第十五章 概率（知识归纳+题型突破）
1.理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念，并会判断．
2.能够写出事件的样本点，并掌握和(并)事件、积(交)事件．
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2.理解古典概型的定义．
3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
1.理解互斥事件的概念，能综合运用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率．
2.理解对立事件的概念，能利用对立事件解决问题．
3.能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．
1．事件的概念及分类
(1)确定性现象和随机现象
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．
注意点：对于某种现象，不是确定性现象就是随机现象．
(2)样本空间
我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示．样本空间的子集称为随机事件，简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．显然，Ω(全集)是必然事件， (空集)是不可能事件．
注意点：随机试验的特点
(1)可以在相同条件下重复进行．
(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个．
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能确定该试验出现哪个结果．
2．和(并)事件、积(交)事件
(1)事件A与B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，记作C＝A＋B或C＝A∪B．
(2)事件A与B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，记作C＝AB或C＝A∩B．
注意点：在理解和事件、积事件时，可以结合集合的并集和交集加以理解
(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.
(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．
3．随机事件的概率
一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈.
必然事件的概率：P(Ω)＝1，不可能事件的概率P( )＝0．
注意点：频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
4.古典概型
满足以下条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
注意点：古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
(1)样本点个数有限，但非等可能．
(2)样本点个数无限，但等可能．
(3)样本点个数无限，也不等可能．
5．古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
6．互斥事件和对立事件
若AB＝ ，即事件A与B不可能同时发生，则称A，B为互斥事件；
若AC＝ ，并且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，则称A，C为对立事件，记作C＝或A＝.
注意点：
(1)互斥事件与对立事件的区别与联系
①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：(ⅰ)若事件A发生，则事件B就不发生；(ⅱ)若事件B发生，则事件A不发生；(ⅲ)事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
(2)从集合的角度理解互斥事件与对立事件
①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
7．如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)，如果事件A1，A2，…，An 两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，P()＝1－P(A)．
8．相互独立事件
一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件；
A，B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B)．
9．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
注意点：
事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An两两相互独立．
题型一 事件类型的判断
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛掷一颗骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
【解析】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
思维升华
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
巩固训练
1．给出下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③将一枚质地均匀的硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
【解析】选B．②是必然事件，③是随机事件．
2．给出下列四个命题：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球是必然事件；②当x为某一实数时可使x2＜0是不可能事件；③2025年的国庆节是晴天是必然事件；④从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】选B．2025年的国庆节是晴天是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B．
题型二 样本点与样本空间
【例2】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解析】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1).“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
思维升华
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
巩固训练
1．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)，用(x，y)表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
【解析】(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
题型三 事件的运算
【例3】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
思维升华
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出进行运算．
巩固训练
1. 抛掷一颗骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
【解析】(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，
B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
AC＝{出现1点}．
题型四 由频率估计随机事件的概率
【例4】(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
[23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12；
[35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.
根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是( )
A． B．
C． D．
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500， 900) [900， 1 100) [1 100， 1 300) [1 300， 1 500) [1 500， 1 700) [1 700， 1 900) [1 900， ＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
①将各组的频率填入表中；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解析】(1)选B．样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为＝.
(2)①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
思维升华
随机事件概率的理解及求法
(1)理【解析】概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
巩固训练
1.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
【解析】(1)击中飞碟的频率依次为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.
(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动，
所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
题型五 古典概型的概率计算
【例5】(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2020·高考江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________．
【解析】 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率为P＝＝.
(2)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则所求概率为＝.
【答案】 (1)C (2)
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求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型．
(2)算出基本事件的总数n.
(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
巩固训练
1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D．将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率为P＝，故选D．
2．从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
【解析】如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．故所求概率为＝.
【答案】
题型六 互斥事件与对立事件的判定
【例6】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【解析】判别两个事件是否互斥，就要考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时，“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
思维升华
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只是互斥，但不对立．
巩固训练
1.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，所以二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，所以二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
题型七 互斥事件与对立事件的应用
【例7】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
【解析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
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互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意] 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai).
巩固训练
1.某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
【解析】设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
题型八 相互独立事件的判断
【例8】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的．令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个样本点，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个样本点的概率均为，这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
思维升华
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
巩固训练
1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
【解析】根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
【答案】①②③
题型九 相互独立事件同时发生的概率
【例9】 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)·P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
思维升华
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生的概率为P(A＋B).
(2)A，B都发生的概率为P(AB).
(3)A，B都不发生的概率为P( ).
(4)A，B恰有一个发生的概率为P(A＋ B).
(5)A，B中至多有一个发生的概率为P(A＋B＋ ).
