第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含解析）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）设函数 ，且 ，则k=（　　）
A．0 B．-1 C．3 D．-6
2．（5分）函数在处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）函数 的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）设函数 在 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，且 时， .若 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数 与 的图象如图所示，则函数 （　　）
A．在区间 上是减函数
B．在区间 上是减函数
C．在区间 上减函数
D．在区间 上是减函数
7．（5分）设函数 (其中 为自然对数的底数，若函数 至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知函数 有且只有一个极值点，则实数 构成的集合是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题(共4题；共24分)
9．（6分）已知函数 （ ）有两个不同的零点 ， ，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．a的取值范围为
B．a的取值范围为
C．
D．若 ，则a的取值范围为
10．（6分）已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（　　）
A． B．函数有两个零点
C． D．
11．（6分）已知函数，则（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．当时，仅有一个整数解
D．当时，仅有一个整数解
12．（6分）已知，，且，则下列等式可能成立的有（　　）
A． B． C． D．
三、填空题(共6题；共30分)
13．（5分）函数 的导数为　 　；
14．（5分）已知函数 的解析式唯一，且满足 .则函数 的图象在点 处的切线方程为　 　.
15．（5分）函数 的单调递增区间是　 　.
16．（5分）若 是定义在 上的可导函数，且 ，对 恒成立．当 时，有如下结论：
① ，② ，③ ，④ ，
其中一定成立的是　 　．
17．（5分）函数在点处的切线为，则这四条切线所围成的封闭图形的面积为　 　．
18．（5分）已知函数的图象上存在点使得(为自然对数的底数)，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题(共6题；共56分)
19．（8分）已知函数 ．
（Ⅰ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）设 在区间 中至少有一个极值点，求a的取值范围．
20．（8分）已知函数 ．
（1）（4分）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）（4分）设 是 的极值点，求 的极小值．
21．（9分）求函数在区间上的最大值和最小值．
22．（9分）设 函数.
(Ⅰ)求函数 单调递增区间；
(Ⅱ)当 时，求函数 的最大值和最小值.
23．（10分）已知函数f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，其中a＞0．
（1）（5分）设g（x）是f（x）的导函数，求函数g（x）的极值；
（2）（5分）是否存在常数a，使得x∈[1，+∞）时，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
24．（12分）已知函数
（1）（4分）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）（4分）令 求函数 的极值.
（3）（4分）若 ，正实数 满足 ，
证明： .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】因 ，则原函数中x的一次项的系数为6，即 ，
故答案为：B.
【分析】求导数，结合 ，即可求出实数k的值.
2．【答案】C
【解析】【解答】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故答案为：C﹒
【分析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
3．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
得 ，所以 为奇函数，排除C；
设 ， 恒成立，所以在 ， 单调递增，所以 ，
故 在 上恒成立，排除AD，
故答案为：B.
【分析】首先判断函数奇偶性，然后证明当 时， 恒成立，进而可得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】设 ， ， ，所以 既是增函数又是奇函数，
， ，由已知 ，得 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意令，根据得出函数为奇函数，再根据导数求得函数单调性，进而得出，根据单调性得出结果。
5．【答案】A
【解析】【解答】由图象看出，在 内函数 有增有减，
C，D的函数在 上都是减函数， 排除C，D，
由图象看出， 在 的第一个零点在 区间上，B不满足，
B的 在 的第一个零点为 ，A的在 的第一个零点为 ，
排除B，A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 在正半轴的图象可看出， 在 上有增有减，从而排除C，D；由图象可看出， 在 的第一个零点在 上，而B的在 的第一个零点为 ，从而排除B，从而得出正确选项为A．
6．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
由图象得： 时， ，
故 在 递增，
故选：B．
【分析】求出函数 的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．
7．【答案】D
【解析】【解答】令 ，则 ，
设 ，令 ， ，
∴ ，发现函数 在 上都是单调递增，在 上都是单调递减，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时，得 ，
∴函数 至少存在一个零点需满足 ，即 .
故答案为：D.
【分析】分离变量，化为a=h(x)，利用导数画出h(x)的草图，数形结合即得。
8．【答案】A
【解析】【解答】由题意，求得函数的导数 ，令 ，
得 ，即 .
