第十五章 概率（压轴题专练）
题型一 古典概型的实际应用
【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)＝.
思维升华
如何建立概率模型(古典概型)
(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．
(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①基本事件的有限性；②每个基本事件的等可能性．
巩固训练
目前，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从员工中抽取25人，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种．
所以，事件M发生的概率为P(M)＝.
题型二 随机事件与样本空间
【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1为“第一次摸到红球”，R2为“第二次摸到红球”，R为“两次都摸到红球”，G为“两次都摸到绿球”，M为“两个球颜色相同”，N为“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
【解析】(1)所有的试验结果如图所示，
用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件R1为“第一次摸到红球”，即x1＝1或x1＝2，于是R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2为“第二次摸到红球”，即x2＝1或x2＝2，于是
R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2)因为R R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(3)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
思维升华
在写试验的样本空间时主要利用枚举法，可以结合图表或树形图，而对于判断和事件、积事件、互斥对立事件时，主要利用它们的定义和各自的特点来判断．
巩固训练
在抛掷骰子的试验中，记一颗骰子向上的点数为样本点，则样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以确定一系列随机事件．
(1)此随机试验中的样本点有哪些？
(2)设事件D＝{出现的点数大于3}，如何用样本点表示事件D
(3)设事件D＝{出现的点数大于3}，事件E＝{出现的点数小于5}，如何用样本点表示事件D∩E
【解析】(1)样本点有C1＝(1)，C2＝(2)，C3＝(3)，C4＝(4)，C5＝(5)，C6＝(6)，共6个．
(2)事件D可由样本点的和表示，即D＝{4，5，6}＝C4＋C5＋C6.
(3)D∩E＝{4，5，6}∩{1，2，3，4}＝{4}＝C4.
所以表示事件D∩E的样本点为(4).
题型三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
求：(1)有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
【解析】设“派出2人及以下外出家访”为事件A，“派出3人外出家访”为事件B，“派出4人外出家访”为事件C，“派出5人外出家访”为事件D，“派出6人及以上外出家访”为事件E.
(1)有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C与D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访，所以由对立事件的概率公式可知所求概率为P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
思维升华
(1)互斥事件与对立事件的概率计算
①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
②设事件A的对立事件是，则P()＝1－P(A).
(2)求复杂事件的概率常用的两种方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
巩固训练
受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌轿车保修期为3年，乙品牌轿车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障的时间x(年) 03 02
轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3 45
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．
(注：将频率视为概率)
【解析】(1)设A，B，C分别表示事件甲品牌轿车首次出现故障在第1年、第2年和第3年之内，设D表示事件甲品牌轿车首次出现故障在保修期内．因为A，B，C是彼此互斥的，
其概率分别为P(A)＝＝，P(B)＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为.
(2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为＝.
题型四 古典概型
【例4】2020年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献．某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有4名、2名、2名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作．现医院根据需要选派2名医生进入隔离病房工作．
(1)求选派的2名医生来自同一个科室的概率；
(2)求选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生的概率．
【解析】设呼吸科的4名医生分别记为Ai(i＝1，2，3，4)，急诊科的2名医生分别记为Bj(j＝1，2)；免疫科的2名医生分别记为Ck(k＝1，2).
现从这8名医生中选派2名医生，所有的选派方法有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)共28个样本点．
(1)记“这2名医生来自同一个科室”为事件A，它包括(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)，(C1，C2)共8个样本点．
因为每一种情况被抽取的可能性都相等，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)记“选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生”为事件B，所有的选派方法有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，共22个样本点．
因为每一种情况被抽到的可能性都相等，
所以事件B发生的概率为P(B)＝＝.
思维升华
求解古典概型概率“四步”法
巩固训练
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率．
【解析】(1)由题意，得Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
其中“两数之和为8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种，故P(A)＝.
(2)B＝{(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}共12种，故概率为＝.
(3)由(1)知 “两个数均为偶数”的有9种，“两数之和为8”的为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种，重复的有 (2，6)，(4，4)，(6，2)共3种，故事件A与事件C至少有一个发生的有9＋5－3＝11种，概率为.
题型五 事件的相互独立性
【例5】随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试，在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
【解析】(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i＝1，2，3，4，5)，则P(Ai)＝，P(Bi)＝.
设事件A为“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B为“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C为“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．
则P(A)＝P(A1＋1A2)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋×＝，
P(B)＝P(B1＋1B2)＝P(B1)＋P(1B2)＝＋×＝，P(C)＝P(AB)＝×＝.
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.
(2)设事件D为“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E为“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件F为“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则P(D)＝P(12A3)＝××＝，P(E)＝P(12B3)＝××＝，P(F)＝P(AE＋DB)＝×＋×＝.
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.
思维升华
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
巩固训练
计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率．
【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，则P(A)＝ ×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝，从而P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大．
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，由(1)知 P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.第十五章 概率（压轴题专练）
题型一 古典概型的实际应用
【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
思维升华
如何建立概率模型(古典概型)
(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．
(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①基本事件的有限性；②每个基本事件的等可能性．
巩固训练
目前，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
题型二 随机事件与样本空间
【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1为“第一次摸到红球”，R2为“第二次摸到红球”，R为“两次都摸到红球”，G为“两次都摸到绿球”，M为“两个球颜色相同”，N为“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
思维升华
在写试验的样本空间时主要利用枚举法，可以结合图表或树形图，而对于判断和事件、积事件、互斥对立事件时，主要利用它们的定义和各自的特点来判断．
巩固训练
在抛掷骰子的试验中，记一颗骰子向上的点数为样本点，则样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以确定一系列随机事件．
(1)此随机试验中的样本点有哪些？
(2)设事件D＝{出现的点数大于3}，如何用样本点表示事件D
(3)设事件D＝{出现的点数大于3}，事件E＝{出现的点数小于5}，如何用样本点表示事件D∩E
题型三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
求：(1)有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
思维升华
(1)互斥事件与对立事件的概率计算
①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
②设事件A的对立事件是，则P()＝1－P(A).
(2)求复杂事件的概率常用的两种方法
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
巩固训练
受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌轿车保修期为3年，乙品牌轿车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障的时间x(年) 03 02
轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3 45
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．
(注：将频率视为概率)
题型四 古典概型
【例4】2020年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献．某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有4名、2名、2名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作．现医院根据需要选派2名医生进入隔离病房工作．
(1)求选派的2名医生来自同一个科室的概率；
(2)求选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生的概率．
思维升华
求解古典概型概率“四步”法
巩固训练
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率．
题型五 事件的相互独立性
【例5】随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试，在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
思维升华
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
巩固训练
计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率．
