2022-2023学年江西省抚州市东乡实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省抚州市东乡实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量和的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
3.在平行四边形中，若，则必有( )
A. B. 或
C. 是矩形 D. 是正方形
4.的值是( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则( )
A. B. C. D.
6.已知正实数，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.将函数的图像沿轴向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. 为实数
B. 若，则
C.
D. 若，则的最小值为
10.有以下四个命题，正确命题的是( )
A. 若函数为奇函数，则为的整数倍
B. 若函数为奇函数，则为的整数倍
C. 对于函数，若，则必是的整数倍
D. 对于函数，若，则必是的整数倍
11.已知，给出下列说法，其中正确的有( )
A. 若，，且，则
B. 存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C. 若在上恰有个零点，则的取值范围为
D. 若在上单调递增，则的取值范围为
12.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 在上的零点个数是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点为的边的中点，，，，，的夹角为，则______．
14.已知，则______．
15.已知，且的终边上一点的坐标为，则______．
16.已知向量，向量，函数，下列关于函数的结论中正确的是______．
最小正周期为；关于直线对称；
关于点中心对称；值域为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
，，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知，．
当时，求的值；
设函数，求，的最值．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
设，且，求．
20.本小题分
已知函数
在中，角、、所对的边分别为、、，求函数的最大值，并求出此时的值；
若，且，求的值．
21.本小题分
设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称．
求的单调区间；
求不等式的解集．
22.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量；
记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量和的夹角为，，，
，，
，
，
故选：
根据向量数量积的定义先求出，然后利用向量模长与向量数量积的关系进行转化求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的定义以及向量模长的公式是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，，
的值域是．
故选：．
利用辅助角公式将函数转化为形式，根据正弦型函数的值域求解即可．
本题考查三角函数恒等变换，两角和与差的三角函数，考查三角函数的有界性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，
平行四边形的对角线相等
由矩形的定义知：平行四边形是矩形．
故选：．
先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．
本题主要考查向量在平面几何中的应用．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和差的公式应用，属较难题．
从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
【解答】
解：设，
，
则，
，
同理，

所以，
故选A．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，，
又因为，
所以．
故选：．
运用公式求得的值，再运用正切差角公式计算即可．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，
则
，因为，所以，
所以当，即时取得最大值为，
故选：．
设，则，然后根据的范围以及正弦函数的性质化简即可求解．
本题考查了不等式的性质，涉及到三角函数换元法的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，将的图像沿轴向左平移个单位长度，
得关于轴对称，
所以即，
所以当时，取最小值．
故选：．
先将函数化简为，沿轴向左平移后关于轴对称，则，取最小值即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
或，
或，
，或，，
此时，
，
，且，，
，
故选：．
利用三角恒等变换，同角三角函数的关系，求解即可．
本题考查利用三角恒等变换的应用，同角三角函数的关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A：设，，，故A正确；
选项B：设，，，但是，故B错误；
选项C：设，，则，，，
所以，故C正确；
选项D：若，设，则，
则，
所以当时，取最小值，故D正确．
故选：．
设，计算可判断；
用特值法可判断；
设，，计算可判断；
由，设，得出的表达式并化简，利用三角函数性质求得最小值，即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：若为奇函数，则，，即为的整数倍，故A正确；
为奇函数，则，，即为的奇数倍，故B不正确；
因为函数 周期为，
若，则必是的整数倍，故C错误．
由于的周期为，若，必是的整数倍，故D正确，
故选：．
由题意，利用三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
周期．
对于：由条件知，周期为，，故A错误；
对于：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，
则，，故对任意整数，，故B错误；
对于：由，所以，所以，解得，故C正确；
对于：因为，所以，所以，解得，故D正确．
故选：．
利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可．
本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，此时，，
又时，，
时，，
，．
当时，，此时，，
又时，，
时，，
，．
，．
作出函数的图象如图：
结合图象可知的最小正周期为，故A错误；
，
，
，的图象关于直线对称，则B正确；
当时，．
，，
则在上单调递增，故C正确；
在上的零点个数，即为与的交点个数，
，，且是偶函数，的最小正周期为，
由图象可得当时，与有个交点，
当时，有个零点，
可得时，有个零点，
在上的零点个数是，故D正确．
故选：．
作出函数的图象，可判断；求出即可判断；结合分段函数和三角函数的性质可判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查函数零点的判定，考查化归与转化、数形结合思想，该题的关键在于两个绝对值的处理，去掉绝对值需要对内部的正负进行讨论，得到对应的分段函数，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据向量加法的平行四边形法则可得，两边同时平方即可代入求模长．
本题考查了向量的加法运算法则以及数量积的性质和运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合余弦函数的两角差公式，以及二倍角公式，即可求解．
本题主要考查余弦函数的两角差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题，
15.【答案】
【解析】解：的终边上一点的坐标为，，，
，且点在第四象限，
，
．
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义可求，结合点所在象限，即可得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：向量，向量，
函数，
最小正周期．
当时，，关于直线对称；
当时，，关于点中心对称．
值域为，即，
，
可得，即
的值域为
故答案为：．
根据向量的运算求出的解析式，结合三角函数的性质判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
17.【答案】解：由，得，
所以，
所以；
由得，又，
因为，解得，，
因为，，所以，
所以．
【解析】由三角函数诱导公式得到，从而代入求值；
在的基础上，利用同角三角函数关系求出，的正弦和余弦，进而利用正弦的和角公式求出答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题．
18.【答案】解：，，，
故；
因为，，
所以
，
故，
又，，
所以，．
【解析】利用得出，将化为齐次式代入即得；
利用辅助角公式化简，由结合三角函数图像即得．
本题考查二倍角公式、辅助角公式及同角平方关系等三角公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：
，
，
的最小正周期为；
，
由可知，，，
．
【解析】利用两角差的余弦公式，二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式，可对恒等变形得，进一步求出的最小正周期；
由中变形的结果可知，再由可得，，再根据两角和的正切公式可求解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数
在中，角、、所对的边分别为、、，函数此时，解得．
，可得即：，，解得．
，，即
．
【解析】通过两角和与差的三角函数化简已知条件．
利用三角函数的最值直接求解函数的最值以及的大小．
通过，求出的值，推出三角形是直角三角形，然后即可求解的值．
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值以及三角形的判断，考查计算能力．
21.【答案】解：由题意知，函数的最小正周期为，即，
因为，所以，从而，
因为函数的图象关于点对称，
所以，，解得，．
因为，所以，所以．
令，，解得，
即，
所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间．
由知，，由，
得，即，
所以不等式的解集为．
【解析】根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；
根据中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：
，
所以
依题意，
由，得，，
，，所以，
所以．
的函数解析式，
所以，
区间的长度为，函数的周期为，
若的对称轴在区间内，
不妨设对称轴在内，最大值为，
当，即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；
其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，
若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【解析】化简的解析式，从而求得伴随向量；
先求得，由求得，进而求得，从而求得；
先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案．
本题考查求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法．
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