设 ,则 ，
当 时，得 ；当 时，得 或 ，
所以函数 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增.
因为函数 有且只有一个极值点，
所以直线 与函数 的图象有一个交点，所以 或 .当 时 恒成立，所以 无极值，所以 .
故答案为：A
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用不等式恒成立问题的解决方法求出实数a构成的集合。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
函数 在 上至多只有一个零点，与条件矛盾，
当 时，由 可得 或 （舍去），
当 时， ，函数 单调递增，
当 ， ，函数 单调递减，
因为函数 有两个不同的零点 ， 可得
所以 ，所以 ，
所以 ， B对，
不妨设 ，
因为 ， ，所以 ， ，
当 时， ，则 ，
当 时，则
所以 ，当 时， ，
此时 ， ，C不符合题意，
因为 ，
若 则 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
若 ，则 ， ， ，且
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，故满足条件的 不存在，
所以a的取值范围为 ，D对，
故答案为：BD.
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求a的取值范围，由此判断A，B；结合零点存在性定理判断C，D.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题设，在上有两个变号零点，
令，则，
若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；
所以，则时，递增；时，递减；
故，而，
要存在零点，则，可得，则，
此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题设，A符合题意；
由上，不妨设，
在上，递减；在上，递增，且，
所以x趋向于时趋于0，，，
故上无零点，上不一定存在零点，B不符合题意；
由对数均值不等式，证明如下：
令，要证，即证，
若，则，故在上递减，
所以，即，故得证；
令要证，即证，
若，则，故在上递增，
所以，即，故得证；
综上，，
故，C符合题意；且，即，
所以，故，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式，逐项进行判断可得答案.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】解析：由题意， ，
故曲线在点处的切线方程为，A符合题意；
令 ，得，易知当时，
单调递减，
当时，单调递增，
所以在处取得极小值，为 ，B不符合题意；
当 时，有整数解x=-2，即 有2个整数解x=-2，x=-1，
(作出与的大致图象如图所示)，
易C不符合题意；
当时，在上，
设的图象在点处与直线相切，
所以 消去k，得，而，
函数大致图像如下图：
故若有唯一整数解，则，，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，可判断A；结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的极小值，可判断B；结合单调性的讨论及函数的零点判定定理可判断C，D.
12．【答案】C,D
【解析】【解答】令，则有，
令，则有，
当x＞0时，ex-1＞0，g'(x)＞0，g(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为g(0)=1-＞0，所以g(x)＞0，即f'(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即，
从而有，
令，，则φ(x)在(0，+∞)上单调递增，有b＞a.
故答案为：CD．
【分析】令，利用导数研究函数单调性，证明f(x)＞0，转化为，再根据φ(x)单调性判断ab大小关系.
13．【答案】
【解析】【解答】
【分析】利用已知条件结合导数的乘除法运算法则，从而求出函数 的导数。
14．【答案】y=-ex+3e
【解析】【解答】由
，可得
，设
，
又由
，有
，得
，
可得
，
故所求切线方程为
，整理为y=-ex+3e.
故答案为：y=-ex+3e
【分析】首先整理化简已知条件，再由切线的几何性质计算出m与e的关系，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性，再把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出斜率的值即可。
15．【答案】（0，e）
【解析】【解答】因为 ，则其定义域为 ，
，令 ，
即可得 ，解得 ，
结合函数定义域可知，函数 的单调增区间为（0，e）.
故答案为：（0，e）.
【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.
16．【答案】①
【解析】【解答】由 得
即 所以
所以 在 和 单调递增，
因为 ，所以
因为 所以在不等式两边同时乘以 ，
得①正确，②、③、④错误.
【分析】构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解.
17．【答案】
【解析】【解答】，则，
可知，故，，故，
所以这四条切线所围成的封闭图形为平行四边形，设其底为d，高为h，由，，故，由得，由得，故，则该平行四边形的面积．
故答案为：．
【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，得出这四条切线所围成的封闭图形为平行四边形，进而求出其面积.
