2022-2023学年江西省赣州市上犹中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省赣州市上犹中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为里．( )
A. B. C. D.
2.设等差数列数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
4.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件两个点数都不相同，至少出现一个点，则( )
A. B. C. D.
5.某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽个样本，则成绩小于分的样本个数大约为( )
A. B. C. D.
6.若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，，满足，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.若存在正实数，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 展开式中各项系数和为
C. 第项的二项式系数最大 D. 展开式中所有系数的绝对值的和为
10.已知等差数列前项和为，且，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列是递减数列 D. 为的最大值
11.设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”已知在上为“凸函数”则实数的取值范围的一个必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
12.已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，，都有成立，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则的值为 ．
14.袋中有个黄色、个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取次，则第二次才取到黄色球的概率为______．
15.已知数列的前项和且，设，则的值等于______．
16.已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最大值与最小值．
18.本小题分
已知数列，满足，，．
Ⅰ求证：数列为等差数列；
Ⅱ设，求．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若抛物线的顶点在坐标原点，焦点在椭圆的长轴上，且椭圆的四个顶点到抛物线准线的距离之和等于，求抛物线的方程．
20.本小题分
如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，得到图的四棱锥．
求四棱锥的体积的最大值；
若棱的中点为，求的长；
设的大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知各项均为正数的数列满足，且，其中．
求数列的通项公式；
设，数列的前项之和为，若对任意的，总有，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，其导函数为．
当时，求在处的切线方程；
函数的图象上是否存在一个定点，使得对于任意的，都有成立？证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意：，，
所以，
故．
故选：．
直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由是等差数列，得，，，构成等差数列，且其首项为，公差为，
所以，又，则，
所以，则．
故选：．
由是等差数列，得，，，构成等差数列，且其首项为，公差为，从而分别求出与，进一步即可得到．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，，
，
函数在区间上单调递减，
，
，
，函数单调递减，时，函数．
．
故选：．
函数，，根据函数在区间上单调递减，可得，进而得出范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意事件两个点数都不相同，包含的基本事件数是
至少出现一个三点的情况分二类，给两个骰子编号，号与号，若号是出现三点，号没有三点共五种
号是三点，一号不是三点有五种，
故至少出现一个三点且没有两点相同的情况是种
故选：．
此是一个条件概率模型的题，可以求出事件两个点数都不相同包含的基本事件数，与事件包含的基本事件数，再用公式求出概率
本题考查古典概率模型及其概率计算公式，解题的关键是正确理解事件两个点数都不相同，至少出现一个点，以及，用列举法计算出事件所包含的基本事件．
5.【答案】
【解析】【分析】
由已知根据正态分布的特点可得，又对称轴为，则，乘以样本个数得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
【解答】
解：由题意可得，，对称轴为，
故，
成绩小于分的样本个数为个．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，
设与曲线相切的切点为，
与相切的切点为，
则有公共切线斜率为，
又，，
可得，，
即有，即，
可得，，
设，，
，
可得时，，递增，当时，，递减，
可得处取得极大值，且为最大值，
则，
故选：．
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的范围．
本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由，，，
可设，，且，
可得，在圆上，
所求最大值可看作是，到直线的距离的和的最大值，
且可得，在直线的下方，
取的中点，过，，点分别作直线的垂线，垂足分别为，，，
为梯形的中位线，，
，，到直线的距离为，
，，
的最大值为．
故选：．
由题意可设，，且，，在圆上，所求最大值可看作是，到直线的距离的和的最大值，运用数形结合可得所求最大值．
本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合直线和圆的知识是迅速解题的关键，属于难题．
8.【答案】
【解析】解：由得
，
即，
即设，则，
则条件等价为，
即有解，
设，
为增函数，
，
当时，，
当时，，
即当时，函数取得极小值为：，
即，
若有解，
则，即，
则或，
实数的取值范围是，．
故选：．
根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，
利用函数极值和单调性的关系进行求解即可
本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：选项A：根据二项式的系数和为，可得，解得，故A正确，
选项B：令，则展开式中各项系数和为，故B正确，
选项C：因为，则展开式共项，所以第项的二项式系数最大，故C错误，
选项D：展开式中所有系数的绝对值的和即为二项式的展开式的各项系数之和，
令，则所求的解为，故D正确，
故选：．
选项A：根据二项式系数和公式，即可求出；选项B：令，即可求解；选项C：根据的值以及二项式定理，即可判断；选项D：只需求出二项式的展开式的所有系数和，即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：等差数列前项和为，且，，
，
整理得，，
，故A错误；
，故B正确；
，，数列是递减数列，故C正确；
