高考数学专题一　微专题1　函数的图象与性质 课件(共75张PPT)

(共75张PPT)
专题一　函数与导数
微专题1
函数的图象与性质
函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　(1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x)
＝的定义域为
A.(－2,1) B.(－2,0)∪(0,1)
C.(0,1) D.(－∞，0)∪(0,1)
√
考点一　函数的概念与表示
解得－2则函数g(x)的定义域为(－2,0)∪(0,1).
(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝ 若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是_____________________.
(－2，－1)∪(0，＋∞)
由题意知a≠0，
①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，
化简得a2＋3a＋2<0，
解得－2又a<0，∴a∈(－2，－1)；
②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，
化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，
又a>0，∴a∈(0，＋∞)，
综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞).
跟踪训练1　(1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有
A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2
C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1
√
对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1；
令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误；
对于B，令x＝0，得f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误；
对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误；
对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.
(2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝
＝2，则a＝____.
－1
典例2　(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间 上的图象大致为
考点二　函数的图象
√
方法一　(特值法)
方法二　令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，
排除B，D；
(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x).给出下列四个结论，其中正确的是
A.g(1)＝
B.函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称
C.不等式g(x)>0的解集为R
D.函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z
√
√
√
对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，
对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，
又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2
－x)＝g(x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；
对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误；
对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减，
又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在
[0,1]上单调递增.又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以
2为周期的周期函数，
所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是
√
方法一　作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图.
方法二　因为函数f(x)＝
所以函数f(1－x)＝
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝ <0，排除C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是
√
对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，
故排除B；
考点三　函数的性质
典例3　(1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋ 为偶函数，则a
＝____.
2
＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，
且函数为偶函数，
∴a－2＝0，解得a＝2.
经验证，当a＝2时满足题意.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则
A.f(0)＝0
B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数
D.x＝0为f(x)的极小值点
√
√
√
方法一　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，
则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
令f′(x)<0，得0令f′(x)>0，得x> ，
故f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在 上单调递增，
在 上单调递减，
显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误.
跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)
√
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均
√
√
g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确；
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，
则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，
所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，
所以g(－1)≠g(2)，排除D.
1.一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项.
2.要准确理解函数的基本性质，把握自变量之间的关系与对应函数值之间的相互转化.
总结提升
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1.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
A.[－1,1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0,1]
C.[－1,0]∪[1，＋∞)
D.[－1,0]∪[1,3]
√
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
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则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].
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2.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
√
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则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
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则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；
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为保证函数变换之后为奇
函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
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3.(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是
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4.已知函数f(x)＝sin x＋ ，则
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x＝π对称
D.f(x)的图象关于直线x＝ 对称
√
∴f(x)min<0，故A错误；
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∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；
∴f(π－x)≠f(π＋x)，
∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；
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5.(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ ，则f(x)的图象可能为
√
f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
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所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D；
因为x2＋x－2<0，
所以f(x)<0，所以排除B.
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6.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则22k＝ 等于
A.－3 B.－2 C.0 D.1
√
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因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)， ①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
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所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
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在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知， ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
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由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
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7.(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，
f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有 >0，
则下列结论正确的是
A.f(x)是奇函数
B.f(2 023)＝0
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
√
√
√
根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，
则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，
则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为4的周期函数，
对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；
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对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确；
对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；
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8.(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是
A.函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称
B.函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)
C.函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点
D.若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为
0或±4或±8
√
√
√
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由f(x－4)＝－f(x)得，
f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，
因为f(x)是奇函数，
所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，
对称轴为直线x＝2，
根据f(x)在[0,2]上单调递增，
可知f(x)在[－2,0]上也是单调
递增的，得函数图象大致如下，
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对于A，对称轴为x＝2＋4k(k
∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋
2(k∈Z)，故A正确；
对于B，单调递增区间为[8k－2,
8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误；
对于C,2 019－(－2 019)＝4 038＝504×8＋6，共有504个周期多6，
函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1 008(个)最值点，
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在(－2 019，－2 016)上有1个
最值点，在(2 016,2 019)上有1
个最值点，
共有1 008＋2＝1 010(个)最值点，故C正确；
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对于D，若m＝m1 ＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4，
若0若m＝0，则所有根之和为0，
若最小值中所示，则所有根之和为2
×(－2)＋2×6＝8，
若m＝m4＝最小值，如图中
所示，则所有根之和为－2＋6＝4，故D正确.
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9.(2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝xln(ex＋a)－ 是奇函数，则a＝__.
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所以f(－1)＝－f(1)，
即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1，
此时f(x)的定义域为R，满足题意.
10.(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_______________________________.
①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数.
若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1).
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f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
11.(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝ ，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________.
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(－1,1)
令g(x)＝xf(x)＝x(2x－2－x)，
则g(－x)＝(－x)(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝g(x)，
则函数g(x)为偶函数，
又g′(x)＝2x－2－x＋xln 2(2x＋2－x)，
当x>0时，2x－2－x>0,2x＋2－x>0，
所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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12.(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]
上，其解析式为R(x)＝ 定义在实数集
上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)
的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)
＋ ＝____.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2－x)，
由f(－x)＝5－g(2＋x)得f(x)＝5－g(2－x)，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2－x)＝9＋f(－x－2)＝9＋f(x＋2)，代入f(x)＝5－g(2－x)得f(x)＝－4－f(x＋2)，
所以f(x)＋f(x＋2)＝－4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－4，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的函数，
由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2)＝9＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝－7，即f(2)＝－7，
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