高考数学专题二　微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理 课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
专题二　平面向量、三角函数与解三角形
微专题20
极化恒等式、等和线、奔驰定理
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
考点一　极化恒等式
典例1　
√
A.0 B.12 C.2 D.6
√
跟踪训练1　
－4
所以cos∠ACB＝cos(∠OCA＋∠OCB)
＝cos∠OCAcos∠OCB－sin∠OCAsin∠OCB
考点二　等和(高)线定理
若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
典例2　
[3,4]
如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，
[1,3]
跟踪训练2　
当点P位于B点时，λ＋μ取得最大值，过点B作GH∥DC，分别交OC，OD的延长线于G，H，
√
方法一(等和线定理)
设λ＋μ＝k，
当C位于A或B时，A，B，C三点共线，
所以k＝λ＋μ＝1；
当C运动到 的中点时，k＝λ＋μ＝2，
∴λ＋μ∈[1,2].
方法二　(常规方法)
设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，
易得λ＋μ∈[1,2].
考点三　奔驰定理
典例3　
√
方法一
根据奔驰定理可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3.
方法二　延长OB至B′，使OB′＝2OB，
∴O是△AB′C′的重心，∴S△AOC′＝S△B′OC′，
∴S△AOC∶S△BOC＝2∶1.
√
根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC＝1∶3.
跟踪训练3　
√
√
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
总结提升
1.极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.
2.等和(高)线定理的适用范围
主要解决平面向量系数和与差的问题.
3.奔驰定理的使用范围
对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系.但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案.
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由极化恒等式可得，
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如图，取AB的中点O，连接MO，BE，OE，
分别过点C，D作BE的垂线，垂足分别为I，J，
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如图，BC是值为1的等和线，过O作BC的平行线，
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即点O是△A1B1C1的重心，
所以 ＝ ＝ ＝k，
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所以O为△ABC的重心，
当点M与C重合时，λ＋2μ最大，此时
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所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.
因为M在△OBC内且不含边界，
所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)．
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O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3，
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即S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
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对于A，若P是△ABC的重心，则S△PBC＝S△PAC＝S△PAB，
对于B，设点P到边BC，AC，AB的距离分别为h1，h2，h3，
则P是△ABC的内心，正确；
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方法一　(常规方法)由题意作图如图.
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设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
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取BC的中点D，由正△ABC的面积为2，