湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期1月联考（期末）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（2024高一上·邵阳期末）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·邵阳期末）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·邵阳期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
4．（2024高一上·邵阳期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·邵阳期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·邵阳期末）若正实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·邵阳期末）已知函数，若存在满足，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024高一上·邵阳期末）已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·邵阳期末）已知均为实数，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·邵阳期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数
B．的图象向左平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称中心心
D．在区间上的最小值为
11．（2024高一上·邵阳期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．函数的图象关于点对称
C．函数与函数是同一个函数
D．函数的最小值为-1
12．（2024高一上·邵阳期末）已知函数在上单调递增，则实数的可能取值为（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·邵阳期末）已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为 .
14．（2024高一上·邵阳期末）函数且是常数的图象过定点 .
15．（2024高一上·邵阳期末）若，则 .
16．（2024高一上·邵阳期末）创新是一个国家 一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·邵阳期末）已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·邵阳期末）化简求值：
（1）；
（2）.
19．（2024高一上·邵阳期末）定义在上的奇函数，已知当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（2024高一上·邵阳期末）已知函数.
（1）先把函数的图象向右平移个单位；再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上的最大值为3，求的值.
21．（2024高一上·邵阳期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗 砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且.
（1）设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式；
（2）当时，试求的最小值.
22．（2024高一上·邵阳期末）定义在上的幂函数.
（1）求的解析式；
（2）已知函数若关于的方程恰有两个实根，且，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合交集的运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：D.
【分析】根据存在量词命题的否定直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合已知条件求解即可.
4．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】由对数函数的单调性，借助中间量比较大小即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据函数定义域的求法列式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为满足，即，
，所以，
，当且仅当时等号成立，即，所以.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：画出在区间上的图象如下图所示：
因为对任意，都有，
在区间上，取得最大值和最小值共有个点，，
要使取得最小值，则可取，
即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据正弦型函数的图象和最值进行分析求m的最小值即可.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由于，则函数的定义域为，
所以，
，
，所以是奇函数，
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由得，
即，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、依题意，，则，所以，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若，则，故C错误；
D、由得，在上单调递增，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据不等式的性质以及指数函数的单调性求得正确答案.
10．【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图象可得，，即，
因为，所以，，又因为，所以，
故函数；
A、为偶函数，故A正确；
B、图象向左平移个单位，得，故B正确；
C、令，解得，所以得对称中心为，故C错误；
D、当时，，当即时，，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据图象求得函数的解析式，再结合三角函数最值、奇偶性、对称性、图象变换判断各选项即可.
11．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、令，则，其定义域为，
因为，故单调增区间为，单调递减区间为，而在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为，故A错误；
B、因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
C、与定义域相同，解析式不同，故不是同一个函数，故C错误；
D、，因为，所以时，有最小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由复合函数单调性即可判断A；由正切函数的对称中心即可判断B；根据函数相等定义即可判断C；化成，结合二次函数求最小值即可判断D.
12．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，函数单调递增，则或，解得；
当时，函数单调递增，则，解得；
又因为函数在上单调递增，所以，解得，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，列出不等式求解即可.
13．【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知，扇形的圆心角是，半径，则.
故答案为：4.
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，所以函数且是常数的图象过定点为.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的图象和性质列式求解即可.
15．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可.
16．【答案】24
【知识点】对数的性质与运算法则；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，当时，，当时，，则，解得，
所以，
设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则，
所以，即，
因为，所以，又因为函数在上为单调函数，所以，解得，
所以该生物的总量再翻一番，则还需要经过个月.
故答案为：.
【分析】由题意可得，设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则，再根据对数的运算结合幂函数的性质求解即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：由，解得，故集合，
因为“”是“”的充分条件，所以，则解得.
所以实数的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由列不等式，求解的取值范围即可；
（2）解不等式求得集合，再根据充分条件列不等式，求解的取值范围即可.
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算法则求解即可.
