河南省郑州市基石中学2023-2024学年高一（上）元月月考数学试题
一、单项单选题：本题共8小题，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高一上·郑州月考） 集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一上·郑州月考） 命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·郑州月考） “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高一上·郑州月考） 已知函数则函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高一上·郑州月考） 已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·郑州月考） 已知，那么（ ）
A．-1 B． C． D．1
7．（2023高一上·郑州月考） 函数零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023高一上·郑州月考） 若，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2023高一上·郑州月考） 下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．以10为底的对数叫作常用对数
C．若集合是全集的真子集，且，则
D．“”是“”的充分不必要条件
10．（2023高一上·郑州月考） 已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高一上·郑州月考） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高一上·郑州月考）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点（0，3）中心对称
三、填空题：本题共4小题．
13．（2023高一上·郑州月考） 函数是幂函数，则实数的值为 ．
14．（2023高一上·郑州月考） 已知，则的最小值为 .
15．（2023高一上·郑州月考） 函数的零点为 ．
16．（2019高一上·陕西期中）函数 的单调递减区间是 .
四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高一上·郑州月考） 计算下列各式的值：
（1）
（2）
18．（2023高一上·郑州月考） 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
19．（2023高一上·郑州月考） 已知函数
（1）若，则求满足条件的x的值：
（2）解关于x的不等式的解集.
20．（2023高一上·郑州月考） 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
（1）求出a，b的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
21．（2023高一上·郑州月考）已知函数
（1） 求的值；
（2） 画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；
（3） 若，求x的取值范围.
22．（2023高一上·郑州月考） 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C．
【分析】根据集合的交集的定义直接求解即可．
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】 【解答】解：命题，的否定为，.
故答案为：D.
【分析】根据存在量词命题的否定直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解方程，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为．
故答案为：D．
【分析】根据偶次根式被开方数非负和分母不等于零列不等式组求解即可.
5．【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上单调递增，所以，即；
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的单调性比较a，c的大小关系，再由对数函数性质可知，即可判断a，b，c的大小关系.
6．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数，所以令，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意，令，代入计算求解即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由，解得；
当时，令，无实数解，
综上可知，函数的零点为0.
故答案为：A.
【分析】分和两种情况，直接解方程即可求得函数的零点.
8．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以
当时，对数函单调递增，则，解得；
当时，对数函数单调递减，则，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：D．
【分析】分和两种情况，利用对数函数的单调性列不等式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】集合间关系的判断；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：、命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
B、 以10为底的对数叫作常用对数，故B正确；
C、若集合是全集的真子集，且，则，故C错误；
D、由“”可推出“”，由可得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可判断A；根据对数的分类即可判断B；根据并集的性质即可判断C；根据分式不等式的解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，此时函数图象对应的图形可能为A；
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D；
当时，，排除B，C.
故答案为：AD.
【分析】取特殊值排除即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故，故A正确；
B、因为，所以，所以，故，故B错误；
C、由A可知，因为，所以，即，当且仅当时取等号成立，
但，故不等式不能取等号，故C正确；
D、因为，所以，所以，
作商可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数、对数互化求得，再利用对数函数的运算法则求解即可判断A；根据A选项，利用对数函数的单调性即可判断B；由A选项的结论，利用基本不等式即可判断C；指数和对数运算再做商即可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、记，，则函数为奇函数，故C错误；
D、由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由的范围得到的范围，从而求出函数的值域即可判断A；通过运算即可判断B；根据函数奇偶性的定义即可判断C；根据C的推理即可判断D.
13．【答案】或
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得m=2或-1.
故答案为：-1或2.
【分析】根据幂函数的概念列式计算即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最小值即可.
15．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，所以，所以，解得.
故答案为：1.
【分析】令，结合指数、对数互化解方程即可求得函数的零点.
16．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令 ，故函数的定义域为 ，函数 在 上单调递减，又 在 上单调递增，根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间是 ；故答案为： ．
【分析】令 ，求得函数的定义域以及 的单调性；由 在 上单调递增，再根据复合函数的单调性即可求出结果．
17．【答案】（1）
（2）原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简求值即可；
（2）利用换底公式，结合对数函数的运算法则化简求值即可.
18．【答案】（1）解：当时，集合，
所以，
．
（2）解：当时，有，则；
当时，可得，或，解得或，
综上可知，实数m的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合，再根据集合的交集以及并集的运算求解即可；
（2）分和两种情况讨论，列不等式或不等式组求解即可.
19．【答案】（1）解：因为，所以，可得或，
解得.
（2）解：由，可得或，解得或，
所以不等式的解集是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据题意，分和，解方程即可求解；
（2）根据题意，分和，列不等式组求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，耗氧量为30个单位，故有，即a＋b＝0；
当速度为1 m/s时，耗氧量为90个单位，故有，整理得a＋2b＝1，
解方程组，可得.
（2）解：由(1)知，，所以要使飞行速度不低于2 m/s，
即，即log3，解得Q≥270.
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)将和这两组值代入，求解即可；
(2)由（1）的结论，由，可得≥2，解不等式即可求得的最小值.
21．【答案】（1）解：因为，所以；
（2）由图象可知，函数在上单调递增，无单调递减区间.
（3）解：由（2）知：，即.
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据解析式代值求值即可；
（2）由分段函数解析式，结合指数函数性质画出函数大致图象，再判断单调性即可；
（3）根据（2）函数图象，数形结合确定x的取值范围即可.
22．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为；
（2）解：因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以y的最大值为1，此时x=1.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）要使对数函数有意义，则，解不等式即可求得函数的定义域；
（2）由题意结合二次函数的性质可得，再根据对数函数的性质可得，即可求解.