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥 A，B相互独立
P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
巩固训练
1.甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2人都译出密码的概率；
(2)2人都译不出密码的概率；
(3)至多有1人译出密码的概率；
(4)恰有1人译出密码的概率；
(5)至少有1人译出密码的概率．
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2人都译出密码”的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“2人都译不出密码”的概率为
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.
(3)“至多有1人译出密码”的对立事件为“2人都译出密码”，
所以至多1人译出密码的概率为
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(4)“恰有1人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1人译出密码的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
(5)“至少有1人译出密码”的对立事件为“2人都未译出密码”，
所以至少有1人译出密码的概率为
1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.第十五章 概率（知识归纳+题型突破）
1.理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念，并会判断．
2.能够写出事件的样本点，并掌握和(并)事件、积(交)事件．
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2.理解古典概型的定义．
3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
1.理解互斥事件的概念，能综合运用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率．
2.理解对立事件的概念，能利用对立事件解决问题．
3.能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．
1．事件的概念及分类
(1)确定性现象和随机现象
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．
注意点：对于某种现象，不是确定性现象就是随机现象．
(2)样本空间
我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示．样本空间的子集称为随机事件，简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．显然，Ω(全集)是必然事件， (空集)是不可能事件．
注意点：随机试验的特点
(1)可以在相同条件下重复进行．
(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个．
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能确定该试验出现哪个结果．
2．和(并)事件、积(交)事件
(1)事件A与B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，记作C＝A＋B或C＝A∪B．
(2)事件A与B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，记作C＝AB或C＝A∩B．
注意点：在理解和事件、积事件时，可以结合集合的并集和交集加以理解
(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.
(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．
3．随机事件的概率
一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈.
必然事件的概率：P(Ω)＝1，不可能事件的概率P( )＝0．
注意点：频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
4.古典概型
满足以下条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
注意点：古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
(1)样本点个数有限，但非等可能．
(2)样本点个数无限，但等可能．
(3)样本点个数无限，也不等可能．
5．古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
6．互斥事件和对立事件
若AB＝ ，即事件A与B不可能同时发生，则称A，B为互斥事件；
若AC＝ ，并且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，则称A，C为对立事件，记作C＝或A＝.
注意点：
(1)互斥事件与对立事件的区别与联系
①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：(ⅰ)若事件A发生，则事件B就不发生；(ⅱ)若事件B发生，则事件A不发生；(ⅲ)事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
(2)从集合的角度理解互斥事件与对立事件
①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
7．如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)，如果事件A1，A2，…，An 两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，P()＝1－P(A)．
8．相互独立事件
一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件；
A，B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B)．
9．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
注意点：
事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An两两相互独立．
题型一 事件类型的判断
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛掷一颗骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
思维升华
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
巩固训练
1．给出下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③将一枚质地均匀的硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
2．给出下列四个命题：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球是必然事件；②当x为某一实数时可使x2＜0是不可能事件；③2025年的国庆节是晴天是必然事件；④从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
题型二 样本点与样本空间
【例2】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
思维升华
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
巩固训练
1．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)，用(x，y)表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
题型三 事件的运算
【例3】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
思维升华
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出进行运算．
巩固训练
1. 抛掷一颗骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
题型四 由频率估计随机事件的概率
【例4】(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
[23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12；
[35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.
根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是( )
A． B．
C． D．
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500， 900) [900， 1 100) [1 100， 1 300) [1 300， 1 500) [1 500， 1 700) [1 700， 1 900) [1 900， ＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
①将各组的频率填入表中；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
思维升华
随机事件概率的理解及求法
(1)理【解析】概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
巩固训练
1.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
题型五 古典概型的概率计算
【例5】(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2020·高考江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________．
思维升华
求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型．
(2)算出基本事件的总数n.
(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
巩固训练
1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A． B．
C． D．
2．从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
题型六 互斥事件与对立事件的判定
【例6】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
思维升华
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只是互斥，但不对立．
巩固训练
1.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
题型七 互斥事件与对立事件的应用
【例7】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
思维升华
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意] 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai).
巩固训练
1.某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
题型八 相互独立事件的判断
【例8】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的．令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
思维升华
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
巩固训练
1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
题型九 相互独立事件同时发生的概率
【例9】 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
思维升华
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生的概率为P(A＋B).
(2)A，B都发生的概率为P(AB).
(3)A，B都不发生的概率为P( ).
(4)A，B恰有一个发生的概率为P(A＋ B).
(5)A，B中至多有一个发生的概率为P(A＋B＋ ).
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥 A，B相互独立
P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
巩固训练
1.甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2人都译出密码的概率；
(2)2人都译不出密码的概率；
(3)至多有1人译出密码的概率；
(4)恰有1人译出密码的概率；
(5)至少有1人译出密码的概率．