19．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，故；
当时，，
设，则，所以.
又因为为奇函数，所以，
所以时，；
（2）解：当时，不等式恒成立，
即，所以上恒成立，
设.
则在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意可得解得，再根据奇函数的定义求解析式即可；
（2）根据题意分析可得在上恒成立，再利用函数单调性结合恒成立问题分析求解即可.
20．【答案】（1）解：将图象向右平移个单位，得到的图象，
再把所得的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象，即，
由，解得，
故函数的单调递增区间为
（2）解：
设，则.
所以令.
所以当，即时，与矛盾，舍去；
当，即时，.
解得，舍去.
当，即时，，解得.
综上所述：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；两角和与差的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据三角函数图象的平移变换得的解析式，再结合正弦函数的单调性列式求解即可；
（2）化简的表达式，利用三角代换，将转化为，结合t的范围，讨论二次函数的对称轴和t的范围的位置关系，根据函数的最值，求解即可.
21．【答案】（1）解：因为花园的一边长为，面积为，所以花园的另一边长为，
（2）解：由（1）得：，
当时，，
当且仅当时取等号，故，
当时，函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
综上可得：当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用矩形面积公式求解即可；
（2）由（1）得：，利用基本不等式和函数的单调性，求的最小值即可.
22．【答案】（1）解：因为是幂函数，所以，解得或3，
当时，，与函数的定义域是矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
所以.
（2）解：由（1）可得，，代入函数中，有
令，作函数图像如下：
若，即时，；
当时，；
当时，.
若，即时，；
由于，则.
综上所述，
作图如下：
其与直线有且只有两个交点，，且.
.
.
即，
在上单调递增，
.
，
化简得：.
即的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义求出的值，并由定义域对的值进行取舍，即可求得解析式；
（2）通过换元得到的解析式，确定给定方程有两个不等实根时的取值范围，再将用表示出即可求解.
1 / 1湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期1月联考（期末）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（2024高一上·邵阳期末）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合交集的运算求解即可.
2．（2024高一上·邵阳期末）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：D.
【分析】根据存在量词命题的否定直接判断即可.
3．（2024高一上·邵阳期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合已知条件求解即可.
4．（2024高一上·邵阳期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】由对数函数的单调性，借助中间量比较大小即可.
5．（2024高一上·邵阳期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据函数定义域的求法列式求解即可.
6．（2024高一上·邵阳期末）若正实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为满足，即，
，所以，
，当且仅当时等号成立，即，所以.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求解即可.
7．（2024高一上·邵阳期末）已知函数，若存在满足，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：画出在区间上的图象如下图所示：
因为对任意，都有，
在区间上，取得最大值和最小值共有个点，，
要使取得最小值，则可取，
即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据正弦型函数的图象和最值进行分析求m的最小值即可.
8．（2024高一上·邵阳期末）已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由于，则函数的定义域为，
所以，
，
，所以是奇函数，
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由得，
即，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·邵阳期末）已知均为实数，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、依题意，，则，所以，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若，则，故C错误；
D、由得，在上单调递增，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据不等式的性质以及指数函数的单调性求得正确答案.
10．（2024高一上·邵阳期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数
B．的图象向左平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称中心心
D．在区间上的最小值为
【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图象可得，，即，
因为，所以，，又因为，所以，
故函数；
A、为偶函数，故A正确；
B、图象向左平移个单位，得，故B正确；
C、令，解得，所以得对称中心为，故C错误；
D、当时，，当即时，，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据图象求得函数的解析式，再结合三角函数最值、奇偶性、对称性、图象变换判断各选项即可.
11．（2024高一上·邵阳期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．函数的图象关于点对称
C．函数与函数是同一个函数
D．函数的最小值为-1
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、令，则，其定义域为，
因为，故单调增区间为，单调递减区间为，而在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为，故A错误；
B、因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
C、与定义域相同，解析式不同，故不是同一个函数，故C错误；
D、，因为，所以时，有最小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由复合函数单调性即可判断A；由正切函数的对称中心即可判断B；根据函数相等定义即可判断C；化成，结合二次函数求最小值即可判断D.
