2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设是双曲线左支上的动点，，分别为左右焦点，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则的横坐标是( )
A. B. C. D.
5.若，则等于( )
A. B. C. D.
6.若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为
( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象如图所示其中是函数的导函数，下面四个图象中，的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数在处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A. B. C. D.
9.已知直线与抛物线：相交于、两点其中位于第一象限，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数为自然对数的底数，若在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左右焦点为，，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，，如图，若，为线段的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，，若的离心率为，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在点处的切线方程为______．
14.已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为______．
15.已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
16.已知函数，，若，则的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知命题：，命题有意义．
若为真命题，求实数的取值范围；
若为假命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数在点处切线斜率为，且．
求和；
试确定函数的单调区间．
19.本小题分
已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
求双曲线的标准方程；
过左焦点作斜率为的弦，求的长；
求的周长．
20.本小题分
直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为．
求抛物线方程；
设抛物线与轴交于点，求的面积．
21.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值．
若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、．
求椭圆的标准方程；
设直线、的斜率分别为，，证明：；
直线是过点的椭圆的切线，且与直线交于点，定义为椭圆的弦切角，为弦对应的椭圆周角，探究椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角的关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，命题：，，
由全称命题的否定为存在命题，可得：为，．
故选：．
由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：由可得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
先解不等式可得或，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，解得．
因为是双曲线左支上的动点，
所以
由双曲线的定义可知．
故选：．
利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线方程为，
抛物线的焦点
设点，得．
故选：．
由抛物线方程，求出焦点设，由抛物线的性质，转化求解即可．
本题给出抛物线上一点到焦点的距离，求该点的横坐标．考查了抛物线的定义与标准方程，抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算法则求出，令得到关于的方程，解方程求出，求出；令求出．
【解答】
解：，令，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两直线平行时斜率相等，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．
设出的坐标为，根据的解析式求出的导函数，由曲线在点的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点切线方程的斜率，即为导函数在时的函数值，把代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，然后把的值代入中即可得到的值，根据求出的与的值写出点的坐标即可．
【解答】
解：设点的坐标为，
由，得到，
曲线上过的切线与直线平行，
过点的切线的斜率等于直线的斜率，即，
则，解得，
把代入得：，
则点的坐标为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由图象看出，，和时；，和时；
时，；，或时，；
在上单调递减，在，上单调递增；
的大致图象应是．
故选：．
通过观察函数的图象即可判断的符号以及对应的的所在区间，从而判断出函数的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．
考查观察图象的能力，对于积的不等式，或的求解，函数导数符号和函数单调性的关系．
8.【答案】
【解析】解：
在处有极值
，解得
令
解得或
故选B
先求出函数的导数，再根据极值求出参数的值，然后在函数的定义域内解不等式的区间即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：过、分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，
过作的垂线，垂足为，
令，
由，
则，，
结合抛物线的性质可得，，，
则，
则，
则，
故选：．
由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数为自然对数的底数，
若在上恒成立，
则，令，
则，
可得时函数取得极小值即最小值，．
实数的取值范围是
故选：．
根据在上恒成立，，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，，因为，为线段的三等分点，
在中，为中点，为中点，，
又过的直线与圆相切于点，，
又，，
由椭圆的定义得：，，
在中，由勾股定理可得：
，，
，
，，
．
故选：．
根据椭圆的性质、圆的切线的性质、勾股定理建立方程，再化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，圆的切线的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
不妨取，则，，，
，，
，
故选：．
由，，解得，，根据，可得，利用余弦定理即可得出结论．
本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由已知得，所以切点为，又，
所以，所以切线方程为，化简得．
故答案为：
要求切线方程一求斜率注意斜率不存在的情况，二求点．本题求函数在点处的切线方程，易知切点是，斜率．
关于利用导数研究函数图象的切线的问题，主要是利用切点满足的两条性质：
、切点是函数图象与切线的公共点；
、切点处的导数是切线的斜率；
、注意“在”与“过”某个点的区别．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由特称命题的真假求参数范围，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
由题意可得在的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求的范围．
【解答】
解：命题“，”是真命题，
即有在的最大值，
由在递增，可得取得最大值，
则，可得，
则实数的取值范围为
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：在区间上是增函数，
在恒成立，
即在恒成立，
在上是减函数，
，
即．
故答案为：．
由题意，在区间上是增函数可化为在恒成立，从而再化为最值问题．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，即，解得，
所以，令，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为．
故答案为：．
令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，对于，命题：，
解不等式，可得，
即：，
对于，要使有意义，只需，解得或，
即：或，
若为真，则有，解得：，
实数的取值范围是；
由知：，：或，
若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，
：或，
只需，解得或．
则实数的取值范围：．
【解析】首先分别求两个命题表示的的取值范围，再求交集，即可求解；
由题意可知，与都为假命题，即与都为真命题，求与表示的集合的交集．
本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：函数，则，
由，得，
解得，．
由得，则，
令，得，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
【解析】求导，利用导数的几何意义，结合，进行求解即可；
求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，得，所以双曲线方程为．
依题意得直线的方程为，设，
联立，得，，且，
所以．
由知，两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，的周长为．
【解析】双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；
写出直线的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；
由双曲线的定义及弦长得出的周长．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
20.【答案】解：抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点到轴的距离为，则，可得，
所以抛物线的方程为．
若，则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，则，
设点、，
联立，可得，
由，解得，
因为线段中点的横坐标为，则，
整理可得，
又因为，解得，
抛物线交轴于点，则有，
所以，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
原点到直线：的距离为，
所以．
【解析】根据抛物线的焦点到轴的距离求出的值，即可得出抛物线的方程．
分析可知，将直线与抛物线的方程联立，根据求出的取值范围，根据线段中点的横坐标为求出的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值．
，，
当时，恒成立，在单调递增，
所以最多只有个零点，不成立，
当时，，，单调递增，
当时，，单调递减，
若函数在上有且仅有个零点，
则，解得：，
且，解得：，
且，解得：，
综上可知，，
所以实数的取值范围是．
【解析】首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
首先分和两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数的取值范围．
本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
22.【答案】解：由题意知，，所以，
又椭圆经过，所以，
解得，，所以椭圆方程为；
证明：联立直线与椭圆方程，得，
所以，，
则，解得，
设，，则，，
所以
，
即；
证明：椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角相等．证明如下：
设切线方程为，即，
由，得，
所以，
，解得，
则，又，所以，所以，
设切线与轴交点为，、分别与交于，，
因为，所以，又，
，，
所以．
【解析】根据题意可得，，解出、即可求解；
设，，将直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示则、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；
设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属中档题．
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