1 / 1河南省郑州市基石中学2023-2024学年高一（上）元月月考数学试题
一、单项单选题：本题共8小题，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高一上·郑州月考） 集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C．
【分析】根据集合的交集的定义直接求解即可．
2．（2023高一上·郑州月考） 命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】 【解答】解：命题，的否定为，.
故答案为：D.
【分析】根据存在量词命题的否定直接判断即可.
3．（2023高一上·郑州月考） “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解方程，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2023高一上·郑州月考） 已知函数则函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为．
故答案为：D．
【分析】根据偶次根式被开方数非负和分母不等于零列不等式组求解即可.
5．（2023高一上·郑州月考） 已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上单调递增，所以，即；
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的单调性比较a，c的大小关系，再由对数函数性质可知，即可判断a，b，c的大小关系.
6．（2023高一上·郑州月考） 已知，那么（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数，所以令，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意，令，代入计算求解即可.
7．（2023高一上·郑州月考） 函数零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由，解得；
当时，令，无实数解，
综上可知，函数的零点为0.
故答案为：A.
【分析】分和两种情况，直接解方程即可求得函数的零点.
8．（2023高一上·郑州月考） 若，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以
当时，对数函单调递增，则，解得；
当时，对数函数单调递减，则，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：D．
【分析】分和两种情况，利用对数函数的单调性列不等式求解即可.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2023高一上·郑州月考） 下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．以10为底的对数叫作常用对数
C．若集合是全集的真子集，且，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】B,D
【知识点】集合间关系的判断；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：、命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
B、 以10为底的对数叫作常用对数，故B正确；
C、若集合是全集的真子集，且，则，故C错误；
D、由“”可推出“”，由可得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可判断A；根据对数的分类即可判断B；根据并集的性质即可判断C；根据分式不等式的解即可判断D.
10．（2023高一上·郑州月考） 已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，此时函数图象对应的图形可能为A；
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D；
当时，，排除B，C.
故答案为：AD.
【分析】取特殊值排除即可.
11．（2023高一上·郑州月考） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故，故A正确；
B、因为，所以，所以，故，故B错误；
C、由A可知，因为，所以，即，当且仅当时取等号成立，
但，故不等式不能取等号，故C正确；
D、因为，所以，所以，
作商可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数、对数互化求得，再利用对数函数的运算法则求解即可判断A；根据A选项，利用对数函数的单调性即可判断B；由A选项的结论，利用基本不等式即可判断C；指数和对数运算再做商即可判断D.
12．（2023高一上·郑州月考）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点（0，3）中心对称
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、记，，则函数为奇函数，故C错误；
D、由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由的范围得到的范围，从而求出函数的值域即可判断A；通过运算即可判断B；根据函数奇偶性的定义即可判断C；根据C的推理即可判断D.
三、填空题：本题共4小题．
13．（2023高一上·郑州月考） 函数是幂函数，则实数的值为 ．
【答案】或
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得m=2或-1.
故答案为：-1或2.
【分析】根据幂函数的概念列式计算即可.
14．（2023高一上·郑州月考） 已知，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最小值即可.
15．（2023高一上·郑州月考） 函数的零点为 ．
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，所以，所以，解得.
故答案为：1.
【分析】令，结合指数、对数互化解方程即可求得函数的零点.
16．（2019高一上·陕西期中）函数 的单调递减区间是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令 ，故函数的定义域为 ，函数 在 上单调递减，又 在 上单调递增，根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间是 ；故答案为： ．
【分析】令 ，求得函数的定义域以及 的单调性；由 在 上单调递增，再根据复合函数的单调性即可求出结果．
四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高一上·郑州月考） 计算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简求值即可；
（2）利用换底公式，结合对数函数的运算法则化简求值即可.
18．（2023高一上·郑州月考） 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
所以，
．
（2）解：当时，有，则；
当时，可得，或，解得或，
综上可知，实数m的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合，再根据集合的交集以及并集的运算求解即可；
（2）分和两种情况讨论，列不等式或不等式组求解即可.
19．（2023高一上·郑州月考） 已知函数
（1）若，则求满足条件的x的值：
（2）解关于x的不等式的解集.
【答案】（1）解：因为，所以，可得或，
解得.
（2）解：由，可得或，解得或，
所以不等式的解集是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据题意，分和，解方程即可求解；
（2）根据题意，分和，列不等式组求解即可.
20．（2023高一上·郑州月考） 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
（1）求出a，b的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【答案】（1）解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，耗氧量为30个单位，故有，即a＋b＝0；
当速度为1 m/s时，耗氧量为90个单位，故有，整理得a＋2b＝1，
解方程组，可得.
（2）解：由(1)知，，所以要使飞行速度不低于2 m/s，
即，即log3，解得Q≥270.
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)将和这两组值代入，求解即可；
(2)由（1）的结论，由，可得≥2，解不等式即可求得的最小值.
21．（2023高一上·郑州月考）已知函数
（1） 求的值；
（2） 画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；
（3） 若，求x的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以；
（2）由图象可知，函数在上单调递增，无单调递减区间.
（3）解：由（2）知：，即.
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据解析式代值求值即可；
（2）由分段函数解析式，结合指数函数性质画出函数大致图象，再判断单调性即可；
（3）根据（2）函数图象，数形结合确定x的取值范围即可.
22．（2023高一上·郑州月考） 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为；
（2）解：因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以y的最大值为1，此时x=1.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）要使对数函数有意义，则，解不等式即可求得函数的定义域；
（2）由题意结合二次函数的性质可得，再根据对数函数的性质可得，即可求解.
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