2022-2023学年江苏省徐州市沛县湖西中学高一（下）期中数学模拟试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年江苏省徐州市沛县湖西中学高一（下）期中数学模拟试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-08 14:44:12 | ||
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文档简介
2022-2023学年江苏省徐州市沛县湖西中学高一（下）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. ，，共线 B. ，，共线 C. ，，共线 D. ，，共线
3.设为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，设，为的靠近的三等分点，与交于，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
7.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
8.某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路驾车向驶去，行驶了到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人开车的最小速度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
10.设向量，，则下列叙述错误的是( )
A. 若与的夹角为钝角，则且
B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个为
D. 若，则或
11.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 在中，满足的三角形有两个
B. 在中，若，则
C. 在中，是的充要条件
D. 在中，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数满足为虚数单位，则______．
14.______．
15.在中，，，则角的大小为______．
16.已知为的重心，点，分别在边，上，满足，其中，若，则和的面积之比为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求在方向上的投影向量．
18.本小题分
在复平面内，复数其中为虚数单位，．
若复数为纯虚数，求的值；
若复数，求的值．
19.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
若且，求的值．
21.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且．
求；
若，求；
若，求．
22.本小题分
如图，在平面凸四边形中凸四边形指没有角度数大于的四边形，，，．
若，，求；
已知，记四边形的面积为．
求的最大值；
若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围直接写结果，不需要过程
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用两角差的正弦可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
则与不共线，与不共线，与不共线，
而，故A，，三点共线，
故选：．
根据条件，由共线向量定理判断即可．
本题主要考查向量的线性表示以及三点共线的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设为实数，
因为，
所以，
即，
所以，．
故选：．
由已知结合复数的运算及相等的条件即可求解．
本题主要考查了复数的基本运算及复数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，且，，，
利用余弦定理：，
整理得：，
解得或负值舍去，
所以．
故选：．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知，可得，
则，
故选：．
由平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，属基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】
解：已知中，满足，
利用正弦定理整理得：，
转换为，
所以，或，
若，整理得，与三角形的内角相矛盾；
若，整理得：，解得．
故为直角三角形，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案．
本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．
由图形求出的度数，以及，及的长，利用余弦定理求出的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由，及的长，利用正弦定理求出的长，由，及的值，利用余弦定理求出的长，由即可求出的长即可．
【解答】
解：如图，易知，，，，
由余弦定理可得，．
又在中，由正弦定理得：．
由余弦定理得，即，
，
解得：或舍去，
．
此人必须在分钟内从处到达处，则此人开车的最小速度为小时．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：：由题意，，正确；
：由题意，为纯虚数，正确；
：由题意，，其模长为，正确；
：由题意，，则其共轭复数为，错误．
故选：
利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误．
本题考查欧拉公式及复数的运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，向量，，若与的夹角为钝角，则有，解可得且，A正确；
对于，向量，，必有，即的最小值为，B正确；
对于，，，与共线的单位向量有或，C错误；
对于，若，即，解可得，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及命题真假的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．
利用倍角公式变形求解与，利用两角和与差的三角函数计算判断与．
【解答】
解：，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：选项，由，可得，所以三角形有一个，选项错误．
选项，，当时，等式成立，所以选项错误．
选项，由正弦定理，得，
其中是三角形外接圆的半径，所以选项正确．
选项，由正弦定理和比例的性质，可知选项正确．
故选：．
