2023-2024学年广东省深圳市南山实验华侨城中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市南山实验华侨城中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
4.已知幂函数的图像过点，则下列关于说法正确的是( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 在单调递减 D. 定义域为
5.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数是定义在实数集上的偶函数，且在上是增函数，，则的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
7.已知函数在上的值域是，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共5小题，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 函数的图象与直线有无数个交点
D. 函数是增函数
9.下列各组函数表示的是同一函数的有( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.下列函数中，即是奇函数，又是上的增函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 的定义域是 B. 的值域是
C. 是奇函数 D. 在上单调递减
12.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B.
C. 的图像关于对称 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数的定义域为，则函数的定义域为______．
14.已知，则 ______．
15.设函数是定义在上的增函数，则实数的的取值范围是 ．
16.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则该函数的解析式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
若，求；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
求实数，的值；
求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
解关于的不等式．
19.本小题分
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图如图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域．现计划在正方形上建一花坛，造价为元，在四个相同的矩形上图中阴影部分铺花岗岩，造价为元，再在四个空角上铺草坪，造价为元．
设总造价为元，的长为，试建立关于的函数关系式．
计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
20.本小题分
已知二次函数的最小值为，且
求的解析式；
若当时，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
21.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
22.本小题分
定义在上的函数满足对于任意的，有，当时，，其中．
求；
判断函数的单调性并证明；
解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
解不等式得集合，根据交集的定义写出．
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
根据全称命题的否定为特称命题即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，若，，取，，，，可得，故A不正确；
对于，若，则，故B不正确；
对于，若，，取，，，，则，故C不正确；
对于，若，则，所以，故D正确．
故选：．
由不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设幂函数的解析式为，，
幂函数的图像过点，
，解得，
，定义域为，故D错误；
定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故AB错误；
，在单调递减，故C正确．
故选：．
设幂函数的解析式为，，根据图旬上的点坐标求出解析式，由此能求出结果．
本题考查幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
故选：．
利用对勾函数的单调性即可求解函数的最值．
本题主要考查了利用函数单调性求解函数的最值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数在实数集上是偶函数，
且，所以，
又函数在上是增函数，
所以，解之得或，
故的取值范围为：．
故选：．
由是偶函数，不等式化为，再由在上是增函数，转化为自变量不等式，求解即可．
本题主要考査解抽象函数不等式，利用函数的奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
因为值域为，所以要取到最小值，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令，得或，
所以当，时．
故选：．
根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边能取到对称轴的前提下距离越大，区间长度越大．
本题考查了配方求二次函数的值域的方法，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
作出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数无最大值，故选项A错误；
由图象可知，函数的最小值为，故选项B正确；
由图象可知，函数的图象与直线有无数个交点，故选项C正确；
由图象可知，函数在定义域上没有单调性，故选项D错误．
故选：．
由题中的定义，表示出，求出，作出函数的图象，由图象分析判断即可．
本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，
，所以，
所以两函数的定义域相同，
又因为，与的对应关系不一样，
所以与不是同一函数；
对于，因为，，
，，
两函数的定义域相同，
且，
所以与是同一函数；
对于，因为，，且，
，，且，
所以与是同一函数；
对于，因为，所以，
，所以或，
两函数的定义域不同，
所以两函数不是同一函数．
故选：．
根据函数的三要素逐一判断即可．
本题考查了函数的定义、三要素，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，即是奇函数，又是上的增函数，符合题意，
对于，，是幂函数，即是奇函数，又是上的增函数，符合题意，
对于，，是二次函数，是偶函数，不符合题意，
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，分式中分母不等于，所以，解得：
所以的定义域是；故A正确；
对于，的值域是，故B错误；
对于，，令，定义域为，，
所以是奇函数，即是奇函数，故C正确；
对于，多个单调区间可用逗号或“和”隔开，
所以在，上单调递减，在上不是单调递减的，故D错误．
故选：．
由分母不为可求得函数定义域即可判断；求出函数的值域即可判断；判断函数的奇偶性即可判断；求出函数的单调区间即可判断．
本题主要考查函数的定义域，值域的求法，函数的性质，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，
则的图象关于点对称，同时关于直线对称，
则有，，则有，
故有，则函数是周期为的周期函数，
依次分析选项：
对于，的图象关于点对称，同时关于直线对称，
则即轴也是函数的对称轴，则为偶函数，A错误；
对于，是周期为的周期函数，则，B正确；
对于，为奇函数，的图象关于点对称，C正确；
对于，对任意的，，且，都有，则在区间上为增函数，
为偶函数，则，的图象关于直线对称，，
又由，故，D正确；
故选：．
根据题意，分析函数的对称性可得函数的周期，进而分析选项，可得答案．
本题考查函数的单调性和对称性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，
由，得：，
解得：，解得：．
所以，函数的定义域为．
故答案为．
根据函数的定义域为，由，求出的取值集合即可得函数的定义域．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了抽象函数的定义域，给出函数的定义域为，求函数的定义域，就是满足的的取值集合，此题是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由分段函数可知．
，
．
故答案为：．
根据分段函数直接代入即可求值．
本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接进行求解，比较基础．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性的判断，涉及分段函数的性质，属于基础题．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数是定义在上的增函数，
则有，解可得，
即的取值范围为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，
所以，，
故，，
所以．
故答案为：．
由已知结合指数函数的性质即可求解函数解析式．
本题主要考查了指数函数的性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：根据题意，若，则，
或，
则．
由可得，
由是的充分不必要条件，得，
所以，等号不同时成立，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】本题考查了集合的运算与充分、必要条件的应用，属于基础题．
根据题意，由的值可得集合，解不等式可得集合，由集合交集的定义计算可得答案；
由是的充分不必要条件，得，解不等式，可得的取值范围，即可得答案．
18.【答案】解：由题可知，，
解得；
由可知当时，，
当时，，
任取，，且，
，，且，则，，，
于是，在上单调递增；
函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则
在上单调递增，
的解为，
解得或，
不等式的解集为或．
【解析】根据条件可得，，解不等式组即可；
将，的值代入中，利用定义证明的单调性即可；
根据的单调性和，可得，解不等式即可；
本题考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，关键是利用定义证明单调性，属基础题．
19.【答案】解：设，则，所以，
，
即
，
当且仅当 ，即时， 元．
故计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区．
【解析】设，则，所以，代入 ，化简即可得到结果．
利用基本不等式即可求出的最小值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．
20.【答案】解：设，
则，二次函数的最小值为，
，，；
时，的图象恒在的图象上方，
可得恒成立，
即在时恒成立．
所以
即．
【解析】本题考查二次函数的简单性质的应用，解析式的求法，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用设出二次函数，结合二次函数的最小值为，求解即可．
当时，的图象恒在的图象上方，得到不等式，分离变量，利用二次函数的最值求解即可．
21.【答案】解：由题设，即对一切实数恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，实数的取值范围为；
当时，，即，可得，所以解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为．
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【解析】由题设对一切实数恒成立，讨论参数，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可．
讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集．
本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
22.【答案】解：因为对于任意的，有，
所以令，可得，
解得．
在上是增函数．
证明：任取，则，
则，
因为当时，，
所以当时，，
即，
则，
所以在上是增函数．
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
即不等式等价为，
因为在上是增函数．
所以不等式等价为，即，
得，
即不等式的解集为．
【解析】令，即可求解；
由抽象函数关系式，结合函数单调性的定义进行证明即可；
利用赋值法求出，根据函数的单调性将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用函数单调性的定义结合赋值法将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
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