2022-2023学年新疆伊犁州高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆伊犁州高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.设，若，则( )
A. B. C. D.
4.如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为即一人可以造成人感染，则天后的患者人数将会是原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.记等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.我们把分子、分母同时趋近于的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法如，则( )
A. B. C. D.
9.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10.已知公差不为零的等差数列满足：，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数，直线：，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ．
14.已知，，若，则 ．
15.某研究性学习小组有名男生和名女生，一次问卷调查活动需要挑选名同学参加，其中至少名女生，则不同的选法种数为______．
16.结绳记事是人类最早跟数列打交道的一种朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，记为数列的前项和，则 ______；当时，若存在，使得，则的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，若，．
求数列的通项公式；
求的最大值及取得最大值时的值．
19.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，求．
20.本小题分
如图，直三棱柱的侧面为正方形，，，分别为，的中点，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知数列中，．
证明：数列是等比数列；
若数列满足，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若函数有两个不相等的零点，．
求的取值范围；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数对应的点的坐标为，
在复平面内，复数对应的点位于第一象限．
故选：．
直接由复数对应点的坐标得答案．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的会考题型．
2.【答案】
【解析】解：由，得，
所以．
故选：．
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，解得：．
故选：．
根据导数值直接构造方程求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，天后患者人数为，天后患者人数为，天后患者人数为，
所以天后的患者人数将会是原来的倍．
故选：．
根据题意表示出天后患者人数，即可得答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
因为为等差数列，，
即，
解得，
所以．
故选：．
由等差数列的求和公式可得，再由求解即可．
本题主要考查了等差数列的前项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，
每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种．
故选：．
分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由图可以看出函数的图象是一个二次函数的图象，
在，，递增，
在，，递减，
在，，递增，
是极大值，是极小值，
故选：．
首先观察函数的图象，与轴的交点即为的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断．
会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据洛必达法则求极限即可．
本题考查了用洛必达法则求极限问题，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得．
故选：．
将各年级的学生进行捆绑，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题考查了相邻问题捆绑法的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为，，成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以．
故选：．
根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，代入求解即可．
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对进行正确求导，把看成一个常数，就比较简单了．
【解答】解：函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，
解得，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：点在直线上方，即，
因为，
所以有且仅有一个正整数解．
，
则，，单调递增；
，，单调递减，
所以．
又，；，；，，故可得图象如下图，
直线：过定点，
当，有无数个正整数解，不合题意，故，
又有且仅有一个正整数解，故是唯一的正整数解，即．
故选：．
由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题属于基础题，考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．
直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．
【解答】
解：因为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，，若，
则，则．
故答案为：．
根据向量共线的结论，直接列式可得．
本题考查向量的共线，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法，
所以至少一名女生的方法有种方法．
故答案为：．
直接利用组合知识分步计算即可．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由数列满足：第一组为，第二组为，，，
第组为，，，，，
则前组中共有项，
令，可得，所以数列前组中共有项，
所以，
当时，可得，
若前项的和为前项的和，可得：
，
由已知得，整理得，
由此可得为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
所以若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时，被消去，
即，可得，
则，为等式的成立的最小值，此时，
所以
，
所以，所以的最小值为，
则的最小值为．
故答案为：；．
利用得出数列的求和公式，判断出前项的和为前组的和，进而求得的值，假设前项的和为前项的和，由已知得，转化为为的整数幂，得到应该被消去，由此可知加上组的部分项，求得满足题意的的最小值，即可求得的最小值，最后利用，求得的最小值，即可求解．
本题考查了数列的求和的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，
整理得，解得，，
经检验，当，时，，
令，解得或；令，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，且符合题意，
所以，．
解：由得，函数且，
则，即切线的斜率为且，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
【解析】求得，根据题意得到，求得，，验证符合题意，即可求解；
由求得且，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，
解得，，
所以；
方法一：因为，，
所以当或时取得最大值，最大值为．
方法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时取得最大值，
又
所以最大值为．
【解析】由条件结合等差数列的通项公式列关于和的方程，解方程求，，再求通项公式即可；
方法一：求出的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果．
方法二：解方程，再解不等式，，由此确定使得最大时的值，再由求和公式求其最大值．
本题考查等差数列的性质、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为；
由，得，
则，
设，，则，，
所以．
【解析】根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，又因为，，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为，平面，所以，，
因为为正方形，所以，
故以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，
所以，
因为，平面，，
所以平面；
解：由可知：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，所以，
设平面与平面夹角为，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】证明出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为得到，从而证明出线面垂直；
求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值．
本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
21.【答案】证明：由题，
则，
又，即，
即是以为首项，为公比的等比数列；
解：由知，
则，
令，其前项和为，
所以，
则，
两式相减得
，
即，
即．
【解析】利用数列递推式变形得，利用等比数列的定义，即可证明结论；
由得，求出，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查了数列的通项与求和，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值；
由有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，．
证明：由有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，则，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证．
【解析】利用导数研究函数的单调性和极值；
利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；利用构造对称函数以及导数进行证明．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点问题，属于中档题．
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