根据选项中的条件，结合大角对大边，正弦定理，充分必要条件和比例的性质，判断各选项即可．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得．
故．
故答案为：．
先对已知复数进行化解，然后结合模长公式可求．
本题主要考查了复数的四则运算，复数的模长公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
利用两角和差的正切公式即可得出．
本题考查了两角和差的正切公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：中，，，
，，．
又，，，．
，．
故答案为：．
由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得的值，可得角的大小．
本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设的中点为，则，
又，即，
，
，又，，
，即，
．
故答案为：．
用表示出，求出，，得出，的位置，从而得出答案．
本题考查了平面向量基本定理，属于中档题．
17.【答案】解：设，
由，知，
由，知，
联立，解得，或，，
故．
与垂直，
，即，
，
在方向上的投影向量为．
【解析】设，根据模长和向量共线的条件，可列得关于和的方程，解之即可；
根据向量垂直的条件，求得，再由投影向量的计算公式，代入运算，得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量共线和垂直的条件，以及投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：复数为纯虚数，
，可得．
复数，
，可得．
【解析】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合，即可求解．
19.【答案】解：已知，，
利用三角函数关系式的变换，解得，
所以，
故；
由得：．
【解析】直接利用三角函数的定义求出三角函数的值；
利用差角的正切的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
令，，
解得，
在，上递增．
，
，
，
，
，
．
【解析】结合二倍角公式及诱导公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
由已知结合诱导公式及同角基本关系及和差角公式可求．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
，又，
则；
，，，
由正弦定理有，即，
，
，
或；
，，
，
，
由正弦定理得，
故．
【解析】先展开，然后借助于正弦定理和余弦定理即可求解；
利用正弦定理结合同角三角函数的关系求出，然后由展开即可求解；
直接利用同角三角函数基本关系式以及正弦定理即可求解结论．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，，，，，由余弦定理，
在中，，
在中，，
即，
解得或 舍，
即；
由题，
，
所以，
因为，
所以，
则，
所以由，得，
所以当时，取得最大值；
，理由如下：
由知：，则需研究的范围，
当增大时，增大，从而随之增大，
所以，当，，趋于共线时，趋于，其中钝角满足，
当减小时，减小，从而随之减小，
所以，当，趋于共线时，趋于，其中锐角满足，
所以，
令，则在上递增，在上递减，
并且，，
所以，又恒成立，
则．
【解析】结合余弦定理列方程，化简求得；
先求得的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得的最大值；
通过研究的范围来求得的取值范围，从而求得的取值范围．
本题考查了三角形中的几何应用，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. ，，共线 B. ，，共线 C. ，，共线 D. ，，共线
3.设为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，设，为的靠近的三等分点，与交于，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
7.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
8.某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路驾车向驶去，行驶了到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人开车的最小速度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
10.设向量，，则下列叙述错误的是( )
A. 若与的夹角为钝角，则且
B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个为
D. 若，则或
11.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 在中，满足的三角形有两个
B. 在中，若，则
C. 在中，是的充要条件
D. 在中，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数满足为虚数单位，则______．
14.______．
15.在中，，，则角的大小为______．
16.已知为的重心，点，分别在边，上，满足，其中，若，则和的面积之比为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求在方向上的投影向量．
18.本小题分
在复平面内，复数其中为虚数单位，．
若复数为纯虚数，求的值；
若复数，求的值．
19.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
若且，求的值．
21.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且．
求；
若，求；
若，求．
22.本小题分
如图，在平面凸四边形中凸四边形指没有角度数大于的四边形，，，．
若，，求；
已知，记四边形的面积为．
求的最大值；
若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围直接写结果，不需要过程
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用两角差的正弦可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
则与不共线，与不共线，与不共线，
而，故A，，三点共线，
故选：．
根据条件，由共线向量定理判断即可．
本题主要考查向量的线性表示以及三点共线的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设为实数，
因为，
所以，
即，
