高考数学专题二　微专题18　解三角形中的范围与最值问题 课件(共71张PPT)

(共71张PPT)
专题二　平面向量、三角函数与解三角形
微专题18
解三角形中的范围与最值问题
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
考点一　转化为三角函数求最值(范围)
典例1　(2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B).
(1)求a的值；
方法一　设4＝at，t>0，
在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，
b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，
代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，
又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，
即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，
所以t＝1，所以a＝4.
方法二　设4＝at，t>0，
在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，
b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，
代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，
又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，
即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，
所以t＝1，所以a＝4.
在△ABC中有
所以b＋c≤8，当A＝B＝C时，等号成立，△ABC周长取得最大值12.
跟踪训练1　
(1)求角B；
由bcos C＋ccos B＝2，
(2)求△ABC面积的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形，
典例2　
考点二　利用基本不等式求最值(范围)
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
跟踪训练2　
设BD＝k(k>0)，
则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图.
考点三　转化为其他函数求最值(范围)
典例3　
方法一　在△ABD中，由余弦定理的推论
方法二　在△ABD中，由余弦定理得
同理，在△BCD中，BD2＝CD2＋CB2－2CD·CBcos C
＝8－8cos C，
令cos A＝t，t∈(－1,1)，
跟踪训练3　(2023·黄山模拟)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB＝8 cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在 上，另外两个顶点G，H在 上(M，N分别是 ， 的中点).
设EF的中点为P，∠FO1P＝θ，矩形EFGH的面积为S cm2.
(1)写出S关于θ的函数关系式S(θ)；
(2)当θ为何值时矩形EFGH的面积最大？
由(1)知，
总结提升
任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外.解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种.一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：
(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案.
(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法.
(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.
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可得3a2＝b2＋c2，
又A∈(0，π)，则－11
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因为c＝btan C，
在△ABC中，sin C≠0，所以sin B＝cos C，
又因为△ABC为钝角三角形，所以由诱导公式
即B为钝角，
从而sin A－3cos C＝sin(B＋C)－3cos C
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由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，故B正确；
由于c1
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对于C，由b2＝a2＋c2－2accos B，
故a＋c≤8，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的周长最大，最大值为12，此时△ABC为等边三角形，故C正确；
对于D，由C推导过程得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的面积最大，
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6.(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有
A.21 B.24 C.27 D.36
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在△ABC中，
(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，
由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，
即a2＝b2＋c2＋bc，
角A的内角平分线AD的长为3，
由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得，
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所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27.
因为Δ＝(－45)2－4×4×108＝297>0，结合根与系数的关系，得到两根之和，两根之积均大于0，
故方程有正根，故满足要求.
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∵A＋B＋C＝180°，∴3B＋C＝180°，
即C＝180°－3B，
∵C为锐角，∴30°又∵0°1
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8.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________________________.
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在△OAB中，
∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos θ，
∵S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC
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则tan φ＝2(φ为锐角)，
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(2)求四边形ABCD面积的最大值.
设∠BCD＝θ，θ∈(0，π)，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos θ
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∵S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BAD
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10.(2023·南宁模拟)请从①cos 2C＋cos C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0；③ccos B＋(b－2a)cos C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
(1)求角C；
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选①.
cos 2C＋cos C＝0，
根据二倍角公式化简得2cos2C＋cos C－1＝0，
即(2cos C－1)(cos C＋1)＝0，
因为C∈(0，π)，
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选②.
sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0，根据正弦定理得a2＋b2－c2－ab＝0，
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选③.
ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
根据正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝sin (B＋C)－2sin Acos C＝0，
因为C∈(0，π)，A∈(0，π)，sin A≠0，
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所以DA⊥BA，故BD是△ABC外接圆的直径，
所以BC⊥CD.
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