高考数学专题一　微专题3　函数的零点问题 课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
专题一　函数与导数
微专题3
函数的零点问题
本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　(2023·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2
－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间 上
零点的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
考点一　函数零点个数的判断
由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，
令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，
函数y＝|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，
跟踪训练1　(2023·杭州模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为
A.6 B.7 C.8 D.9
√
由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的函数.
又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象，
因为lg 10＝1，所以lg 8由图象可知，y＝f(x)与y＝lg x的
交点共有9个，
所以函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为9.
典例2　(2023·昆明模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，
f(x)＝x2.函数g(x)＝ (a>0且a≠1)，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在
区间[－17,5]上恰有20个零点，则实数a的取值范围为______.
考点二　根据函数零点个数求参数取值范围
(2,4)
因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点，
则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点，
由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数，
作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示.
易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的
图象与函数g(x)的图象有17个交点，
故在(1,5]上有3个交点，
显然0跟踪训练2　(2023·银川模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且f(x)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－logax有2个零点，则实数a的取值范围是__________.
[3，＋∞)
当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＝x2；
故x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，
当x∈(1,3]时，x－2∈(－1,1]，即f(x)＝f(x－2)＝
(x－2)2.
g(x)＝f(x)－logax＝0，即f(x)＝logax，f(3)＝1，
画出函数图象，如图所示.
当0当a>1时，要使y＝f(x)与y＝logax的图象在[－1,3]内有两个交点，则loga3≤1，即loga3≤logaa，a≥3.
综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞).
典例3　已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一
个实数根，则实数a的取值范围是
A.(－∞，0) B.(－∞，0)∪(0,1)
C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞)
考点三　嵌套函数的零点
√
令u＝f(x)，则f(u)＝0.
①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；
若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.
所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.
如图所示，
满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意；
②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1.
所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1，
当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，
因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个
实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上无解，
若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故0若a<0且x≤0，f(x)＝a·2x<0，满足题意.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1).
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0
有三个不同的实数根，则t的取值范围为
A.(－∞，－2]
B.[1，＋∞)
C.[－2,1]
D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)
√
作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝m，
当m<1时，y＝f(x)与y＝m的图象有1个交点，
即f(x)＝m有1个根，
当m≥1时，y＝f(x)与y＝m的图象有2个交点，
即f(x)＝m有2个根，
则关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0转化为m2＋m＋t＝0，
因为关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的
实数根，
关于已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
总结提升
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1.已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的
取值范围是
A.[－1,0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
√
令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x).
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示
意图，如图所示.
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
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当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意.
综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
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2.(2023·成都模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋4)－f(x)＝f(2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2－3x＋1，则函数y＝f(x)在[－4,4]上零点的个数为
A.10 B.11 C.12 D.13
√
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因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0.
因为f(x＋4)－f(x)＝f(2)，
令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，
即f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(2)＝－f(－2)＝0，
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所以f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
根据周期性及奇函数的性质画出函数y＝
f(x)在[－4,4]上的图象，如图.
由图可知，函数y＝f(x)在[－4,4]上的零点
有－4，－3.5，－3，－2，－1，－0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4，共13个零点.
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3.(2023·蚌埠二中模拟)已知x1＋ ＝0，x2＋log2x2＝0, －log2x3＝0，则
A.x1C.x1√
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设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上是增函数，
即f(－1)f(0)<0，
由零点存在定理可知－1设函数g(x)＝x＋log2x，
易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
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因为h(1)>h(x3)，
由函数单调性可知1即－11
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4.已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零
点，则k的取值范围是
√
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令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.
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方法三　函数g(x)有4个零点，即y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个交点，函数y＝f(x)的图象如图④.
①若k＝0，则y＝|kx2－2x|＝|－2x|＝|2x|，两函数图象不可能有4个交点，∴k≠0.
当x<0时，－x＝kx2－2x无解，此时两函数图象无交点.
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得x(x2＋kx－2)＝0，
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5.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝－1－x，则
A.f(x)的图象关于点(－1,0)对称
B.f(x)在区间[5,6]上单调递减
D.函数y＝f(x)－ln|x|有4个零点
√
√
√
方法一　由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，
由f(2－x)＝－f(x)可得f(x)图象关于点(1,0)对称，
∵点(1,0)关于y轴的对称点为(－1,0)，
∴A正确；
函数f(x)的周期为T＝4|1－0|＝4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5,6]上单调递增，B错误；
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对于C，由题意可知m的取值范围只可能是0由图知方程f(x)＝m在区间[0,6]上有3个实数根，设从小到大依次为x1，x2，x3，
∴x1＋x2＋x3＝2×2＋x3，
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∴x1＋x2＋x3＝2×4＋x1，
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对于D，易知y＝x－1为y＝ln x在点(1,0)处的切线，
数形结合可判断f(x)的图象与y＝ln|x|共有4个交点，D正确.
方法二　f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，f(2－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0， ①
则f(－2＋x)＋f(－x)＝0，可知f(x)关于点(－1,0)对称，A对；
∵f(2－x)＝－f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，
f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[0,1]上单调递增，
又由①知f(x)关于点(1,0)对称，则f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)在[5,6]上单调递增，B错；
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当0≤x≤2时，f(x)＝x－1；
当2≤x≤4时，f(x)＝－x＋3；
当4≤x≤6时，f(x)＝x－5，
当－11
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当0y＝x－1与y＝ln x相切，只有一个交点，y＝－x＋3与y＝ln x有且仅有一个交点，
∴f(x)与y＝ln|x|在(0，＋∞)上有且仅有两个交点，
∴y＝f(x)－ln|x|有且仅有四个零点，D对.
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6.(多选)已知函数f(x)＝ 以下结论正确的是
A.f(－3)＋f(2 019)＝－3
B.f(x)在区间[4,5]上单调递增
√
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√
√
因为f(－3)＝－3，f(2 019)＝f(1＋2 018)＝f(1)＝f(－1)＝1，
所以f(－3)＋f(2 019)＝－2，所以A错误；
作出函数图象如图所示，
由图象知选项B正确；
若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数
根，则函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有3个交点，
又直线y＝kx＋1过点(0,1)，所以当直线位于过点(2,0)与点(4,0)之间(不含端点)时，有3个交点，
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函数y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零
点，即函数f(x)的图象与直线y＝b在(－∞，4)上有6个交点，
由函数f(x)图象知01
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7.设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，
且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时，f(x)＝
其中k>0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
则(x
－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以
(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，利用
f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0,9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f(x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，
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8.已知函数f(x)＝ 若方程f 2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0恰有4
个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________.
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(－2，－1)
∵f 2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0 (f(x)＋m＋1)(f(x)＋m－1)＝0，
∴f(x)＝－m－1或f(x)＝－m＋1，
作出函数f(x)的图象如图所示，
当x＝1时，f(x)极大值＝1，
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