所以，．
故选：．
由已知结合复数的运算及相等的条件即可求解．
本题主要考查了复数的基本运算及复数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，且，，，
利用余弦定理：，
整理得：，
解得或负值舍去，
所以．
故选：．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知，可得，
则，
故选：．
由平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，属基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】
解：已知中，满足，
利用正弦定理整理得：，
转换为，
所以，或，
若，整理得，与三角形的内角相矛盾；
若，整理得：，解得．
故为直角三角形，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案．
本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．
由图形求出的度数，以及，及的长，利用余弦定理求出的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由，及的长，利用正弦定理求出的长，由，及的值，利用余弦定理求出的长，由即可求出的长即可．
【解答】
解：如图，易知，，，，
由余弦定理可得，．
又在中，由正弦定理得：．
由余弦定理得，即，
，
解得：或舍去，
．
此人必须在分钟内从处到达处，则此人开车的最小速度为小时．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：：由题意，，正确；
：由题意，为纯虚数，正确；
：由题意，，其模长为，正确；
：由题意，，则其共轭复数为，错误．
故选：
利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误．
本题考查欧拉公式及复数的运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，向量，，若与的夹角为钝角，则有，解可得且，A正确；
对于，向量，，必有，即的最小值为，B正确；
对于，，，与共线的单位向量有或，C错误；
对于，若，即，解可得，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及命题真假的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．
利用倍角公式变形求解与，利用两角和与差的三角函数计算判断与．
【解答】
解：，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：选项，由，可得，所以三角形有一个，选项错误．
选项，，当时，等式成立，所以选项错误．
选项，由正弦定理，得，
其中是三角形外接圆的半径，所以选项正确．
选项，由正弦定理和比例的性质，可知选项正确．
故选：．
根据选项中的条件，结合大角对大边，正弦定理，充分必要条件和比例的性质，判断各选项即可．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得．
故．
故答案为：．
先对已知复数进行化解，然后结合模长公式可求．
本题主要考查了复数的四则运算，复数的模长公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
利用两角和差的正切公式即可得出．
本题考查了两角和差的正切公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：中，，，
，，．
又，，，．
，．
故答案为：．
由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得的值，可得角的大小．
本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设的中点为，则，
又，即，
，
，又，，
，即，
．
故答案为：．
用表示出，求出，，得出，的位置，从而得出答案．
本题考查了平面向量基本定理，属于中档题．
17.【答案】解：设，
由，知，
由，知，
联立，解得，或，，
故．
与垂直，
，即，
，
在方向上的投影向量为．
【解析】设，根据模长和向量共线的条件，可列得关于和的方程，解之即可；
根据向量垂直的条件，求得，再由投影向量的计算公式，代入运算，得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量共线和垂直的条件，以及投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：复数为纯虚数，
，可得．
复数，
，可得．
【解析】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合，即可求解．
19.【答案】解：已知，，
利用三角函数关系式的变换，解得，
所以，
故；
由得：．
【解析】直接利用三角函数的定义求出三角函数的值；
利用差角的正切的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
令，，
解得，
在，上递增．
，
，
，
，
，
．
【解析】结合二倍角公式及诱导公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
由已知结合诱导公式及同角基本关系及和差角公式可求．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
，又，
则；
，，，
由正弦定理有，即，
，
，
或；
，，
，
，
由正弦定理得，
故．
【解析】先展开，然后借助于正弦定理和余弦定理即可求解；
利用正弦定理结合同角三角函数的关系求出，然后由展开即可求解；
直接利用同角三角函数基本关系式以及正弦定理即可求解结论．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，，，，，由余弦定理，
在中，，
在中，，
即，
解得或 舍，
即；
由题，
，
所以，
因为，
所以，
则，
所以由，得，
所以当时，取得最大值；
，理由如下：
由知：，则需研究的范围，
当增大时，增大，从而随之增大，
所以，当，，趋于共线时，趋于，其中钝角满足，
当减小时，减小，从而随之减小，
所以，当，趋于共线时，趋于，其中锐角满足，
所以，
令，则在上递增，在上递减，
并且，，
所以，又恒成立，
则．
【解析】结合余弦定理列方程，化简求得；
先求得的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得的最大值；
通过研究的范围来求得的取值范围，从而求得的取值范围．
本题考查了三角形中的几何应用，属于中档题．
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