第十五章 概率（单元重点综合测试）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”( )
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件
D．都是不可能事件
【解析】从4双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”，故事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有2只不成对”．所以事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件．故选A．
【答案】A．
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B．
C． D．1
【解析】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件A，同为黑子为事件B，同为白子为事件C，则P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.故选C．
【答案】C．
3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )
A． B．
C． D．
【解析】如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率为＝.
【答案】B．
4．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.选B．
【答案】B．
5．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚硬币，所有硬币均相同，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A． B．
C． D．
【解析】抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站起来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果：二是1人站起来，有4种结果；三是有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7(种)，即P(A)＝.故选B．
【答案】B．
6．甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为，，则恰有一人答对的概率为( )
A． B．
C． D．
【解析】由题意知，甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件A，“乙答对”为事件B，“恰有一人答对”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，
所以P(C)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝×＋×＝，故选B．
【答案】B．
7．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解析】因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，
所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
【答案】A．
8．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4.各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
【解析】设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日至少3人需使用设备的概率为P(ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.
【答案】C．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
【解析】 选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．
【答案】ACD．
10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)
C．P(ABC)＝
D．P(A)·P(B)·P(C)＝
【解析】由已知P(A)＝×＋×＝，P(B)＝P(C)＝＝，由已知有P(AB)＝P(A)P(B)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)，则A正确；P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，则B正确；事件A，B，C不相互独立，故P(ABC)＝错误，即C错误；P(A)·P(B)·P(C)＝，则D正确；综上可知正确的为ABD．故选ABD．
【答案】ABD．
11．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
【解析】由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，C正确；当开关合上时，整个电路畅通的概率为×＝，D正确. 故选ACD．
【答案】ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球．如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝____；P(B∪C)＝____．
【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
【答案】
13．甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为________．
【解析】由题意可知，事件“两人中恰有一人晋级”包含两种情况：①甲晋级而乙未晋级；②乙晋级而甲未晋级．由独立事件的概率乘法公式可得，所求事件的概率为P＝×＋×＝.故答案为.
【答案】
14．袋中含有大小相同的黑球和白球，它们共有5个，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为.设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
【答案】
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如表：
测试分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
数量 4 16 42 24 14
(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率．
【解析】(1)在抽取的100件产品中，不合格的口罩有4＋16＝20(件)，
所以口罩为不合格品的频率为＝，
根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为.
(2)由题意所抽取的5件口罩中有不合格的1件，合格的4件．
设4件合格口罩记为a，b，c，d，1件不合格口罩记为x.
若抽取的口罩中至少有1件不合格，则共有ax，bx，cx，dx，4种情况，
而从5件口罩中抽取2件，共有ab，ac，ad，ax，bc，bd，bx，cd，cx，dx，10种情况，所以2件口罩中至少有一件不合格品的概率为＝.
故2件口罩全是合格品的概率为1－＝.
16.(本小题满分15分)
一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1，2，3，4，将它先后抛掷两次．翻看正四面体与桌面接触的面上的数字，并分别记为x，y.
(1)记“x≥y”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)记“x2＋y2<11”为事件B，求事件B发生的概率．
【解析】(1)将该正四面体先后抛掷两次，先后得到的数字形成的有序数对记为(x，y)，则所有的样本点如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4), (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
故样本点的总数为16.
事件A中包含的样本点有
(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
故随机事件A中含有的样本点的个数为10，故P(A)＝＝.
(2)记事件“x2＋y2<11”为B，则随机事件B中含有的样本点为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，
故随机事件B中含有的样本点的个数为6.
故P(B)＝＝.
17.(本小题满分15分)
质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，2，2) (1，3，1) (1，2，3)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标 (x，y，z) (1，2，2) (2，3，1) (3，2，1) (1，1，1) (2，1，1)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
【解析】(1)计算10件产品的综合指标Q，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Q 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，
故该样本的一等品率为＝0.6，
从而估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A6)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A4，A6)，(A4，A9)，(A4，A10)，(A6，A9)，(A6，A10)，(A9，A10)共15种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，
则事件B发生的所有可能结果为(A1，A9)，(A1，A10)，(A9，A10)共3种，
所以P(B)＝＝.
18.(本小题满分17分)
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
【解析】记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，
(1)三人都合格的概率为
P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率为
P0＝P( )＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率为
P2＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率为
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)(3)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．
19.(本小题满分17分)
随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下的“京东小金库”. 为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1 100名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
分组 频数(单位：名)
使用“余额宝” x
使用“财富通” y
使用“京东小金库” 40
使用其他理财产品 60
合计 1 100
已知这1 100名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名．
(1)求频数分布表中x，y的值；
(2)已知2020年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%，“京东小金库”的平均年化收益率为4.82%.有3名市民，每个人理财的资金都有10 000元，且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”，求这3名市民2020年理财的平均年化收益率；
(3)若在使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分层抽样的方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求这2人都使用“财富通”的概率．
注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%”，即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．
【解析】(1)根据题意，得
解得
(2)将10 000元存入“余额宝”的利息为10 000×2.8%＝280(元)；
将10 000元存入“财富通”的利息为10 000×4.2%＝420(元)；
将10 000元存入“京东小金库”的利息为
10 000×4.82%＝482(元)；
所以这3名市民2020年理财的平均年化收益率为×100%＝3.94%.
(3)由600∶400＝3∶2，得抽取的这5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人．
设这5人中，使用“余额宝”的分别为A1，A2，A3，使用“财富通”的分别为B1，B2，则从5人中随机选取2人的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)}，共有10个样本点，
其中2人都使用“财富通”的样本点为(B1，B2)，只有1个样本点，
所以这2人都使用“财富通”的概率为P＝.第十五章 概率（单元重点综合测试）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”( )
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件
D．都是不可能事件
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B．
C． D．1
3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )
A． B．
C． D．
4．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
5．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚硬币，所有硬币均相同，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A． B．
C． D．
6．甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为，，则恰有一人答对的概率为( )
A． B．
C． D．
7．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
8．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4.各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)
C．P(ABC)＝
D．P(A)·P(B)·P(C)＝
11．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球．如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝____；P(B∪C)＝____．
13．甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为________．
14．袋中含有大小相同的黑球和白球，它们共有5个，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如表：
测试分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
数量 4 16 42 24 14
(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率．
16.(本小题满分15分)
一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1，2，3，4，将它先后抛掷两次．翻看正四面体与桌面接触的面上的数字，并分别记为x，y.
(1)记“x≥y”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)记“x2＋y2<11”为事件B，求事件B发生的概率．
17.(本小题满分15分)
质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，2，2) (1，3，1) (1，2，3)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标 (x，y，z) (1，2，2) (2，3，1) (3，2，1) (1，1，1) (2，1，1)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
18.(本小题满分17分)
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
19.(本小题满分17分)
随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下的“京东小金库”. 为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1 100名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
分组 频数(单位：名)
使用“余额宝” x
使用“财富通” y
使用“京东小金库” 40
使用其他理财产品 60
合计 1 100
已知这1 100名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名．
(1)求频数分布表中x，y的值；
(2)已知2020年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%，“京东小金库”的平均年化收益率为4.82%.有3名市民，每个人理财的资金都有10 000元，且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”，求这3名市民2020年理财的平均年化收益率；
(3)若在使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分层抽样的方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求这2人都使用“财富通”的概率．
注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%”，即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．