，，
为的最大值，故D正确．
故选：．
利用等差数列通项公式推导出，，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
由题意知，，可得，
令，，
，
则在单增，
，
为充要条件，
则实数的取值范围的一个必要不充分条件可以为：，
故选：．
函数在区间上为“凸函数”，所以，即对函数二次求导，分离参数，即可求得的范围，再由集合法判断充要条件关系即可．
本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息新定义，考查知识迁移与转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则有，所以，，
当，令，则有，所以，所以，所以为奇函数，
综上，为奇函数，故C错误；
令，则，所以，故D正确．
故选：．
根据题意运用特殊值检验方法，排除法即可解决．
本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的定义，以及对函数求导，属于基础题．
可根据导数的定义，对函数求导可得出结果．
【解答】
解：由导数的定义，可知：
，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：第二次才取到黄色球是指第一次取到白球，第二次取到黄球，
则第二次才取到黄色球的概率为：
．
故答案为：．
第二次才取到黄色球是指第一次取到白球，第二次取到黄球，由此能求出第二次才取到黄色球的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查数学运算等核心素养，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：数列的前项和且，
当时，，解得．
所以，
当时，，
得：，
整理得常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以首项符合通项，
所以，
所以，
则．
故答案为：
首先利用递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式，再利用对数的运算和相消法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列的定义和性质，对数的运算，相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：对于函数．
当时，．
令，解得：或；令，解得：；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
而，；，．
当时，．
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增．
而；，，．
作出的图像如图所示：
解关于的方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根，
即函数与有一个交点，横坐标．
结合图像可得：或，
所以的取值范围是．
故答案为：．
利用导数研究的单调性和极值，作出的图像；由关于的方程有两个不相等的实数根，得到函数与有一个交点，利用图像法求解．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
所以在上的最大值为，最小值为．
【解析】结合导数的几何意义可求出切线斜率，进而可求切线方程；
先利用导数研究函数在上的单调性，结合单调性即可求解函数的最值．
本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于中档题．
18.【答案】证明Ⅰ：法一：由，得，
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
法二：由，得
数列是首项为，公差为的等差数列，
Ⅱ解：设，
由Ⅰ得，数列是首项为，公差为的等差数列，
，
即，
，
且
是首项，公差为的等差数列，

【解析】Ⅰ方法一：根据数列的递推公式得到，即可得到，问题得以解决，
方法二：根据数列的递推公式得，问题得以解决，
Ⅱ设，得到是首项，公差为的等差数列，再根据等差数列的求和公式计算即可．
本题以递推数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算，Ⅰ重点考查利用数列递推形式构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；Ⅱ主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法．
19.【答案】解：由题意得，
所以，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立，解得，，
所以椭圆的方程为；
设抛物线的方程为，
由题意得，椭圆的四个顶点到准线距离之和等于，
又因为椭圆长轴上的两个顶点到准线的距离和为，
所以，
解得，
即的方程为．
【解析】利用已知条件列出方程组，求解，，然后得到椭圆方程；
设抛物线的方程为：，利用椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于，结合椭圆长轴上的两个顶点到准线的距离和为，求解，即可得到抛物线的方程．
本题考查了椭圆和抛物线的标准方程，属于基础题．
20.【答案】解：取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，底面为梯形，，
则四棱锥的体积最大值为；
如图，取中点，连接，，
则因为为中点，所以为的中位线，
所以且，
因为为的中点，四边形为矩形，
所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以；
连接，因为，
所以，所以为的平面角，即，
所以，
过点作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，又，
则，即，令，则，
设平面的法向量为，又因为，
则，即，令，则，
设两平面夹角为，
则，
所以平面和平面夹角余弦值为．
【解析】作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；
作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到即可得所求值；
作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式即可得解．
本题考查了锥体体积的有关计算，面面角的向量求法，考查了转化思想，属于难题．
21.【答案】解：根据题意，因为，
即，
又，所以有，所以，
所以数列是公比为的等比数列．
由得，
解得，
故；
由知，，
则数列的前项和为，
若对任意的，总有，则有，
变形可得：，
又由，则有，
实数的取值范围是．
【解析】根据题意，对变形可得，所以数列是公比为的等比数列，进而由可得的值，
由的结论，分析可得数列的前项和为，对变形分析可得：，结合的范围，分析可得答案．
本题考查数列的递推公式，以及数列与不等式的综合应用，关键是求出该数列的通项公式．
22.【答案】解：，
，
即切线的方程为，
即为；
假设存在定点满足条件．
，
，
，
，
故，
变形得，
令，则，
考虑函数，，
所以在上单调递增，
又，故只有唯一解．
又因为，所以，
故不存在定点满足条件．
【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及存在性问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
假设存在定点满足条件．将已知等式化简变形，再令，则，考虑函数，求得导数和单调性，可判断存在性．
第1页，共1页