18．【答案】
【解析】【解答】 ，
∵，∴，
令f(x)＝t，则问题转化为：存在
，使得
成立，即
成立.
设
，则
，
则当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
∴，
又因为
，
，
，
故
，∴。
∴实数
的取值范围为
。
【分析】利用同角三角函数基本关系式得出 ，再利用余弦函数的值域结合二次函数的图象求值域的方法得出函数f(x)的值域，令f(x)＝t，则问题转化为：存在 ，使得 成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用函数值结合比较法得出 的取值范围，进而得出实数 的取值范围。
19．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
当 时，解得 或 ，此时函数单调递增；
当 时，解得 ，此时函数单调递减，
所以函数 的单调增区间是： 和 ；
单调减区间是： ；
（Ⅱ） .
因为 在区间 中至少有一个极值点，所以有 ，即
，所以a的取值范围是 .
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意把a的值代入求出函数的解析式再对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
（Ⅱ） 由(1)的结论结合极值的定义即可得出，从而得到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
20．【答案】（1）即 ， ；
则 ， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
（2） ，由题知 ，
解得 ，
则 ， ，
当 时 ，当 时
所以当 时 取极小值 ．
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）根据函数极值的性质，结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.
21．【答案】解：，
令，得或，
由，得或；由，得，
在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
在时有极大值，在时有极小值，
又，
在上的最大值为16，最小值为-4.
【解析】【分析】根据题意对函数求导，令求解出x的值，结合导函数性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性以及极值的定义，代入数值计算出函数的值，从而即可得出函数的最值。
22．【答案】解：（Ⅰ）
单调区间为
（Ⅱ） 由知（Ⅰ）知， 是单调增区间， 是单调减区间
所以
【解析】【分析】（Ⅰ）因为通过对函数 求导可得 ，所以要求函数 的单调递增区间即要满足 ，即解 可得x的范围.本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可得函数 在上 递增，又因为 所以可得 是单调增区间， 是单调减区间.从而可求结论.
23．【答案】（1）解：函数f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，（x＞0）求导，g（x）=f′（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）
g′（x）= ﹣2=﹣ ，（x＞0）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
g（x）在（0，1）单调递增；在（1，+∞）单调递减，
∴当x=1时，取极大值，极大值为g（1）=2a，无极小值
（2）解：由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）单调递减，且x→+∞时，f′（x）＜0，
则必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减；
且f′（x0）=2lnx0+2﹣2x0+2a=0，即a=﹣lnx0﹣1+x0，①
此时：当x∈[1，+∞）时，由题意知：只需要找实数a使得f（x）max=f（x0）=0，
f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0，将①式代入知：
f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0=2x0lnx0﹣x02+2x0（﹣lnx0﹣1+x0）=x02﹣2x0=0，
得到x0=2，从而a=﹣lnx0﹣1+x0=1﹣ln2，
∴a的值为1﹣ln2
【解析】【分析】（1）求导，求得g（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数g（x）的极值；（2）由（1）可知：必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且f′（x0）=0，求得a的表达式，存在a使得f（x）max=f（x0）=0，代入即可求得x0，即可求得a的值．
24．【答案】（1）解：当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），
又f′（x）= +1，则切线斜率k=f′（1）=2，
故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0
（2）解：g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ ax2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）= ﹣ax+（1﹣a）= ，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；
当a＞0时，g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x= ，
所以当x∈（0， ）时，g′（x）＞0；当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0， ）是增函数，在（ ，+∞）是减函数，
当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0， ），递减区间是（ ，+∞），
∴x= 时，g（x）有极大值g（ ）= ﹣lna，
综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；
当a＞0时，函数g（x）有极大值 ﹣lna，无极小值
（3）解：由 ，令 ，则由 得 ，
可知， 在区间（0，1）上单调递减，在区间 上单调递增，所以， ，
所以 解得
又因为 ，因此 成立
【解析】【分析】(1)利用导函数在 处的值求得斜率，然后点斜式求解切线方程即可；(2)利用导函数与极值的关系结合题意分类讨论可得当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值 ﹣lna，无极小值；(3)利用题意构造 ，结合题意进行证明即可.