高考数学专题二　微专题19　平面向量的数量积及最值与范围问题 课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
专题二　平面向量、三角函数与解三角形
微专题19
平面向量的数量积及最值与范围问题
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
考点一　求向量模、夹角的最值(范围)
典例1　
√
依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
由(a－c)·(b－c)＝0，
√
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t，
跟踪训练1　
√
因为关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
因为a，b均是非零向量，且|a|＝2|b|，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
√
因为向量a，b满足|a|＝1，b＝(m，2－m)，|a|＝|b|cos θ(θ为a与b的夹角)，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝|a|2＝1，
则|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋b2－2＝b2－1
＝m2＋(2－m)2－1＝2m2－4m＋3＝2(m－1)2＋1≥1，
当且仅当m＝1时取等号，
即|a－b|2的最小值为1，
即|a－b|的最小值为1.
典例2　
考点二　求数量积的最值(范围)
√
连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
＝cos2θ－sin θcos θ
√
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3,0)，B(0,4).设P(x，y)，
跟踪训练2　
√
sin(φ＋θ)∈[0,1]，－sin(φ＋θ)∈[－1,0]，
√
如图，设等边△ABC的外心为O，又半径为1，且M是△ABC的边AC的中点，
∴B，O，M三点共线，且BO＝2OM＝1，
考点三　求参数的最值(范围)
典例3　
√
如图所示建立平面直角坐标系.
则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，
设P(x，y)，圆C半径为r，
所以圆心到直线的距离d≤r.
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
√
设AC与BD交于点M(图略)，
由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，可得BM＝2MD，
又因为x>0，y>0，
所以2x＋y的最小值为1.
跟踪训练3　
√
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N(如图所示)，
√
总结提升
平面向量最值、范围问题的常用方法
(1)定义法
第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；
第2步：运用基本不等式求其最值问题；
第3步：得出结论.
总结提升
(2)坐标法
第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；
第2步：将平面向量的运算坐标化；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解.
(3)基底法
第1步：利用基底转化向量；
第2步：根据向量运算化简目标；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论.
总结提升
(4)几何意义法
第1步：结合条件进行向量关系推导；
第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；
第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
连接MN，如图，点N在线段CD(端点除外)上运动，
因为MC＝MD＝CD＝1，即△MCD是正三角形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平方得到a2＋b2＋2a·b≤7，即a·b≤1，
设向量a，b的夹角为α，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
对于A选项，(a－b)·(a－3b)＝a2－4a·b＋3b2＝－3＋3＝0，
故(a－b)⊥(a－3b)，A正确；
对于B选项，设a与b的夹角为θ，
则a·(a－4b)＝|a|2－4|a||b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
对于C选项，a·(a－4b)＝|a|2－4|a||b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－3≥|a|2－4|a|，
即|a|2－4|a|＋3≤0，
解得1≤|a|≤3，故|a|的最小值为1，C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
如图，作OE⊥OC，以O为原点，分别以OC，
OE为x，y轴建立平面直角坐标系，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
不妨设a＝(1,0)，b＝(x，y)，则2a－b＝(2－x，－y)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
依题意得AD∥BC，所以∠BAD＝120°，
取MN的中点E，连接DE(图略)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，