12．（2024高一上·邵阳期末）已知函数在上单调递增，则实数的可能取值为（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，函数单调递增，则或，解得；
当时，函数单调递增，则，解得；
又因为函数在上单调递增，所以，解得，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，列出不等式求解即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·邵阳期末）已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为 .
【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知，扇形的圆心角是，半径，则.
故答案为：4.
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
14．（2024高一上·邵阳期末）函数且是常数的图象过定点 .
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，所以函数且是常数的图象过定点为.
故答案为：.
【分析】根据指数函数的图象和性质列式求解即可.
15．（2024高一上·邵阳期末）若，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可.
16．（2024高一上·邵阳期末）创新是一个国家 一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月.
【答案】24
【知识点】对数的性质与运算法则；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，当时，，当时，，则，解得，
所以，
设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则，
所以，即，
因为，所以，又因为函数在上为单调函数，所以，解得，
所以该生物的总量再翻一番，则还需要经过个月.
故答案为：.
【分析】由题意可得，设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则，再根据对数的运算结合幂函数的性质求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·邵阳期末）已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：由，解得，故集合，
因为“”是“”的充分条件，所以，则解得.
所以实数的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由列不等式，求解的取值范围即可；
（2）解不等式求得集合，再根据充分条件列不等式，求解的取值范围即可.
18．（2024高一上·邵阳期末）化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算法则求解即可.
19．（2024高一上·邵阳期末）定义在上的奇函数，已知当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，故；
当时，，
设，则，所以.
又因为为奇函数，所以，
所以时，；
（2）解：当时，不等式恒成立，
即，所以上恒成立，
设.
则在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意可得解得，再根据奇函数的定义求解析式即可；
（2）根据题意分析可得在上恒成立，再利用函数单调性结合恒成立问题分析求解即可.
20．（2024高一上·邵阳期末）已知函数.
（1）先把函数的图象向右平移个单位；再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上的最大值为3，求的值.
【答案】（1）解：将图象向右平移个单位，得到的图象，
再把所得的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象，即，
由，解得，
故函数的单调递增区间为
（2）解：
设，则.
所以令.
所以当，即时，与矛盾，舍去；
当，即时，.
解得，舍去.
当，即时，，解得.
综上所述：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；两角和与差的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据三角函数图象的平移变换得的解析式，再结合正弦函数的单调性列式求解即可；
（2）化简的表达式，利用三角代换，将转化为，结合t的范围，讨论二次函数的对称轴和t的范围的位置关系，根据函数的最值，求解即可.
21．（2024高一上·邵阳期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗 砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且.
（1）设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式；
（2）当时，试求的最小值.
【答案】（1）解：因为花园的一边长为，面积为，所以花园的另一边长为，
（2）解：由（1）得：，
当时，，
当且仅当时取等号，故，
当时，函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
综上可得：当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用矩形面积公式求解即可；
（2）由（1）得：，利用基本不等式和函数的单调性，求的最小值即可.
22．（2024高一上·邵阳期末）定义在上的幂函数.
（1）求的解析式；
（2）已知函数若关于的方程恰有两个实根，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为是幂函数，所以，解得或3，
当时，，与函数的定义域是矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
所以.
（2）解：由（1）可得，，代入函数中，有
令，作函数图像如下：
若，即时，；
当时，；
当时，.
若，即时，；
由于，则.
综上所述，
作图如下：
其与直线有且只有两个交点，，且.
.
.
即，
在上单调递增，
.
，
化简得：.
即的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义求出的值，并由定义域对的值进行取舍，即可求得解析式；
（2）通过换元得到的解析式，确定给定方程有两个不等实根时的取值范围，再将用表示出即可求解.
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