水的单价
水费
水的吨数
正
题目中相关联的两种量是（ ）和 （ ）（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例关系，用关系式表示是（ ）。
用正比例解决这个问题。
新知讲解
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t ？元
因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水的吨数成正比例关系。也就是说，两家的水费和用水吨数的比值相等。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8
40
x
10
x＝50
x＝
40×10
8
还可以列出其他比例式解决这个问题吗？
新知讲解
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
8∶10=40∶x
8x=40×10
x=50
10∶8=x∶40
8x=40×10
x=50
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t ？元
答：李奶奶家上个月的水费是50元。
新知讲解
解这个问题的键是找到不变的量。
只要两个量的比值一定，就可以用正比例关系解答。
新知讲解
比较“算术法”和“比例法”，说说你有什么发现？
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8
40
x
10
x＝50
x＝
40×10
8
40÷8×10
＝5×10
＝50（元）
算术法：
要先求出水的单价，再根据不变的单价和用水量求出总价。
比例法：
先判断两个量成正比
例关系，再解比例。
新知讲解
用正比例知识解决问题的解题步骤：
①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。
③解比例。
④检验并写出答语。
归纳总结
新知讲解
王爷爷家上个月的水费是60元，他家上个月用了多少吨水？
解：设王爷爷家上个月用水是x吨。
＝
8
40
x
60
x＝12
x＝
60×8
40
水量 水费
张阿姨 8t 40元
李奶奶 10t 50元
王爷爷 ？t 60元
答：王爷爷家上个月用水是12吨。
课堂练习
1.小明买4支圆珠笔用了6元，小刚想买3支同样的圆珠笔，要用多少钱？
圆珠笔的单价不变。
解：设买3支同样的圆珠笔，要用x元。
答：买3支同样的圆珠笔，要用4.5元。
课堂练习
2.小兰身高1.5 m，她的影长是2.4 m。如果同一时间，同一地点测得一棵树的影子长4 m，这棵树有多高
解：设这棵树高x m。
答：这棵树高2.5米。
三角形的斜边与直角边的比值是一定的。
课堂练习
3.中国空间站在太空中绕地球运行6周大约需要9小时，运行15周大约要用多长时间
解：设运行15周大约要用x小时。
9∶6＝x∶15
x＝22.5
答：运行15周大约要用22.5小时。
课堂练习
3.甲、乙两地之间的高速铁路大约长1600km。丙地在甲地、乙地之间，甲地到丙地的高速铁路大约长700km。一列由甲地开往乙地的高铁列车，9:00出发，11:30到达丙地。按照这样的平均速度，6小时能从甲地到乙地吗
课堂练习
1680＞1600
答：从甲地到乙地6个小时能到。
路程 时间
甲地-丙地 700km 2.5小时
甲地-乙地 ？km 6小时
解：设高铁列车6小时能行x千米。
6
x
＝
700
2.5
x=1680
课堂练习
解：设从甲地到乙地需要x小时。
1600
x
＝
700
2.5
答：从甲地到乙地6个小时能到。
＜6
路程 时间
甲地-丙地 700km 2.5小时
甲地-乙地 1600km ？小时
课堂总结
今天你有什么收获？
分层作业
【知识技能类作业】
1.一列货车运送物资，2小时行驶了160km。按照这样的速度，驶完400km需要多少小时？
解：设驶完400km需要x小时。
400
x
=
160
2
x=5
答：驶完400km需要5小时。
分层作业
2.黄州城区正在建设管道工程，管道工人要挖一条长840m的管道，前5天挖了140m。照这样计算，挖这条管道一共需要多少天？
解：设挖这条管道一共需要x天。
答：挖这条管道一共需要30天。
分层作业
3.一列由北京开往武汉的动车，从早晨7时出发，11时到达安阳。北京到安阳的铁路长大约是500 km。 按照这样的平均速度，北京到武汉的铁路长大约是1200 km。从北京到武汉10小时能到吗？
解：设从北京到武汉需要x小时。
11时－7时＝4时
答：从北京到武汉10小时能到。
分层作业
【综合实践类作业】
4. 有两条质地相同的绳子，长度相等，粗细不同。如果 从两条绳子一端点燃，细绳子40分钟可以燃尽，粗绳 子120分钟才能燃尽。如果从两条绳子的一端同时点燃，经过一段时间后,又同时把它们熄灭。这时细绳子还剩10厘米，粗绳子还剩30厘米，这两条绳子原来长多少厘米？
10 cm
30 cm
分层作业
10cm
30cm
解：设这两条绳子原来的长度是x厘米。
（x－10）： =（x－30）：
答：这两条绳子原来的长度是40厘米。
谢谢
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